Gráfica existencial

Un gráfico existencial es un tipo de notación diagramática o visual para expresiones lógicas, creado por Charles Sanders Peirce , quien escribió sobre lógica gráfica en 1882, ^[1] y continuó desarrollando el método hasta su muerte en 1914. Incluyen una notación gráfica separada para declaraciones lógicas y un cálculo lógico, un sistema formal de reglas de inferencia que se pueden utilizar para derivar teoremas.

Peirce consideraba que la notación algebraica (es decir, la notación simbólica) de la lógica, especialmente la de predicados ^[2] , que todavía era muy nueva en su época y en cuyo desarrollo él mismo desempeñó un papel importante, era filosóficamente insatisfactoria, porque los símbolos tenían su significado por mera convención. Por el contrario, se esforzaba por lograr un estilo de escritura en el que los signos llevaran literalmente su significado dentro de ellos ^[3] –en la terminología de su teoría de los signos: un sistema de signos icónicos que se asemejan o se asemejan a los objetos y relaciones representados. ^[4]

Así, el desarrollo de un sistema lógico icónico, gráfico y –como pretendía– intuitivo y fácil de aprender fue un proyecto en el que Peirce trabajó durante toda su vida. Después de al menos un enfoque abortado –los “grafos entitativos”–, el sistema cerrado de los “grafos existenciales” finalmente surgió a partir de 1896. Aunque su creador los consideró un sistema claramente superior y más intuitivo, como modo de escritura y como cálculo, no tuvieron una influencia importante en la historia de la lógica. Esto se ha atribuido al hecho de que, por un lado, Peirce publicó poco sobre este tema y que los textos publicados no estaban escritos de una manera muy comprensible; ^[5] y, por otro lado, que la notación de fórmulas lineales en manos de expertos es en realidad la herramienta menos compleja. ^[6] Por lo tanto, los grafos existenciales recibieron poca atención ^[7] o se los consideró difíciles de manejar. ^[8] A partir de 1963, los trabajos de Don D. Roberts y J. Jay Zeman, en los que se examinaron y presentaron sistemáticamente los sistemas gráficos de Peirce, permitieron una mejor comprensión; aun así, hoy en día han encontrado un uso práctico en una sola aplicación moderna: los grafos conceptuales introducidos por John F. Sowa en 1976, que se utilizan en informática para representar el conocimiento. Sin embargo, los grafos existenciales están reapareciendo cada vez más como tema de investigación en relación con un creciente interés en la lógica gráfica, ^[9] que también se expresa en los intentos de reemplazar las reglas de inferencia dadas por Peirce por otras más intuitivas. ^[10]

El sistema general de grafos existenciales se compone de tres subsistemas que se complementan entre sí: los grafos alfa, beta y gamma. Los grafos alfa son un sistema de lógica puramente proposicional, y los grafos beta, a partir de este, constituyen un cálculo lógico de primer orden. Los grafos gamma, que aún no han sido completamente investigados y no fueron completados por Peirce, se entienden como un desarrollo posterior de los grafos alfa y beta. Cuando se interpretan adecuadamente, los grafos gamma abarcan la lógica de predicados de nivel superior, así como la lógica modal. En 1903, Peirce comenzó un nuevo enfoque, los "grafos existenciales teñidos", con los que quería reemplazar los sistemas anteriores de grafos alfa, beta y gamma y combinar su expresividad y rendimiento en un único sistema nuevo. Al igual que los grafos gamma, los "grafos existenciales teñidos" quedaron inacabados.

Como cálculos, los grafos alfa, beta y gamma son válidos (es decir, todas las expresiones derivadas como grafos son semánticamente válidas). Los grafos alfa y beta también son completos (es decir, todas las expresiones proposicionales o predicativamente-lógicamente válidas semánticamente pueden derivarse como grafos alfa o beta). ^[11]

Peirce propuso tres sistemas de grafos existenciales:

• alfa , isomorfo a la lógica proposicional y al álgebra booleana de dos elementos ;
• beta , isomorfa a la lógica de primer orden con identidad, con todas las fórmulas cerradas;
• gamma , (casi) isomorfa a la lógica modal normal .

Alfa se anida en beta y gamma . Beta no se anida en gamma , siendo la lógica modal cuantificada más general que la propuesta por Peirce.

La sintaxis es:

• La página en blanco;
• Letras o frases sueltas escritas en cualquier parte de la página;
• Cualquier gráfico puede estar encerrado en una curva cerrada simple llamada corte o sep . Un corte puede estar vacío. Los cortes pueden anidarse y concatenarse a voluntad, pero nunca deben intersecarse.

