Plano proyectivo

En matemáticas , un plano proyectivo es una estructura geométrica que extiende el concepto de plano. En el plano euclidiano ordinario , dos líneas suelen intersecarse en un único punto, pero existen pares de líneas (es decir, líneas paralelas) que no se intersecan. Un plano proyectivo puede considerarse como un plano ordinario con puntos adicionales en el infinito donde se intersecan las líneas paralelas. Por lo tanto, cualesquiera dos líneas distintas en un plano proyectivo se intersecan en un único punto.

Los artistas del Renacimiento, al desarrollar las técnicas del dibujo en perspectiva , sentaron las bases de este tema matemático. El ejemplo arquetípico es el plano proyectivo real , también conocido como plano euclidiano extendido . ^{[ 1 ]} Este ejemplo, con ligeras variaciones, es importante en geometría algebraica , topología y geometría proyectiva, donde puede denotarse de diversas maneras como PG(2, R ) , RP ² o P ₂ ( R ), entre otras notaciones. Hay muchos otros planos proyectivos, tanto infinitos, como el plano proyectivo complejo , como finitos, como el plano de Fano .

Un plano proyectivo es un espacio proyectivo bidimensional . No todos los planos proyectivos pueden incrustarse en espacios proyectivos tridimensionales; esta incrustabilidad es consecuencia de una propiedad conocida como el teorema de Desargues , que no comparten todos los planos proyectivos.

Definición

Un plano proyectivo es una estructura de incidencia de rango 2. $({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)$ que consta de un conjunto de puntos ${\mathcal {P}}$ , un conjunto de líneas ${\mathcal {L}}$ y una relación simétrica $I$ en el set ${\mathcal {P}}\cup {\mathcal {L}}$ llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades: ^{[ 2 ]}

Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe exactamente un incidente lineal que los une a ambos.
Dadas dos líneas distintas cualesquiera, existe exactamente un punto incidente en ambas.
Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición implica que no existen líneas paralelas . La última condición excluye los casos denominados degenerados (véase más adelante ). El término «incidencia» se utiliza para enfatizar la naturaleza simétrica de la relación entre puntos y líneas. Por lo tanto, se emplea la expresión «el punto P incide sobre la línea ℓ » en lugar de « P está sobre ℓ » o « ℓ pasa por P ».

De la definición se deduce que el número de puntos $s+1$ El número de líneas incidentes con cualquier línea dada en un plano proyectivo es el mismo que el número de líneas incidentes con cualquier punto dado. El número cardinal (posiblemente infinito) $s$ Se llama orden del plano.

Ejemplos

El plano euclidiano extendido

Para convertir el plano euclidiano ordinario en un plano proyectivo, proceda de la siguiente manera:

A cada clase de líneas paralelas (un conjunto máximo de líneas mutuamente paralelas) se le asocia un nuevo punto. Este punto se considera incidente con cada línea de su clase. Los nuevos puntos añadidos son distintos entre sí. Estos nuevos puntos se denominan puntos en el infinito .
Añade una nueva línea, que se considera incidente con todos los puntos en el infinito (y con ningún otro punto). Esta línea se llama la línea en el infinito .

La estructura extendida es un plano proyectivo y se denomina plano euclidiano extendido o plano proyectivo real . El proceso descrito anteriormente, utilizado para obtenerlo, se denomina «completación proyectiva» o proyectivización . Este plano también puede construirse partiendo de R³ como un espacio vectorial (véase la sección « Construcción de espacios vectoriales»^más adelante).

Plano proyectivo de Moulton

Los puntos del plano de Moulton son los puntos del plano euclidiano, con coordenadas en el formato habitual. Para crear el plano de Moulton a partir del plano euclidiano, se redefinen algunas rectas. Es decir, se modifican algunos de sus conjuntos de puntos, mientras que otras rectas permanecen inalteradas. Se redefinen todas las rectas con pendientes negativas para que parezcan rectas "curvadas", lo que significa que estas rectas conservan sus puntos con coordenadas x negativas , pero el resto de sus puntos se reemplazan por los puntos de la recta con la misma intersección con el eje y, pero con el doble de pendiente donde su coordenada x sea positiva.

El plano de Moulton tiene clases de rectas paralelas y es un plano afín . Se puede proyectivizar, como en el ejemplo anterior, para obtener el plano de Moulton proyectivo . El teorema de Desargues no es válido ni en el plano de Moulton ni en el plano de Moulton proyectivo.

Un ejemplo finito

Este ejemplo tiene solo trece puntos y trece líneas. Etiquetamos los puntos como P₁ _, ..., P₁₃ _y las líneas como _m₁ , ..., m₁₃ _. La relación de incidencia (qué puntos están en qué líneas) se puede dar mediante la siguiente matriz de incidencia . Las filas están etiquetadas con los puntos y las columnas con las líneas. Un 1 en la fila i y la columna j significa que el punto P₁ _está en la línea m₁j _, mientras que un 0 (que representamos aquí con una celda en blanco para facilitar la lectura) significa que no son incidentes. La matriz está en forma normal de Paige-Wexler.

Para verificar las condiciones que hacen de este un plano proyectivo, observe que cada dos filas tienen exactamente una columna común en la que aparecen unos (cada par de puntos distintos se encuentran en una misma línea) y que cada dos columnas tienen exactamente una fila común en la que aparecen unos (cada par de líneas distintas se encuentran en un mismo punto). Entre muchas posibilidades, los puntos P₁ _, P₄ _, P₅ _y P₈ _, por ejemplo, satisfacen la tercera condición. Este ejemplo se conoce como el plano proyectivo de tercer orden .

Construcción de espacios vectoriales

Aunque la línea en el infinito del plano real extendido pueda parecer tener una naturaleza diferente a la de las demás líneas de ese plano proyectivo, no es así. Otra construcción del mismo plano proyectivo muestra que ninguna línea puede distinguirse (desde un punto de vista geométrico) de ninguna otra. En esta construcción, cada "punto" del plano proyectivo real es el subespacio unidimensional (una línea geométrica ) que pasa por el origen en un espacio vectorial tridimensional, y una "línea" en el plano proyectivo surge de un plano ( geométrico ) que pasa por el origen en el espacio tridimensional. Esta idea puede generalizarse y precisarse de la siguiente manera. ^{[ 3 ]}

Sea K _un anillo de división cualquiera (cuerpo sesgado). Sea K₃ el conjunto de todas las ternas x = (x₀, x₁, x₂) de elementos ^deK ( _un producto cartesiano visto como un espacio vectorial ) _. Para cualquier x distinto de cero en K₃ , el subespacio mínimo de K₃ que contiene a x (que puede visualizarse como todos ^{los vectores en una línea que pasa por el origen)}^es el subconjunto

\{kx:k\in K\}

de K ³ . De manera similar, sean x e y elementos linealmente independientes de K ³ , lo que significa que kx + my = 0 implica que k = m = 0 . El subespacio mínimo de K ³ que contiene a x e y (que puede visualizarse como todos los vectores en un plano que pasa por el origen) es el subconjunto

\{kx+my:k,m\in K\}

de K ³ . Este subespacio bidimensional contiene varios subespacios unidimensionales que pasan por el origen y que se pueden obtener fijando k y m y tomando los múltiplos del vector resultante. Diferentes elecciones de k y m que estén en la misma proporción darán como resultado la misma línea.

