Función W de Lambert

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o producto logarítmico , ^[1] es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we ^w , donde w es cualquier número complejo y e ^w es la función exponencial . La función recibe su nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W per se en 1783.

Para cada entero k hay una rama, denotada por W _k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W ₀ se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos cualesquiera, entonces

${\displaystyle nosotros^{w}=z}$

se cumple si y sólo si

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ para algún número entero }}k.}$

Cuando se trata sólo de números reales, las dos ramas W ₀ y W ₋₁ son suficientes: para los números reales x e y la ecuación

$Estilo de visualización ye^{y}=x}$

se puede resolver para y solo si x ≥ − ⁠1/mi⁠ ; produce y = W ₀ ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W ₀ ( x ) y y = W ₋₁ ( x ) si − ⁠1/mi⁠ ≤ x < 0 .

Las ramas de la función W de Lambert no se pueden expresar en términos de funciones elementales . ^[2] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Se puede utilizar para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose–Einstein y Fermi–Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′( t ) = a y ( t − 1) . En bioquímica , y en particular en cinética enzimática , se describe una solución en forma abierta para el análisis cinético del curso temporal de la cinética de Michaelis–Menten en términos de la función W de Lambert .

La convención de notación elegida aquí (con W ₀ y W ₋₁ ) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . ^[3]

El nombre "logaritmo del producto" se puede entender así: dado que la función inversa de f ( w ) = e ^w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la "función" inversa del producto we ^w como "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , es multivaluado y, por lo tanto, W se describe como la relación inversa en lugar de la función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a W ₀ (1) .

Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, ^[4] lo que condujo a un artículo de Leonhard Euler en 1783 ^[5] que discutía el caso especial de we ^w .

La ecuación que Lambert consideró fue

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler transformó esta ecuación en la forma

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(ab)cx^{a+b}.}$

Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.

Una vez que Euler hubo resuelto esta ecuación, consideró el caso ⁠ ⁠${\estilo de visualización a=b}$ . Tomando límites, derivó la ecuación

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Luego puso ⁠ ⁠${\estilo de visualización a=1}$ y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresando ⁠ ⁠${\estilo de visualización x}$ en términos de ⁠ ⁠${\estilo de visualización c}$ .

Después de tomar derivadas con respecto a ⁠ ⁠${\estilo de visualización x}$ y algunas manipulaciones, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.

En 1993, se informó que la función Lambert ⁠ ⁠${\estilo de visualización W}$ proporciona una solución exacta al modelo de la función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas iguales ^[6] , un problema fundamental en física. Impulsados ​​por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple se dieron cuenta de que "la función W de Lambert se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a la notación diferente y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto como debería haber sido". ^{[3] [7]}

Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten . ^[8]

Aunque se creía ampliamente que la función de Lambert no se${\estilo de visualización W}$ puede expresar en términos de funciones elementales ( de Liouvillian ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. ^[9]

Hay un número contable de ramas de la función W , denotada por W _k ( z ) , para el entero k ; W ₀ ( z ) es la rama principal. W ₀ ( z ) se define para todos los números complejos z mientras que W _k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Con W ₀ (0) = 0 ylímitez →0 W _k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .

El punto de ramificación de la rama principal está en z = − ⁠1/mi⁠ , con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W ₋₁ y W ₁ . En todas las ramas W _k con k ≠ 0 , hay un punto de rama en z = 0 y un corte de rama a lo largo de todo el eje real negativo.

Las funciones W _k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .

El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la simple relación inversa ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ es verdadera. ⁠ ⁠${\displaystyle f=ze^{z}}$ implica que existe un ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ tal que ⁠ ⁠${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ , donde ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ depende del valor de ⁠ ⁠${\estilo de visualización z}$ . El valor del entero ⁠ ⁠${\estilo de visualización n}$ cambia abruptamente cuando ⁠ ⁠${\displaystyle ze^{z}}$ está en el corte de la rama de ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , lo que significa que ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$≤ 0 , excepto para ⁠ ⁠${\estilo de visualización n=0}$ donde es ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ ≤ −1/ ⁠ ⁠${\estilo de visualización e}$ .

Definiendo ⁠ ⁠${\displaystyle z=x+iy}$ , donde ⁠ ⁠${\estilo de visualización x}$ y ⁠ ⁠${\estilo de visualización y}$ son reales, y expresando ⁠ ⁠$estilo de visualización e^{z}}$ en coordenadas polares, se ve que

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos yy \sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}$

Para , el corte de rama para ⁠ ⁠ es el eje real no positivo, de modo que ${\estilo de visualización n\neq 0}$${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

y

${\displaystyle (x\cos yy\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Para , la rama cortada para ⁠ ⁠ es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierte en ${\estilo de visualización n=0}$${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos yy\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , y esas regiones especifican dónde la función ⁠ ⁠${\estilo de visualización W}$ es simplemente invertible, es decir , ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ .

Por diferenciación implícita , se puede demostrar que todas las ramas de W satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W no es diferenciable para z = − ⁠1/mi⁠ .) Como consecuencia, se obtiene la siguiente fórmula para la derivada de W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{para }}z\no \en \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Usando la identidad e ^{W ( z )} = ⁠el/W ( z )⁠ , da la siguiente fórmula equivalente:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{para }}z\neq -{\frac { 1}{e}}.}$

En el origen tenemos

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

La función W ( x ) , y muchas otras expresiones que involucran W ( x ) , se pueden integrar utilizando la sustitución w = W ( x ) , es decir x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W ₀ ( e ) = 1 ) es la identidad

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

La serie de Taylor de W ₀ alrededor de 0 se puede encontrar utilizando el teorema de inversión de Lagrange y está dada por

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

El radio de convergencia es1/mi⁠ , como se puede ver mediante la prueba de la razón . La función definida por esta serie se puede extender a una función holomorfa definida en todos los números complejos con un corte de rama a lo largo del intervalo (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] ; esta función holomorfa define la rama principal de la función W de Lambert .

Para valores grandes de x , W ₀ es asintótico a

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

donde L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x , y [^{yo + yo}
_{+ 1}] es un número de Stirling no negativodel primer tipo.^[3]Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

La otra rama real, W ₋₁ , definida en el intervalo [− ⁠1/mi⁠ , 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, con en este caso L ₁ = ln(− x ) y L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Las potencias enteras de W ₀ también admiten expansiones simples en serie de Taylor (o Laurent ) en cero:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

De manera más general, para r ∈ Z , la fórmula de inversión de Lagrange da

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, esta última puede escribirse en forma de una expansión de Taylor de potencias de W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

lo cual es válido para cualquier r ∈ C y | x | < ⁠1/mi⁠ .

Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.

Hoorfar y Hassani ^[10] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

También mostraron el límite general

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

para cada y , con igualdad solo para . El límite permite realizar muchos otros límites, como tomar que da el límite ${\displaystyle y>1/e}$${\displaystyle x\geq -1/e}$${\displaystyle x=y\ln(y)}$${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

En 2013 se demostró ^[11] que la rama W ₋₁ se puede acotar de la siguiente manera:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Roberto Iacono y John P. Boyd ^[12] ampliaron los límites de la siguiente manera:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

De la definición se desprenden algunas identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Nótese que, dado que f ( x ) = xe ^x no es inyectiva , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x , de forma muy similar a lo que ocurre con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 fijo y x ≠ −1 , la ecuación xe ^x = ye ^y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) es la otra solución.

Algunas otras identidades: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(que puede extenderse a otros n y x si se elige la rama correcta).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Sustituyendo −ln x en la definición: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Con la exponencial iterada h ( x ) de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Los siguientes son valores especiales de la rama principal: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$(la constante omega )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

Valores especiales de la rama W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

La rama principal de la función de Lambert se puede representar mediante una integral propia, debida a Poisson: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Kalugin–Jeffrey–Corless encontró otra representación de la rama principal: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: ^[18]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Además, si | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

A su vez, si | W ₀ ( x ) | > e , entonces

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Hay varias fórmulas integrales definidas útiles que involucran la rama principal de la función W , incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La primera identidad se puede encontrar escribiendo la integral gaussiana en coordenadas polares .

La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W ₀ ( x ) , lo que da

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La tercera identidad puede derivarse de la segunda haciendo la sustitución u = x ⁻² y la primera también puede derivarse de la tercera mediante la sustitución z = ⁠1/√ 2⁠ tan x .

A excepción de z a lo largo del corte de la rama (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] (donde la integral no converge), la rama principal de la función W de Lambert se puede calcular mediante la siguiente integral: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

La función W de Lambert se utiliza para resolver ecuaciones en las que la cantidad desconocida se encuentra tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia consiste en convertir dicha ecuación en una ecuación de la forma ze ^z = w y luego resolver z utilizando la función W.

Por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

y por lo tanto:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

Generalmente, la solución a

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

es:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

donde a , b y c son constantes complejas, donde b y c no son iguales a cero, y la función W es de cualquier orden entero.

Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

donde H ( x ) es la altura del flujo de escombros, x es la posición del canal aguas abajo, L es el parámetro del modelo unificado que consiste en varios parámetros físicos y geométricos del flujo, la altura del flujo y el gradiente de presión hidráulica.