Cualquier parte bien formada de un gráfico es un subgráfico .

La semántica es:

• La página en blanco denota la Verdad ;
• Las letras, frases, subgráficos y gráficos completos pueden ser Verdaderos o Falso ;
• Encerrar un subgrafo con un corte es equivalente a una negación lógica o complementación booleana . Por lo tanto, un corte vacío denota Falso .
• Todos los subgrafos dentro de un corte dado están tácitamente unidos .

Por lo tanto, los grafos alfa son una notación minimalista para la lógica oracional , basada en la adecuación expresiva de And y Not . Los grafos alfa constituyen una simplificación radical del álgebra booleana de dos elementos y los funtores de verdad .

La profundidad de un objeto es el número de cortes que lo encierran.

Reglas de inferencia :

• Inserción: cualquier subgráfico puede insertarse en una profundidad de número impar. La página blanca circundante es la profundidad 1. La profundidad 2 son las letras y líneas negras que rodean los elementos. La profundidad 3 es ingresar a la siguiente área blanca en un elemento cerrado.
• Borrado - Cualquier subgráfico en una profundidad de número par puede ser borrado.

Reglas de equivalencia :

• Corte doble: se pueden dibujar un par de cortes sin nada entre ellos alrededor de cualquier subgrafo. Asimismo, se pueden borrar dos cortes anidados sin nada entre ellos. Esta regla es equivalente a la involución booleana y a la eliminación de doble negación .
• Iteración/Deiteración – Para entender esta regla, es mejor ver un grafo como una estructura de árbol que tiene nodos y ancestros . Cualquier subgrafo P en el nodo n puede copiarse en cualquier nodo que dependa de n . Del mismo modo, cualquier subgrafo P en el nodo n puede borrarse si existe una copia de P en algún nodo ancestral a n (es decir, algún nodo del que n depende). Para una regla equivalente en un contexto algebraico, consulte C2 en Leyes de la forma .

Una demostración manipula un gráfico mediante una serie de pasos, cada uno de los cuales se justifica mediante una de las reglas anteriores. Si un gráfico se puede reducir por pasos hasta llegar a una página en blanco o a un corte vacío, se trata de lo que ahora se denomina una tautología (o su complemento, una contradicción). Los gráficos que no se pueden simplificar más allá de un cierto punto son análogos de las fórmulas satisfacibles de la lógica de primer orden .

En el caso de los betagrafos, las expresiones atómicas ya no son letras proposicionales (P, Q, R,...) o enunciados ("Llueve", "Peirce murió en la pobreza"), sino predicados en el sentido de la lógica de predicados (ver allí para más detalles), posiblemente abreviados a letras de predicado (F, G, H,...). Un predicado en el sentido de la lógica de predicados es una secuencia de palabras con espacios claramente definidos que se convierte en una oración proposicional si se inserta un nombre propio en cada espacio. Por ejemplo, la secuencia de palabras "_ x es un humano" es un predicado porque da lugar a la oración declarativa "Peirce es un humano" si se introduce el nombre propio "Peirce" en el espacio en blanco. Del mismo modo, la secuencia de palabras "_ ₁ es más rico que _ ₂ " es un predicado, porque da lugar al enunciado "Sócrates es más rico que Platón" si se insertan los nombres propios "Sócrates" o "Platón" en los espacios.

El recurso lingüístico básico es la línea de identidad, una línea gruesa de cualquier forma. La línea de identidad se acopla al espacio en blanco de un predicado para mostrar que el predicado se aplica al menos a un individuo. Para expresar que el predicado "_ es un ser humano" se aplica al menos a un individuo –es decir, para decir que hay (al menos) un ser humano– se escribe una línea de identidad en el espacio en blanco del predicado "_ es un ser humano":

Los gráficos beta pueden leerse como un sistema en el que todas las fórmulas deben considerarse cerradas, porque todas las variables están cuantificadas implícitamente. Si la parte "más superficial" de una línea de identidad tiene una profundidad uniforme, la variable asociada se cuantifica tácitamente existencialmente ( universalmente ).

Zeman (1964) fue el primero en señalar que los grafos beta son isomorfos a la lógica de primer orden con igualdad (véase también Zeman 1967). Sin embargo, la literatura secundaria, especialmente Roberts (1973) y Shin (2002), no está de acuerdo en cómo esto es así. Los escritos de Peirce no abordan esta cuestión, porque la lógica de primer orden fue articulada claramente por primera vez sólo después de su muerte, en la primera edición de 1928 de los Principios de lógica matemática de David Hilbert y Wilhelm Ackermann .