El plano proyectivo sobre K , denotado PG(2, K ) o K P ² , tiene un conjunto de puntos que consiste en todos los subespacios unidimensionales en K ^3. Un subconjunto L de los puntos de PG(2, K ) es una línea en PG(2, K ) si existe un subespacio bidimensional de K ³ cuyo conjunto de subespacios unidimensionales es exactamente L.

La verificación de que esta construcción produce un plano proyectivo suele dejarse como un ejercicio de álgebra lineal.

Una visión alternativa (algebraica) de esta construcción es la siguiente. Los puntos de este plano proyectivo son las clases de equivalencia del conjunto K ³ \ {(0, 0, 0)} módulo la relación de equivalencia

x ~ kx , para todo k en K ^× .

Las líneas en el plano proyectivo se definen exactamente como se indicó anteriormente.

Las coordenadas ( x₀ _,x₁ _,x₂ ) de un punto en PG(2, K ) se denominan coordenadas homogéneas . Cada terna ( x₀ _,x₁ , x₂ ₎ representa un punto bien definido en PG(2, K ) , excepto la terna (0, 0, 0) _, que no representa ningún punto. _Sin embargo, cada punto en PG(2, K ) está representado por muchas ternas.

Si K es un espacio topológico , entonces K P ² hereda una topología a través de las topologías de producto , subespacio y cociente .

Ejemplos clásicos

El plano proyectivo real RP ² surge cuando K se define como los números reales , R . Como una variedad real bidimensional cerrada y no orientable , sirve como un ejemplo fundamental en topología. ^{[ 4 ]}

En esta construcción, consideremos la esfera unitaria centrada en el origen en R³ . Cada una de las líneas de R³ en esta construcción interseca la esfera en dos puntos antipodales. Dado que la ^líneade ^R³representa un punto de RP² , obtendremos el mismo modelo de ^RP² identificando los puntos antipodales de la esfera. Las líneas de RP² serán los círculos máximos de la ^{esfera después}^{de esta identificación de}^los puntos antipodales. Esta descripción proporciona el modelo estándar de la geometría elíptica .

El plano proyectivo complejo CP ² surge cuando K se define como los números complejos C. Es una 2-variedad compleja cerrada y, por lo tanto, una 4-variedad real cerrada y orientable. Este plano y los planos proyectivos sobre otros cuerpos (conocidos como planos de Pappia ) sirven como ejemplos fundamentales en geometría algebraica . ^{[ 5 ]}

El plano proyectivo cuaterniónico HP ² también es de interés independiente. ^{[ 6 ]}

Campos finitos

Según el teorema de Wedderburn , un anillo de división finito debe ser conmutativo y, por lo tanto, un cuerpo. Si tomamos K como el cuerpo finito de q = p ⁿ elementos con p primo , obtenemos un plano proyectivo de q ² + q + 1 puntos. Estos planos se suelen denotar por PG(2, q ), donde PG significa geometría proyectiva, el "2" es la dimensión y q es el orden del plano (es uno menos que el número de puntos en cualquier línea). El plano de Fano, que se analiza más adelante, se denota por PG(2, 2). El tercer ejemplo anterior es el plano proyectivo PG(2, 3).

El plano de Fano es el plano proyectivo que surge del campo de dos elementos. Es el plano proyectivo más pequeño, con solo siete puntos y siete líneas. En la figura de la derecha, los siete puntos se muestran como pequeñas bolas, y las siete líneas como seis segmentos de línea y un círculo. Sin embargo, se podría considerar equivalentemente que las bolas son las "líneas" y los segmentos de línea y el círculo como los "puntos"; este es un ejemplo de dualidad en el plano proyectivo: si se intercambian las líneas y los puntos, el resultado sigue siendo un plano proyectivo (véase más abajo ). Una permutación de los siete puntos que lleva puntos colineales (puntos en la misma línea) a puntos colineales se llama colineación o simetría del plano. Las colineaciones de una geometría forman un grupo bajo composición, y para el plano de Fano este grupo tiene 168 elementos. Es el grupo semilineal proyectivo PΓL(3, 2), que en este caso coincide con el grupo lineal proyectivo PGL(3, 2) porque el plano tiene orden primo, $q=2^{1}$ y por lo tanto el campo finito $\operatorname {GF} (q)$ no tiene automorfismos no triviales.

Teorema de Desargues y planos desarguesianos

El teorema de Desargues es universalmente válido en un plano proyectivo si y solo si dicho plano puede construirse a partir de un espacio vectorial tridimensional sobre un campo sesgado como el descrito anteriormente . ^{[ 7 ]} Estos planos se denominan planos desarguesianos , en honor a Girard Desargues . El plano proyectivo real (o complejo) y el plano proyectivo de orden 3, mencionados anteriormente, son ejemplos de planos proyectivos desarguesianos.

Planos no desarguesianos

Los planos proyectivos que no pueden construirse de la manera anterior se denominan planos no desarguesianos , y el plano de Moulton mencionado anteriormente es un ejemplo de ello. Se conocen muchos planos finitos e infinitos de este tipo.

La notación PG(2, K ) está reservada para los planos de Desarguesian. Cuando K es un cuerpo , un caso muy común, también se les conoce como planos de cuerpo , y si el cuerpo es un cuerpo finito, se les puede llamar planos de cuerpo finito o planos de Galois .

Subplanos

Un subplano de un plano proyectivo $({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)$ es un plano proyectivo $({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')$ con ${{\mathcal {P}}'}\subseteq {\mathcal {P}}$ , ${{\mathcal {L}}'}\subseteq {\mathcal {L}}$ y $I'$ la restricción de la relación de incidencia $I$ a $({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})\times ({{\mathcal {P}}'}\cup {{\mathcal {L}}'})$ .

