Plano proyectivo liso

En geometría , los planos proyectivos suaves son planos proyectivos especiales . El ejemplo más destacado de un plano proyectivo suave es el plano proyectivo real.${\displaystyle {\mathcal {E}}}$Sus operaciones geométricas de unir dos puntos distintos mediante una línea y de intersecar dos líneas en un punto no solo son continuas sino incluso suaves (infinitamente diferenciables) .${\displaystyle =C^{\infty }}$). De manera similar, los planos clásicos sobre los números complejos , los cuaterniones y los octoniones son planos suaves. Sin embargo, estos no son los únicos planos de este tipo.

Un plano proyectivo liso${\displaystyle {\mathcal {P}}=(P,{\mathfrak {L}})}$consiste en un espacio de puntos${\displaystyle P}$y un espacio de línea${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$que sean variedades diferenciables y donde tanto las operaciones geométricas de unión como de intersección sean diferenciables.

Las operaciones geométricas de los planos lisos son continuas; por lo tanto, cada plano liso es un plano topológico compacto . ^{[ 1 ]} Los planos lisos existen solo con espacios de puntos de dimensión 2 ^m donde${\displaystyle 1\leq m\leq 4}$, porque esto es cierto para planos topológicos proyectivos conexos compactos. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Estos cuatro casos se tratarán por separado más adelante.

Teorema. La variedad de puntos de un plano proyectivo liso es homeomorfa a su contraparte clásica, al igual que la variedad de líneas . ^{[ 4 ]}

Los automorfismos desempeñan un papel crucial en el estudio de los planos lisos. Una biyección del conjunto de puntos de un plano proyectivo se denomina colineación si mapea líneas sobre líneas. Las colineaciones continuas de un plano proyectivo compacto${\displaystyle {\mathcal {P}}}$formar el grupo${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. Este grupo se toma con la topología de convergencia uniforme . Tenemos: ^{[ 5 ]}

Teorema. Si${\displaystyle {\mathcal {P}}=(P,{\mathfrak {L}})}$es un plano liso, entonces cada colineación continua de${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es suave ; en otras palabras, el grupo de automorfismos de un plano suave${\displaystyle {\mathcal {P}}}$coincide con${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. Además,${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$es un grupo de transformación de Lie suave de${\displaystyle P}$y de${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$.

Los grupos de automorfismos de los cuatro planos clásicos son grupos de Lie simples de dimensión 8, 16, 35 o 78, respectivamente. Todos los demás planos lisos tienen grupos mucho más pequeños. Véase más abajo.

Un plano proyectivo se denomina plano de traslación si su grupo de automorfismos tiene un subgrupo que fija cada punto en alguna línea.${\displaystyle W}$y actúa de manera marcadamente transitiva sobre el conjunto de puntos que no están en${\displaystyle W}$.

Teorema. Todo plano de traslación proyectiva suave${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es isomorfo a uno de los cuatro planos clásicos . ^{[ 6 ]}

Esto demuestra que existen muchos planos proyectivos topológicos compactos y conexos que no son lisos. Por otro lado, la siguiente construcción produce planos analíticos reales no desarguesianos de dimensión 2, 4 y 8, con un grupo compacto de automorfismos de dimensión 1, 4 y 13, respectivamente: ^{[ 7 ]} representan puntos y líneas de la manera usual mediante coordenadas homogéneas sobre los números reales o complejos o los cuaterniones , por ejemplo, mediante vectores de longitud${\displaystyle 1}$. Entonces la incidencia del punto${\displaystyle (x,y,z)}$y la línea${\displaystyle (a,b,c)}$se define por${\displaystyle hacha+por+cz=t|c|^{2}|z|^{2}cz}$, dónde${\displaystyle t}$es un parámetro real fijo tal que${\displaystyle |t|<1/9}$Estos planos son autoduales.

Los planos proyectivos compactos bidimensionales se pueden describir de la siguiente manera: el espacio de puntos es una superficie compacta.${\displaystyle S}$, cada línea es una curva de Jordan en${\displaystyle S}$(un subconjunto cerrado homeomorfo al círculo), y cualesquiera dos puntos distintos están unidos por una única línea. Entonces${\displaystyle S}$es homeomorfo al espacio de puntos del plano real${\displaystyle {\mathcal {E}}}$, cualesquiera dos líneas distintas se intersecan en un único punto, y las operaciones geométricas son continuas (aplicar Salzmann et al. 1995 , §31 al complemento de una línea). Moulton dio una familia de ejemplos conocidos en 1902. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Estos planos se caracterizan por el hecho de que tienen un grupo de automorfismos de 4 dimensiones. No son isomorfos a un plano liso. ^{[ 10 ]} De manera más general, todos los planos compactos bidimensionales no clásicos${\displaystyle {\mathcal {P}}}$de tal manera que${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 3}$se conocen explícitamente; ninguno de ellos es suave:

Teorema. Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano bidimensional liso y si${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 3}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es el plano real clásico${\displaystyle {\mathcal {E}}}$. ^{[ 11 ]}

Todos los aviones compactos${\displaystyle {\mathcal {P}}}$con un espacio de puntos de 4 dimensiones y${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\geq 7}$han sido clasificados. ^{[ 12 ]} Hasta la dualidad, son planos de traslación o son isomorfos a un único plano denominado de desplazamiento. ^{[ 13 ]} Según Bödi (1996 , cap. 10 ) , este plano de desplazamiento no es liso. Por lo tanto, el resultado sobre planos de traslación implica:

Teorema. Un plano liso de 4 dimensiones es isomorfo al plano complejo clásico, o${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\leq 6}$. ^{[ 14 ]}

Planos topológicos compactos de 8 dimensiones${\displaystyle {\mathcal {P}}}$Se han discutido en Salzmann et al. (1995 , Capítulo 8) y, más recientemente, en Salzmann (2014) .${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$. Cualquiera${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es el plano cuaternión clásico o${\displaystyle \dim \Sigma \leq 18}$. Si${\displaystyle \dim \Sigma \geq 17}$, entonces${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano de traslación, o un plano de traslación dual, o un plano de Hughes . ^{[ 15 ]} Este último se puede caracterizar de la siguiente manera:${\displaystyle \Sigma }$deja algún subplano complejo clásico${\displaystyle {\mathcal {C}}}$invariante e induce en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$el componente conexo de su grupo de automorfismos completo. ^{[ 16 ] [ 17 ]} Los planos de Hughes no son suaves. ^{[ 18 ] [ 19 ]} Esto produce un resultado similar al caso de los planos de 4 dimensiones:

Teorema. Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano liso de 8 dimensiones, entonces${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es el plano cuaternión clásico o${\displaystyle \dim \Sigma \leq 16}$.

Dejar${\displaystyle \Sigma }$denota el grupo de automorfismos de un plano proyectivo topológico compacto de 16 dimensiones.${\displaystyle {\mathcal {P}}}$. Cualquiera${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es el plano octoniónico clásico liso o${\displaystyle \dim \Sigma \leq 40}$. Si${\displaystyle \dim \Sigma =40}$, entonces${\displaystyle \Sigma }$corrige una línea${\displaystyle W}$y un punto${\displaystyle v\in W}$y el plano afín${\displaystyle {\mathcal {P}}\smallsetminus W}$y su dual son planos de traslación. ^{[ 20 ]} Si${\displaystyle \dim \Sigma =39}$, entonces${\displaystyle \Sigma }$también corrige un par de punto-línea de incidente, pero ninguno${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ni${\displaystyle \Sigma }$se conocen explícitamente. Sin embargo, ninguno de estos planos puede ser liso: ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}

Teorema. Si${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano proyectivo liso de 16 dimensiones, entonces${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es el plano octoniónico clásico o${\displaystyle \dim \Sigma \leq 38}$.

Los últimos cuatro resultados se combinan para dar lugar al siguiente teorema:

Si${\displaystyle c_{m}}$es el mayor valor de${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es un plano proyectivo topológico compacto no clásico de 2 ^m dimensiones , entonces${\displaystyle \dim \operatorname {Aut} {\mathcal {P}}\leq c_{m}-2}$cuando sea${\displaystyle {\mathcal {P}}}$es incluso suave.

La condición de que las operaciones geométricas de un plano proyectivo sean analíticas complejas es muy restrictiva. De hecho, solo se cumple en el plano complejo clásico. ^{[ 24 ] [ 25 ]}

Teorema. Todo plano proyectivo analítico complejo es isomorfo como plano analítico al plano complejo con su estructura analítica estándar .

• Bödi, R. (1996), "Planos estables y proyectivos suaves" , Tesis, Tubinga
• Salzmann, H.; Betten, D.; Grundhöfer, T.; Hahl, H.; Lowen, R.; Stroppel, M. (1995), Planos proyectivos compactos , W. de Gruyter
• Salzmann, H. (2014), Planos compactos, en su mayoría de 8 dimensiones. Una retrospectiva , arXiv : 1402.0304 , Bibcode : 2014arXiv1402.0304S