Añade a la sintaxis de alfa un segundo tipo de curva cerrada simple , escrita utilizando una línea discontinua en lugar de una línea continua. Peirce propuso reglas para este segundo estilo de corte, que pueden leerse como el operador unario primitivo de la lógica modal .

Zeman (1964) fue el primero en notar que los grafos gamma son equivalentes a las conocidas lógicas modales S4 y S5 . Por lo tanto, los grafos gamma pueden leerse como una forma peculiar de lógica modal normal . Este hallazgo de Zeman ha recibido poca atención hasta el día de hoy, pero no obstante se incluye aquí como un punto de interés.

Los grafos existenciales son una curiosa descendencia de Peirce, el lógico /matemático, siendo Peirce el fundador de una importante rama de la semiótica . La lógica gráfica de Peirce es sólo uno de sus muchos logros en lógica y matemáticas. En una serie de artículos que comenzaron en 1867 y culminaron con su artículo clásico en el American Journal of Mathematics de 1885 , Peirce desarrolló gran parte del álgebra de Boole de dos elementos , el cálculo proposicional , la cuantificación y el cálculo de predicados , y algo de teoría de conjuntos rudimentaria . Los teóricos de modelos consideran a Peirce el primero de su tipo. También amplió el álgebra de relaciones de De Morgan . Se quedó corto en la metalógica (que eludió incluso los Principia Mathematica ).

Pero la teoría semiótica en evolución de Peirce lo llevó a dudar del valor de la lógica formulada utilizando la notación lineal convencional y a preferir que la lógica y las matemáticas se notaran en dos (o incluso tres) dimensiones. Su trabajo fue más allá de los diagramas de Euler y la revisión de Venn de 1880 de los mismos. La obra de Frege de 1879 Begriffsschrift también empleó una notación bidimensional para la lógica, pero una muy diferente de la de Peirce.

El primer artículo publicado de Peirce sobre lógica gráfica (reimpreso en el vol. 3 de sus Collected Papers ) proponía un sistema dual (en efecto) de los grafos existenciales alfa , llamados grafos entitativos . Muy pronto abandonó este formalismo en favor de los grafos existenciales. En 1911, Victoria, Lady Welby mostró los grafos existenciales a CK Ogden , quien consideró que podrían combinarse de manera útil con los pensamientos de Welby en una "forma menos abstrusa". ^[12] Por lo demás, atrajeron poca atención durante su vida y fueron invariablemente denigrados o ignorados después de su muerte, hasta las tesis doctorales de Roberts (1964) y Zeman (1964).

• Operador Nor
• Gráfico conceptual
• Charles Sander Pierce
• Cálculo proposicional

• 1931–1935 y 1958. The Collected Papers of Charles Sanders Peirce . Volumen 4, Libro II: "Existential Graphs", consta de los párrafos 347–584. También comienza un análisis en el párrafo 617.
  • Párrafos 347–349 (II.1.1. "Diagrama lógico")—Definición de Peirce "Diagrama lógico (o gráfico)" en el Diccionario de filosofía y psicología de Baldwin (1902), v. 2, p. 28. Clásicos en la historia de la psicología Eprint.
  • Párrafos 350–371 (II.1.2. "De los diagramas de Euler")—de "Gráficos" (manuscrito 479) c. 1903.
  • Párrafos 372–584 Eprint.
  • Párrafos 372–393 (II.2. "Lógica simbólica"): la parte de Peirce de "Lógica simbólica" en el Diccionario de filosofía y psicología de Baldwin (1902) v. 2, pp. 645–650, que comienza (cerca de la parte superior de la segunda columna) con "Si se define la lógica simbólica...". El párrafo 393 (DPP2 de Baldwin p. 650) es de Peirce y Christine Ladd-Franklin ("CSP, CLF").
  • Párrafos 394–417 (II.3. "Gráficos existenciales")—del panfleto de Peirce A Syllabus of Certain Topics of Logic , págs. 15–23, Alfred Mudge & Son, Boston (1903).
  • Párrafos 418–509 (II.4. "Sobre los grafos existenciales, los diagramas de Euler y el álgebra lógica")—de "Logical Tracts, No. 2" (manuscrito 492), c. 1903.
  • Párrafos 510–529 (II.5. "La parte gamma de los gráficos existenciales")—de "Lowell Lectures of 1903", Conferencia IV (manuscrito 467).
  • Párrafos 530–572 (II.6.)—"Prolegómenos a una apología del pragmaticismo" (1906), El Monista , vol. XVI, n. 4, págs. 492-546. Correcciones (1907) en El Monista , vol. XVII, pág. 160.
  • Párrafos 573–584 (II.7. "Una mejora en los gráficos gamma")—de "Para la Academia Nacional de Ciencias, reunión de abril de 1906 en Washington" (manuscrito 490).
  • Párrafos 617–623 (al menos) (en el Libro III, Cap. 2, §2, párrafos 594–642)—de "Algunos laberintos asombrosos: explicación de la curiosidad primera", The Monist , v. XVIII, 1908, n. 3, pp. 416-464, véase el comienzo de la p. 440.
• 1992. "Tercera conferencia: la lógica de los relativos", Reasoning and the Logic of Things , pp. 146-164. Ketner, Kenneth Laine (edición e introducción) y Hilary Putnam (comentario). Harvard University Press . Conferencias de Peirce de 1898 en Cambridge, Massachusetts.
• 1977, 2001. Semiótica y significados : la correspondencia entre CS Peirce y Victoria Lady Welby . Hardwick, CS, ed. Lubbock, TX: Texas Tech University Press. Segunda edición, 2001.
• Una transcripción del manuscrito 514 de Peirce (1909), editada con comentarios de John Sowa .