( Bruck 1955 ) demuestra el siguiente teorema. Sea Π un plano proyectivo finito de orden N con un subplano propio Π ₀ de orden M. Entonces o bien N = M ² o bien N ≥ M ² + M .

Un subplano $({{\mathcal {P}}'},{{\mathcal {L}}'},I')$ de $({\mathcal {P}},{\mathcal {L}},I)$ es un subplano de Baer si cada línea en ${\mathcal {L}}\setminus {{\mathcal {L}}'}$ es incidente con exactamente un punto en ${\mathcal {P}}'$ y cada punto en ${\mathcal {P}}\setminus {{\mathcal {P}}'}$ es incidente con exactamente una línea de ${\mathcal {L}}'$ .

Un plano proyectivo desarguesiano finito de orden $q$ admite subplanos de Baer (todos necesariamente desarguesianos) si y solo si $q$ es cuadrado; en este caso el orden de los subplanos de Baer es ${\sqrt {q}}$ .

En los planos finitos de Desarguesian PG(2, p ⁿ ), los subplanos tienen órdenes que son los órdenes de los subcampos del campo finito GF( p ⁿ ), es decir, p ⁱ donde i es un divisor de n . Sin embargo, en los planos no de Desarguesian, el teorema de Bruck proporciona la única información sobre los órdenes de los subplanos. No se conoce que ocurra el caso de igualdad en la desigualdad de este teorema. Si existe o no un subplano de orden M en un plano de orden N con M ² + M = N es una cuestión abierta. Si tales subplanos existieran, habría planos proyectivos de orden compuesto (potencia no prima).

Subplanos de Fano

Un subplano de Fano es un subplano isomorfo a PG(2, 2), el único plano proyectivo de orden 2.

Si consideramos un cuadrilátero (un conjunto de cuatro puntos, tres de ellos colineales) en este plano, dichos puntos determinan seis de las rectas del plano. Los tres puntos restantes (llamados diagonales del cuadrilátero) son aquellos donde convergen las rectas que no se intersecan en ningún vértice del cuadrilátero. La séptima recta está formada por todos los puntos diagonales (generalmente se dibuja como un círculo o semicírculo).

En planos finitos de Desarguesian, PG(2, q ), los subplanos de Fano existen si y solo si q es par (es decir, una potencia de 2). Una pregunta abierta, ampliamente atribuida a Hanna Neumann , aunque no aparece en su obra publicada, es: ¿Contiene todo plano no desarguesiano un subplano de Fano? Podrían existir en cualquier plano no desarguesiano, y de hecho, se ha demostrado su existencia en varias familias de planos no desarguesianos, incluidos los planos de Figueroa , los planos de Hughes y muchos planos de traslación . ^[⁸^]

Un teorema relativo a los subplanos de Fano debido a ( Gleason 1956 ) es:

Si cada cuadrilátero en un plano proyectivo finito tiene puntos diagonales colineales, entonces el plano es desarguesiano (de orden par).

Planos afines

La proyectividad del plano euclidiano produce el plano proyectivo real. La operación inversa —partiendo de un plano proyectivo, se elimina una recta y todos los puntos incidentes con esa recta— produce un plano afín .

Definición

De manera más formal, un plano afín consta de un conjunto de líneas y un conjunto de puntos , y una relación entre puntos y líneas llamada incidencia , que tiene las siguientes propiedades:

Dados dos puntos distintos cualesquiera, existe exactamente un incidente lineal que los une a ambos.
Dada cualquier línea l y cualquier punto P que no sea incidente con l , existe exactamente una línea incidente con P que no pasa por l .
Hay cuatro puntos tales que ninguna línea es incidente con más de dos de ellos.

La segunda condición implica que existen líneas paralelas y se conoce como el axioma de Playfair . La expresión "no se cruzan" en esta condición significa "no existe un punto incidente con ambas líneas".

El plano euclidiano y el plano de Moulton son ejemplos de planos afines infinitos. Un plano proyectivo finito produce un plano afín finito cuando se elimina una de sus líneas y los puntos que contiene. El orden de un plano afín finito es el número de puntos en cualquiera de sus líneas (este será el mismo número que el orden del plano proyectivo del que proviene). Los planos afines que surgen de los planos proyectivos PG(2, q ) se denotan por AG(2, q ). Para cualquier anillo de división K , el conjunto K ² con líneas dadas por subespacios trasladados $\{a+kb:k\in K\}$ forma un espacio afín, y AG(2, q ) ~ GF( q ) ² .

Existe un plano proyectivo de orden N si y solo si existe un plano afín de orden N. Cuando solo hay un plano afín de orden N, solo hay un plano proyectivo de orden N , pero lo contrario no es cierto. Los planos afines formados al eliminar diferentes líneas del plano proyectivo serán isomorfos si y solo si las líneas eliminadas pertenecen a la misma órbita del grupo de colineación del plano proyectivo. Estas afirmaciones también son válidas para planos proyectivos infinitos.

Construcción de planos proyectivos a partir de planos afines

El plano afín K ² sobre K se incrusta en K P ² a través del mapa que envía coordenadas afines (no homogéneas) a coordenadas homogéneas ,

(x_{1},x_{2})\mapsto (1,x_{1},x_{2}).

El complemento de la imagen es el conjunto de puntos de la forma (0, x ₁ , x ₂ ) . Desde el punto de vista de la incrustación que acabamos de dar, estos puntos son los puntos en el infinito . Constituyen una línea en K P ²— es decir, la línea que surge del plano

\{k(0,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K\}

en K ³— llamada la línea en el infinito . Los puntos en el infinito son los puntos "extra" donde se intersecan las líneas paralelas en la construcción del plano real extendido; el punto (0, x ₁ , x ₂ ) es donde se intersecan todas las líneas de pendiente x ₂ / x _1. Consideremos, por ejemplo, las dos líneas

u=\{(x,0):x\in K\}

y=\{(x,1):x\in K\}

en el plano afín K ² . Estas líneas tienen pendiente 0 y no se intersecan. Pueden considerarse subconjuntos de K P ² a través de la incrustación anterior, pero estos subconjuntos no son líneas en K P ² . Añada el punto (0, 1, 0) a cada subconjunto; es decir, sea

{\bar {u}}=\{(1,x,0):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}

{\bar {y}}=\{(1,x,1):x\in K\}\cup \{(0,1,0)\}

Estas son líneas en K P ² ; ū surge del plano

\{k(1,0,0)+m(0,1,0):k,m\in K\}

en K ³ , mientras que ȳ surge del plano

{k(1,0,1)+m(0,1,0):k,m\in K}.

Las líneas proyectivas ū y ȳ se intersecan en (0, 1, 0) . De hecho, todas las líneas en K ² de pendiente 0, cuando se proyectivizan de esta manera, se intersecan en (0, 1, 0) en K P ² .

La incrustación de K ² en K P ² dada anteriormente no es única. Cada incrustación produce su propia noción de puntos en el infinito. Por ejemplo, la incrustación

(x_{1},x_{2})\to (x_{2},1,x_{1}),

tiene como complemento aquellos puntos de la forma ( x ₀ , 0, x ₂ ) , que entonces se consideran puntos en el infinito.

Cuando un plano afín no tiene la forma de K ² con K un anillo de división, aún puede incrustarse en un plano proyectivo, pero la construcción utilizada anteriormente no funciona. Un método comúnmente empleado para realizar la incrustación en este caso implica expandir el conjunto de coordenadas afines y trabajar con un álgebra más general.

Coordenadas generalizadas

Se puede construir un "anillo" de coordenadas —un llamado anillo ternario planar (no un anillo genuino) — que corresponda a cualquier plano proyectivo. Un anillo ternario planar no tiene por qué ser un cuerpo o un anillo de división, y existen muchos planos proyectivos que no se construyen a partir de un anillo de división. Se les denomina planos proyectivos no desarguesianos y constituyen un área activa de investigación. El plano de Cayley ( OP ² ), un plano proyectivo sobre los octoniones , es uno de ellos, ya que los octoniones no forman un anillo de división. ^{[ 9 ]}

Por el contrario, dado un anillo ternario planar ( R , T ), se puede construir un plano proyectivo (véase más abajo). La relación no es biyectiva. Un plano proyectivo puede estar asociado a varios anillos ternarios planares no isomorfos. El operador ternario T puede utilizarse para producir dos operadores binarios en el conjunto R , mediante:

a + b = T ( a , 1, b ), y

a ⋅ b = T ( a , b , 0).

El operador ternario es lineal si T ( x , m , k ) = x ⋅ m + k . Cuando el conjunto de coordenadas de un plano proyectivo forma un anillo, se puede definir un operador ternario lineal de esta manera, utilizando las operaciones de anillo de la derecha, para producir un anillo ternario planar.

Las propiedades algebraicas de este anillo de coordenadas ternario planar resultan corresponder a propiedades de incidencia geométrica del plano. Por ejemplo, el teorema de Desargues corresponde a que el anillo de coordenadas se obtenga a partir de un anillo de división , mientras que el teorema de Pappus corresponde a que este anillo se obtenga a partir de un cuerpo conmutativo . Un plano proyectivo que satisface universalmente el teorema de Pappus se denomina plano de Pappus . Las álgebras de división alternativas , no necesariamente asociativas , como los octoniones, corresponden a planos de Moufang .

No se conoce ninguna demostración puramente geométrica de la afirmación de que el teorema de Desargues implica el teorema de Pappus en un plano proyectivo finito (los planos desarguesianos finitos son papianos). (Lo contrario es cierto en cualquier plano proyectivo y se puede demostrar geométricamente, pero la finitud es esencial en esta afirmación, ya que existen planos desarguesianos infinitos que no son papianos). La demostración más común utiliza coordenadas en un anillo de división y el teorema de Wedderburn que establece que los anillos de división finitos deben ser conmutativos; Bamberg y Penttila (2015) ofrecen una demostración que utiliza únicamente hechos algebraicos más "elementales" sobre anillos de división.

Describir un plano proyectivo finito de orden N (≥ 2) utilizando coordenadas no homogéneas y un anillo ternario planar:

Sea un punto etiquetado como ( ∞ ).

Etiqueta N puntos, ( r ) donde r = 0, ..., ( N − 1).

Etiqueta N ² puntos, ( r , c ) donde r , c = 0, ..., ( N − 1).

Sobre estos puntos, construya las siguientes líneas:

Una línea [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), ..., ( N − 1)}

N líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c , 0), ..., ( c , N − 1)}, donde c = 0, ..., ( N − 1)

N ² líneas [ r , c ] = {( r ) y los puntos ( x , T ( x , r , c )) }, donde x , r , c = 0, ..., ( N − 1) y T es el operador ternario del anillo ternario planar.

Por ejemplo, para N = 2 podemos usar los símbolos {0, 1} asociados con el cuerpo finito de orden 2. La operación ternaria definida por T ( x , m , k ) = xm + k, donde las operaciones de la derecha son la multiplicación y la suma en el cuerpo, produce lo siguiente:

Una línea [ ∞ ] = { ( ∞ ), (0), (1)},

2 líneas [ c ] = {( ∞ ), ( c ,0), ( c ,1) : c = 0, 1},

[ 0 ] = {( ∞ ), (0,0), (0,1) }

[ 1 ] = {( ∞ ), (1,0), (1,1) }

4 líneas [ r , c ] : ( r ) y los puntos ( i , ir + c ), donde i = 0, 1 : r , c = 0, 1.

[ 0,0 ] : {(0), (0,0), (1,0) }

[ 0,1 ] : {(0), (0,1), (1,1) }

[ 1,0 ] : {(1), (0,0), (1,1) }

[ 1,1 ] : {(1), (0,1), (1,0) }

Planos degenerados

Los planos degenerados no cumplen la tercera condición de la definición de plano proyectivo. No son estructuralmente lo suficientemente complejos como para ser interesantes por sí mismos, pero de vez en cuando surgen como casos especiales en argumentos generales. Existen siete tipos de planos degenerados según ( Albert & Sandler 1968 ) . Son:

el conjunto vacío;
un solo punto, sin líneas;
una sola línea, sin puntos;
un único punto, un conjunto de líneas, el punto es incidente con todas las líneas;
una sola línea, un conjunto de puntos, todos los puntos son incidentes con la línea;
un punto P incidente con una línea m , una colección arbitraria de líneas incidentes con P y una colección arbitraria de puntos incidentes con m ;
un punto P que no incide con una línea m , una colección arbitraria (puede ser vacía) de líneas que inciden con P y todos los puntos de intersección de estas líneas con m .

Estos siete casos no son independientes; el cuarto y el quinto pueden considerarse casos especiales del sexto, mientras que el segundo y el tercero son casos especiales del cuarto y el quinto, respectivamente. El caso especial del séptimo plano sin líneas adicionales puede verse como un octavo plano. Por lo tanto, todos los casos pueden organizarse en dos familias autoduales de planos degenerados de la siguiente manera (esta representación es para planos degenerados finitos, pero puede extenderse a planos infinitos de forma natural):

1) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y líneas L ₁ , ..., L _m ,

L ₁ = { P ₁ , P ₂ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ }

L ₃ = { P ₁ }

...