Actualmente, la edición crítica cronológica de las obras de Peirce, los Escritos , se extiende sólo hasta 1892. Gran parte del trabajo de Peirce sobre gráficos lógicos consiste en manuscritos escritos después de esa fecha y aún no publicados. Por lo tanto, es probable que nuestra comprensión de la lógica gráfica de Peirce cambie a medida que aparezcan los 23 volúmenes restantes de la edición cronológica.

• Hammer, Eric M. (1998), "Semántica para gráficos existenciales", Journal of Philosophical Logic 27 : 489–503.
• Ketner, Kenneth Laine
  • (1981), "El mejor ejemplo de semiosis y su uso en la enseñanza de la semiótica", American Journal of Semiotics v. I, n. 1–2, págs. 47–83. El artículo es una introducción a los grafos existenciales.
  • (1990), Elementos de lógica: Introducción a los gráficos existenciales de Peirce , Texas Tech University Press, Lubbock, TX, 99 páginas, encuadernado en espiral.
• Queiroz, João y Stjernfelt, Frederik
  • (2011), "Razonamiento diagramático y representación lógica de Peirce", Semiotica vol. 186 (1/4). (Número especial sobre la lógica diagramática de Peirce.) [1]
• Roberts, Don D.
  • (1964), "Existential Graphs and Natural Deduction" en Moore, EC, y Robin, RS, eds., Studies in the Philosophy of CS Peirce, 2nd series . Amherst MA: University of Massachusetts Press . La primera publicación que muestra alguna simpatía y comprensión por la lógica gráfica de Peirce.
  • (1973). Los grafos existenciales de CS Peirce. John Benjamins. Una consecuencia de su tesis de 1963.
• Shin, Sun-Joo (2002), La lógica icónica de los gráficos de Peirce . MIT Press.
• Zalamea, Fernando . La lógica de la continuidad de Peirce. Docent Press, Boston MA. 2012. ISBN 9 780983 700494.
  • Parte II: Los gráficos existenciales de Peirce, págs. 76-162.
• Zeman, JJ
  • (1964), La lógica gráfica de CS Peirce. Archivado el 14 de septiembre de 2018 en Wayback Machine. Tesis doctoral inédita presentada a la Universidad de Chicago .
  • (1967), "Un sistema de cuantificación implícita", Journal of Symbolic Logic 32 : 480–504.

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : La lógica de Peirce por Sun-Joo Shin y Eric Hammer.
• Dau, Frithjof, Los grafos existenciales de Peirce --- Lecturas y enlaces. Bibliografía comentada sobre los grafos existenciales.
• Gottschall, Christian, Proof Builder Archivado el 12 de febrero de 2006 en Wayback Machine — Subprograma Java para derivar gráficos Alpha.
• Liu, Xin-Wen, "La literatura de los gráficos existenciales de CS Peirce" (vía Wayback Machine), Instituto de Filosofía, Academia China de Ciencias Sociales, Beijing, República Popular China.
• Sowa, John F. "Leyes, hechos y contextos: fundamentos para el razonamiento multimodal" . Consultado el 23 de octubre de 2009 .(NB. Gráficos existenciales y gráficos conceptuales .)
• Van Heuveln, Bram, "Gráficos existenciales. Archivado el 29 de agosto de 2009 en Wayback Machine ". Departamento de Ciencias Cognitivas, Instituto Politécnico Rensselaer . Versión alfa únicamente.
• Zeman, Jay J., "Gráficos existenciales". Con cuatro artículos en línea de Peirce.