L _m = { P ₁ }

2) Para cualquier número de puntos P ₁ , ..., P _n , y líneas L ₁ , ..., L _n , (el mismo número de puntos que de líneas)

L ₁ = { P ₂ , P ₃ , ..., P _n }

L ₂ = { P ₁ , P ₂ }

L ₃ = { P ₁ , P ₃ }

...

L _n = { P ₁ , P _n }

Colineaciones

Una colineación de un plano proyectivo es una aplicación biyectiva del plano sobre sí mismo que asigna puntos a puntos y líneas a líneas que preserva la incidencia, lo que significa que si σ es una biyección y el punto P está en la línea m , entonces P ^σ está en m ^σ . ^{[ 10 ]}

Si σ es una colineación de un plano proyectivo, un punto P con P = P ^σ se denomina punto fijo de σ , y una recta m con m = m ^σ se denomina recta fija de σ . Los puntos sobre una recta fija no tienen por qué ser puntos fijos; sus imágenes bajo σ simplemente están restringidas a estar sobre esta recta. El conjunto de puntos fijos y rectas fijas de una colineación forma una configuración cerrada , que es un sistema de puntos y rectas que satisfacen las dos primeras condiciones, pero no necesariamente la tercera, de la definición de un plano proyectivo. Por lo tanto, la estructura de puntos fijos y rectas fijas para cualquier colineación forma un plano proyectivo por sí misma o un plano degenerado . Las colineaciones cuya estructura fija forma un plano se denominan colineaciones planas .

Homografía

Una homografía (o transformación proyectiva ) de PG(2, K ) es una colineación de este tipo de plano proyectivo que es una transformación lineal del espacio vectorial subyacente. Usando coordenadas homogéneas, se pueden representar mediante matrices invertibles de 3 × 3 sobre K que actúan sobre los puntos de PG(2, K ) por y = M x ^T , donde x e y son puntos en K ³ (vectores) y M es una matriz invertible de 3 × 3 sobre K. ^[¹¹^] Dos matrices representan la misma transformación proyectiva si una es un múltiplo constante de la otra. Por lo tanto , el grupo de transformaciones proyectivas es el cociente del grupo lineal general por las matrices escalares llamadas grupo lineal proyectivo .

Otro tipo de colineación de PG(2, K ) es inducida por cualquier automorfismo de K _; estas se denominan colineaciones automórficas . Si α es un automorfismo de K , entonces la colineación dada por ( x₀ _,x₁ , x₂ ₎ → ( x₀α ^, x₁α , x₂α ⁾ es una colineación automórfica. El teorema fundamental de la geometría proyectiva establece _{que todas las colineaciones de PG(}₂ , K ) son composiciones de homografías y colineaciones automórficas. Las colineaciones automórficas son colineaciones _planas^.

Dualidad de planos

Un plano proyectivo se define axiomáticamente como una estructura de incidencia , en términos de un conjunto P de puntos, un conjunto L de rectas y una relación de incidencia I que determina qué puntos se encuentran sobre qué rectas. Como P y L son solo conjuntos, se pueden intercambiar sus roles y definir una estructura dual del plano .

Al intercambiar el rol de "puntos" y "líneas" en

C = ( P , L , I )

obtenemos la estructura dual

C * = ( L , P , I *),

donde I * es la relación inversa de I .

En un plano proyectivo, una proposición que involucra puntos, líneas y la incidencia entre ellos, obtenida a partir de otra proposición similar mediante el intercambio de las palabras "punto" y "línea" y los ajustes gramaticales necesarios, se denomina proposición dual en el plano de la primera. La proposición dual en el plano de "Dos puntos están en una línea única" es "Dos líneas se encuentran en un punto único". La formación de la proposición dual en el plano se conoce como dualización de la proposición.

Si una afirmación es verdadera en un plano proyectivo C , entonces el plano dual de esa afirmación debe ser verdadero en el plano dual C *. Esto se deduce de que al dualizar cada afirmación en la demostración "en C " se obtiene una afirmación de la demostración "en C *".

En el plano proyectivo C , se puede demostrar que existen cuatro líneas, de las cuales no hay tres concurrentes. Al dualizar este teorema y los dos primeros axiomas de la definición de plano proyectivo, se demuestra que la estructura dual del plano C * es también un plano proyectivo, denominado plano dual de C .

Si C y C * son isomorfos, entonces C se denomina autodual . Los planos proyectivos PG(2, K ) para cualquier anillo de división K son autoduales. Sin embargo, existen planos no desarguesianos que no son autoduales, como los planos de Hall, y algunos que sí lo son, como los planos de Hughes .

El principio de dualidad plana dice que dualizar cualquier teorema en un plano proyectivo autodual C produce otro teorema válido en C.

Correlaciones

Una dualidad es una aplicación de un plano proyectivo C = ( P , L , I ) a su plano dual C * = ( L , P , I *) (véase más arriba ) que conserva la incidencia. Es decir, una dualidad σ mapeará puntos a rectas y rectas a puntos ( P ^σ = L y L ^σ = P ) de tal manera que si un punto Q está en una recta m (denotado por Q I m ) entonces Q ^σ I * m ^σ ⇔ m ^σ I Q ^σ . Una dualidad que es un isomorfismo se llama correlación . ^{[ 12 ]} Si existe una correlación, entonces el plano proyectivo C es autodual.

En el caso especial de que el plano proyectivo sea del tipo PG(2, K ) , con K un anillo de división, una dualidad se denomina reciprocidad . ^{[ 13 ]} Estos planos son siempre autoduales. Según el teorema fundamental de la geometría proyectiva, una reciprocidad es la composición de una función automorfa de K y una homografía . Si el automorfismo involucrado es la identidad, entonces la reciprocidad se denomina correlación proyectiva .

Una correlación de orden dos (una involución ) se denomina polaridad . Si una correlación φ no es una polaridad, entonces ^φ₂es una colineación no trivial.

Planos proyectivos finitos

Se puede demostrar que un plano proyectivo tiene el mismo número de líneas que de puntos (infinito o finito). Por lo tanto, para cada plano proyectivo finito existe un entero N ≥ 2 tal que el plano tiene

N ² + N + 1 puntos,

N ² + N + 1 líneas,

N + 1 puntos en cada línea, y

N + 1 líneas pasan por cada punto.

El número N se denomina orden del plano proyectivo.

El plano proyectivo de orden 2 se llama plano de Fano . Véase también el artículo sobre geometría finita .

Utilizando la construcción de espacios vectoriales con campos finitos, existe un plano proyectivo de orden N = p ⁿ , para cada potencia prima p ⁿ . De hecho, para todos los planos proyectivos finitos conocidos, el orden N es una potencia prima. ^{[ 14 ]}

La existencia de planos proyectivos finitos de otros órdenes es una cuestión abierta. La única restricción general conocida sobre el orden es el teorema de Bruck-Ryser-Chowla, que establece que si el orden N es congruente con 1 o 2 mod 4, debe ser la suma de dos cuadrados. Esto descarta N = 6. El siguiente caso, N = 10, ha sido descartado mediante cálculos computacionales masivos. ^{[ 15 ]} No se sabe nada más; en particular, la cuestión de si existe un plano proyectivo finito de orden N = 12 sigue abierta. ^{[ 16 ]}

Otro problema abierto de larga data es si existen planos proyectivos finitos de orden primo que no sean planos de cuerpos finitos (equivalentemente, si existe un plano proyectivo no desarguesiano de orden primo). ^{[ 17 ]}

Un plano proyectivo de orden N es un sistema de Steiner ^S (2, N + 1, N² + N + 1) (véase Sistema de Steiner ). Recíprocamente, se puede demostrar que todos los sistemas de Steiner de esta forma ( λ = 2 ) son planos proyectivos.

El número de cuadrados latinos mutuamente ortogonales de orden N es como máximo N − 1. Existen N − 1 si y solo si hay un plano proyectivo de orden N.

Para determinar el número de colineaciones del plano proyectivo PG(2,k) con k=pm ^, primero observe que una matriz invertible de 3 × 3 sobre GF( k ) está determinada por la imagen de una base bajo la multiplicación. Hay $k^{3}-1$ opciones para la imagen no nula del primer vector base, $k^{3}-k$ opciones para la imagen del segundo vector base que son linealmente independientes de la primera imagen, y $k^{3}-k^{2}$ opciones para la imagen del tercer vector base que son linealmente independientes de las dos primeras imágenes. Por lo tanto, hay $\left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)$ diferentes matrices invertibles, pero $k-1$ de ellos son múltiplos entre sí y por lo tanto representan la misma homografía, por lo que hay

{\frac {\left(k^{3}-1\right)\left(k^{3}-k\right)\left(k^{3}-k^{2}\right)}{k-1}}=\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}

diferentes homografías. Cada colineación es el producto de una homografía y un automorfismo de GF( p ^m ), y hay m de tales automorfismos, por lo que hay $m\left(k^{2}+k+1\right)(k+1)k^{3}(k-1)^{2}$ diferentes colineaciones.

Si bien la clasificación de todos los planos proyectivos está lejos de ser completa, se conocen resultados para órdenes pequeños:

2 : todos isomorfos a PG(2, 2) , configuración (7 ₃ ) con 168 colineaciones
3 : todo isomorfo a PG(2, 3) , configuración (13 ₄ ) con 5616 colineaciones
4 : todos isomorfos a PG(2, 4), configuración (21 ₅ ) con 120.960 colineaciones
5 : todos isomorfos a PG(2, 5), configuración (31 ₆ ) con 372.000 colineaciones
6 : imposible como el orden de un plano proyectivo, demostrado por Tarry , quien mostró que el problema de los treinta y seis oficiales de Euler no tiene solución. Sin embargo, la conexión entre estos problemas no se conoció hasta que Bose la demostró en 1938. ^[¹⁸^]
7 : todos isomorfos a PG(2, 7), configuración (57 ₈ ) con 5.630.688 colineaciones
8 : todos isomorfos a PG(2, 8), configuración (73 ₉ ) con 32.965.632 colineaciones
9 : PG(2, 9), y tres planos no desarguesianos diferentes (no isomorfos) : un plano de Hughes , un plano de Hall y el dual de este plano de Hall. Todos se describen en ( Room & Kirkpatrick 1971 ) .
10 : imposible como orden de un plano proyectivo, demostrado mediante cálculos informáticos complejos. ^{[ 15 ]}
11 : al menos PG(2, 11), configuración (133 ₁₂ ) con 212.427.600 colineaciones; otras no se conocen pero son posibles.
12 : se conjeturó que era imposible como orden de un plano proyectivo. ^{[ 19 ]}

Planos proyectivos en espacios proyectivos de dimensiones superiores

Los planos proyectivos pueden considerarse geometrías proyectivas de dimensión dos. ^{[ 20 ]} Las geometrías proyectivas de dimensiones superiores pueden definirse en términos de relaciones de incidencia de manera análoga a la definición de un plano proyectivo.

El espacio proyectivo más pequeño de dimensión 3 es PG(3,2) .

Estos resultan ser más "mansos" que los planos proyectivos ya que los grados de libertad adicionales permiten que el teorema de Desargues se demuestre geométricamente en la geometría de dimensiones superiores. Esto significa que el "anillo" de coordenadas asociado a la geometría debe ser un anillo de división (cuerpo asimétrico) K , y la geometría proyectiva es isomorfa a la construida a partir del espacio vectorial K ^{d +1} , es decir, PG( d , K ). Como en la construcción dada anteriormente, los puntos del espacio proyectivo d -dimensional PG( d , K ) son las rectas que pasan por el origen en K ^d⁺¹ y una recta en PG( d , K ) corresponde a un plano que pasa por el origen en K ^d⁺¹ . De hecho, cada objeto i -dimensional en PG( d , K ), con i < d , es un subespacio vectorial (algebraico) ( i + 1) -dimensional de K ^d⁺¹ ("pasa por el origen"). Los espacios proyectivos a su vez se generalizan a los espacios grassmannianos .

Se puede demostrar que si el teorema de Desargues se cumple en un espacio proyectivo de dimensión mayor que dos, entonces también debe cumplirse en todos los planos contenidos en dicho espacio. Dado que existen planos proyectivos en los que el teorema de Desargues no se cumple ( planos no desarguesianos ), estos planos no pueden estar incrustados en un espacio proyectivo de dimensión superior. Solo los planos de la construcción de espacio vectorial PG(2, K ) pueden aparecer en espacios proyectivos de dimensión superior. Algunas disciplinas matemáticas restringen el significado de plano proyectivo únicamente a este tipo de plano proyectivo, ya que, de lo contrario, las afirmaciones generales sobre espacios proyectivos siempre tendrían que mencionar las excepciones cuando la dimensión geométrica es dos. ^[²¹^]

Véase también

Diseño de bloques : una generalización de un plano proyectivo finito.
Diseño combinatorio
Conjunto de diferencias
Estructura de incidencia
Polígono generalizado
Geometría proyectiva
Plano no desarguesiano
Plano proyectivo liso
Transversales en planos proyectivos finitos
Plano proyectivo truncado : un plano proyectivo al que se le ha eliminado un vértice.
Dimensión VC de un plano proyectivo finito

Notas

↑ Las expresiones «plano proyectivo», «plano afín extendido» y «plano euclidiano extendido» pueden distinguirse según si la línea en el infinito se considera especial (en el llamado plano «proyectivo» no lo es, en los planos «extendidos» sí) y según si la métrica euclidiana se considera significativa (en los planos proyectivo y afín no lo es). Lo mismo ocurre con los espacios proyectivos o extendidos de otras dimensiones.
↑ En una versión más formal de la definición, se señala que los términos punto, línea e incidencia son nociones primitivas (términos indefinidos). Este enfoque formal es necesario para comprender el concepto de dualidad cuando se aplica a planos proyectivos.
↑ Baez (2002) , pág. 165.
↑ El plano proyectivo real aparece 37 veces en el índice de Bredon (1993), por ejemplo.
↑ Los planos proyectivos sobre cuerpos se utilizan a lo largo de Shafarevich (1994) , por ejemplo.
↑ Véase, por ejemplo, Weintraub (1978) y Gorodkov (2019)
↑ David Hilbert demostró la parte más difícil del "solo si" de este resultado.
↑ Tait (2019) , pág. 2843.
↑ Baez (2002) , pág. 167.
↑ A los geómetras les gusta escribir las aplicaciones en notación exponencial, por lo que P ^σ significa σ ( P ) en una notación más convencional.
↑ Los puntos se consideran vectores fila, por lo que para que la multiplicación de matrices funcione en esta expresión, el punto x debe escribirse como un vector columna.
↑ Dembowski (1968) , pág. 151.
↑ Casse (2006) , pág. 94.
↑ Beso y Szőnyi (2020) , pág. 23 .
1 2 Lam (1991) .
↑ Cook et al. (2016) .
↑ Bagchi (2019) .
↑ Lam (1991) , p. 306. "En 1938, Bose explicó por qué no existe un plano proyectivo de orden 6. Relacionó la existencia de un plano proyectivo finito de orden n con la existencia de un cuadrado hiper-grecolatino."
↑ Suetake (2004) .
↑ En geometría y álgebra (espacios vectoriales) existen nociones contrapuestas de dimensión . En geometría, las líneas son unidimensionales, los planos bidimensionales, los sólidos tridimensionales, etc. En un espacio vectorial, sin embargo, la dimensión es el número de vectores en una base. Cuando las geometrías se construyen a partir de espacios vectoriales, estas dos nociones de dimensión pueden generar confusión, por lo que a menudo se denominadimensión geométrica o proyectiva al concepto geométrico y dimensión algebraica o de espacio vectorial al otro . Ambos conceptos se relacionan numéricamente mediante la siguiente fórmula: dimensión algebraica = dimensión geométrica + 1.
↑ Bruck & Bose (1964) , Introducción . «Podría decirse, con cierta razón, que la geometría proyectiva, en lo que respecta a la investigación actual, se ha dividido en dos campos bastante distintos. Por un lado, el investigador de los fundamentos de la geometría tiende a considerar los espacios desarguesianos como completamente conocidos. Dado que los únicos espacios no desarguesianos posibles son los planos, su atención se restringe a la teoría de los planos proyectivos, especialmente a los planos no desarguesianos. Por otro lado, se encuentran todos aquellos investigadores —y en especial, los geómetras algebraicos— que no están dispuestos a limitarse al espacio bidimensional ni interesados en permitir que los planos no desarguesianos asuman un papel excepcional en sus teoremas. Para este último grupo de investigadores, no existen espacios proyectivos salvo los espacios desarguesianos.»

Referencias

Albert, A. Adrian ; Sandler, Reuben (1968), Introducción a los planos proyectivos finitos , Nueva York: Holt, Rinehart and Winston
Baez, John C. (2002), "Los octoniones" , Bull. Amer. Math. Soc. , 39 (2): 145–205 , arXiv : math/0105155 , doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X , S2CID 586512
Bagchi, Bhaskar (2019), "Un enfoque de teoría de la codificación a la conjetura de unicidad para planos proyectivos de orden primo", Designs, Codes and Cryptography , 87 (10): 2375–2389 , arXiv : 1801.07038 , doi : 10.1007/s10623-019-00623-y , MR 4001798
Bamberg, John; Penttila, Tim (2015), "Completando la demostración de Segre del pequeño teorema de Wedderburn" (PDF) , Bulletin of the London Mathematical Society , 47 (3): 483–492 , doi : 10.1112/blms/bdv021 , S2CID 123036578
Bredon, Glen E. (1993), Topología y geometría , Springer-Verlag, ISBN 0-387-97926-3
Bruck, RH (1955), "Conjuntos de diferencias en un grupo finito", Trans. Amer. Math. Soc. , 78 (2): 464– 481, doi : 10.1090/s0002-9947-1955-0069791-3
Bruck, RH ; Bose, RC (1964), "La construcción de planos de traslación a partir de espacios proyectivos" (PDF) , J. Algebra , 1 : 85–102 , doi : 10.1016/0021-8693(64)90010-9
Casse, Rey (2006), Geometría proyectiva: una introducción , Oxford: Oxford University Press, ISBN 0-19-929886-6
Cook, David II; Migliore, Juan; Nagel, Uwe; Zanello, Fabrizio (2016), "Un enfoque algebraico para planos proyectivos finitos", Journal of Algebraic Combinatorics , 43 (3): 495– 519, arXiv : 1503.04335 , doi : 10.1007/s10801-015-0644-8 , MR 3482438
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275
Gleason, Andrew M. (1956), "Planos de Fano finitos", American Journal of Mathematics , 78 (4): 797– 807, doi : 10.2307/2372469 , JSTOR 2372469 , MR 0082684
Gorodkov, Denis (2019), "Una triangulación de 15 vértices del plano proyectivo cuaterniónico", Discrete & Computational Geometry , 62 (2): 348–373 , arXiv : 1603.05541 , doi : 10.1007/s00454-018-00055-w
Hall, Marshall (1943), "Planos proyectivos", Transactions of the American Mathematical Society , 54 (2), American Mathematical Society: 229–277 , doi : 10.2307/1990331 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990331 , MR 0008892
Hughes, D.; Piper, F. (1973), Planos proyectivos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90044-6
Kárteszi, F. (1976), Introducción a las geometrías finitas , Ámsterdam: North-Holland, ISBN 0-7204-2832-7
Beso, György; Szőnyi, Tamás (2020), Geometrías finitas , Boca Raton, Florida: CRC Press, ISBN 978-1-4987-2165-3, MR 4242245
Lam, Clement WH (1991), "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10" (PDF) , The American Mathematical Monthly , 98 (4): 305–318 , doi : 10.1080/00029890.1991.12000759 , JSTOR 2323798 , consultado el 19 de julio de 2026.
Lindner, Charles C.; Rodger, Christopher A., eds. (31 de octubre de 1997), Teoría del diseño (2.ª ed.), CRC Press, ISBN 0-8493-3986-3
Lüneburg, Heinz (1980), Translation Planes , Berlín: Springer Verlag, ISBN 0-387-09614-0
Moulton, Forest Ray (1902), "Una geometría plana simple no desarguesiana", Transactions of the American Mathematical Society , 3 (2): 192– 195, doi : 10.2307/1986419 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1986419
Neumann, Hanna (1954), "En algunos planos finitos no desarguesianos", Archiv der Mathematik , 6 : 36– 40, doi : 10.1007/BF01899210
Room, TG ; Kirkpatrick, PB (1971), Geometría de minicuaterniones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-07926-8
Shafarevich, IR (1994), Geometría algebraica básica , Springer-Verlag, ISBN 0-387-54812-2
Stevenson, Frederick W. (1972), Planos proyectivos , San Francisco: WH Freeman and Company, ISBN 0-7167-0443-9
Suetake, Chihiro (2004), "La no existencia de planos proyectivos de orden 12 con un grupo de colineación de orden 16", Journal of Combinatorial Theory, Series A , 107 (1): 21–48 , doi : 10.1016/j.jcta.2004.03.006 , MR 2063952
Tait, Michael (2019), "Sobre un problema de Neumann", Matemáticas Discretas , 342 (10): 2843– 2845, arXiv : 1509.06587 , doi : 10.1016/j.disc.2018.11.004
Weintraub, Steven H. (1978), "Acciones de grupo en planos proyectivos cuaterniónicos homológicos", Proceedings of the American Mathematical Society , 70 (1): 75–82 , doi : 10.2307/2042588 , JSTOR 2042588

Enlaces externos

G. Eric Moorhouse, Planos proyectivos de orden pequeño , (2003)
Ch. Weibel : Estudio de planos no desarguesianos
Weisstein, Eric W. , "Plano proyectivo" , MathWorld
"Plano proyectivo" en PlanetMath .

[1] Las expresiones «plano proyectivo», «plano afín extendido» y «plano euclidiano extendido» pueden distinguirse según si la línea en el infinito se considera especial (en el llamado plano «proyectivo» no lo es, en los planos «extendidos» sí) y según si la métrica euclidiana se considera significativa (en los planos proyectivo y afín no lo es). Lo mismo ocurre con los espacios proyectivos o extendidos de otras dimensiones.

[2] En una versión más formal de la definición, se señala que los términos punto, línea e incidencia son nociones primitivas (términos indefinidos). Este enfoque formal es necesario para comprender el concepto de dualidad cuando se aplica a planos proyectivos.

[FOOTNOTEBaez2002165-3] Baez (2002) , pág. 165.

[Bredon1993-4] El plano proyectivo real aparece 37 veces en el índice de Bredon (1993), por ejemplo.

[Shafarevich1994-5] Los planos proyectivos sobre cuerpos se utilizan a lo largo de Shafarevich (1994) , por ejemplo.

[6] Véase, por ejemplo, Weintraub (1978) y Gorodkov (2019)

[7] David Hilbert demostró la parte más difícil del "solo si" de este resultado.

[FOOTNOTETait20192843-8] Tait (2019) , pág. 2843.

[FOOTNOTEBaez2002167-9] Baez (2002) , pág. 167.

[10] A los geómetras les gusta escribir las aplicaciones en notación exponencial, por lo que P ^σ significa σ ( P ) en una notación más convencional.

[11] Los puntos se consideran vectores fila, por lo que para que la multiplicación de matrices funcione en esta expresión, el punto x debe escribirse como un vector columna.

[FOOTNOTEDembowski1968151-12] Dembowski (1968) , pág. 151.

[FOOTNOTECasse200694-13] Casse (2006) , pág. 94.

[FOOTNOTEKissSzőnyi2020[httpsbooksgooglecombooksidZzWoDwAAQBAJpgPA23_23]-14] Beso y Szőnyi (2020) , pág. 23 .

[FOOTNOTELam1991-15] 1 2 Lam (1991) .

[FOOTNOTECookMiglioreNagelZanello2016-16] Cook et al. (2016) .

[FOOTNOTEBagchi2019-17] Bagchi (2019) .

[18] Lam (1991) , p. 306. "En 1938, Bose explicó por qué no existe un plano proyectivo de orden 6. Relacionó la existencia de un plano proyectivo finito de orden n con la existencia de un cuadrado hiper-grecolatino."

[FOOTNOTESuetake2004-19] Suetake (2004) .

[20] En geometría y álgebra (espacios vectoriales) existen nociones contrapuestas de dimensión . En geometría, las líneas son unidimensionales, los planos bidimensionales, los sólidos tridimensionales, etc. En un espacio vectorial, sin embargo, la dimensión es el número de vectores en una base. Cuando las geometrías se construyen a partir de espacios vectoriales, estas dos nociones de dimensión pueden generar confusión, por lo que a menudo se denominadimensión geométrica o proyectiva al concepto geométrico y dimensión algebraica o de espacio vectorial al otro . Ambos conceptos se relacionan numéricamente mediante la siguiente fórmula: dimensión algebraica = dimensión geométrica + 1.

[21] Bruck & Bose (1964) , Introducción . «Podría decirse, con cierta razón, que la geometría proyectiva, en lo que respecta a la investigación actual, se ha dividido en dos campos bastante distintos. Por un lado, el investigador de los fundamentos de la geometría tiende a considerar los espacios desarguesianos como completamente conocidos. Dado que los únicos espacios no desarguesianos posibles son los planos, su atención se restringe a la teoría de los planos proyectivos, especialmente a los planos no desarguesianos. Por otro lado, se encuentran todos aquellos investigadores —y en especial, los geómetras algebraicos— que no están dispuestos a limitarse al espacio bidimensional ni interesados en permitir que los planos no desarguesianos asuman un papel excepcional en sus teoremas. Para este último grupo de investigadores, no existen espacios proyectivos salvo los espacios desarguesianos.»

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