En el flujo por tuberías , la función W de Lambert forma parte de la formulación explícita de la ecuación de Colebrook para hallar el factor de fricción de Darcy . Este factor se utiliza para determinar la caída de presión a través de un tramo recto de tubería cuando el flujo es turbulento . ^[21]

La rama principal de la función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería mecánica , en el estudio de la transferencia dependiente del tiempo de fluidos newtonianos entre dos yacimientos con niveles de superficie libre variables, utilizando bombas centrífugas. ^[22] La función W de Lambert proporcionó una solución exacta al caudal de fluido tanto en régimen laminar como turbulento: donde es el caudal inicial y es el tiempo. $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$${\displaystyle Q_{i}}$${\displaystyle t}$

La función W de Lambert se emplea en el campo de la neuroimagen para vincular los cambios en el flujo sanguíneo cerebral y el consumo de oxígeno dentro de un vóxel cerebral con la señal dependiente del nivel de oxigenación sanguínea (BOLD) correspondiente. ^[23]

La función W de Lambert se emplea en el campo de la ingeniería química para modelar el espesor de la película de electrodos porosos en un supercondensador basado en carbono vítreo para el almacenamiento de energía electroquímica. La función W de Lambert proporciona una solución exacta para un proceso de activación térmica en fase gaseosa donde el crecimiento de la película de carbono y la combustión de la misma película compiten entre sí. ^{[24] [25]}

En el crecimiento de cristales, el principio negativo de la función W de Lambert se puede utilizar para calcular el coeficiente de distribución, , y la concentración de soluto en la masa fundida, , ^{[26] [27]} a partir de la ecuación de Scheil : ${\textstyle k}$${\textstyle C_{L}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

La función W de Lambert se emplea en el campo del crecimiento de películas epitaxiales para determinar el espesor crítico de la película al inicio de la dislocación . Este es el espesor calculado de una película epitaxial, donde debido a principios termodinámicos la película desarrollará dislocaciones cristalográficas para minimizar la energía elástica almacenada en las películas. Antes de la aplicación de la función W de Lambert para este problema, el espesor crítico tenía que determinarse mediante la resolución de una ecuación implícita. La función W de Lambert la convierte en una ecuación explícita para un manejo analítico fácil. ^[28]

La función W de Lambert se ha empleado en el campo del flujo de fluidos en medios porosos para modelar la inclinación de una interfaz que separa dos fluidos segregados gravitacionalmente en un lecho poroso inclinado homogéneo de inclinación y espesor constantes, donde el fluido más pesado, inyectado en el extremo inferior, desplaza al fluido más ligero que se produce a la misma velocidad desde el extremo superior. La rama principal de la solución corresponde a desplazamientos estables, mientras que la rama −1 se aplica si el desplazamiento es inestable y el fluido más pesado circula por debajo del fluido más ligero. ^[29]

La ecuación (vinculada con las funciones generadoras de los números de Bernoulli y el género de Todd ):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

se puede resolver mediante las dos ramas reales W ₀ y W ₋₁ :

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

Esta aplicación muestra que la diferencia de ramas de la función W se puede emplear para resolver otras ecuaciones trascendentales. ^[30]

El centroide de un conjunto de histogramas definidos con respecto a la divergencia simetrizada de Kullback-Leibler (también llamada divergencia de Jeffreys ^[31] ) tiene una forma cerrada utilizando la función W de Lambert . ^[32]

Para encontrar el tamaño óptimo del grupo para agrupar las pruebas de modo que al menos un individuo esté infectado se utiliza la función W de Lambert . ^{[33] [34] [35]}

La función W de Lambert aparece en un potencial mecánico cuántico, que proporciona la quinta solución exacta (junto con las del oscilador armónico más el centrífugo, el de Coulomb más el cuadrado inverso, el de Morse y el de raíz cuadrada inversa) a la ecuación unidimensional estacionaria de Schrödinger en términos de las funciones hipergeométricas confluentes. El potencial se da como

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

Una particularidad de la solución es que cada una de las dos soluciones fundamentales que componen la solución general de la ecuación de Schrödinger está dada por una combinación de dos funciones hipergeométricas confluentes de un argumento proporcional a ^[36]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

La función W de Lambert también aparece en la solución exacta para la energía del estado ligado de la ecuación de Schrödinger unidimensional con un potencial delta doble .

En cromodinámica cuántica , la teoría cuántica de campos de la interacción fuerte , la constante de acoplamiento se calcula de forma perturbativa, correspondiendo el orden n a los diagramas de Feynman que incluyen n bucles cuánticos. ^[37] La ​​solución de primer orden, n=1, es exacta (en ese orden) y analítica. En órdenes superiores, n>1, no hay una solución exacta y analítica y normalmente se utiliza un método iterativo para proporcionar una solución aproximada. Sin embargo, para el segundo orden, n=2, la función de Lambert proporciona una solución exacta (aunque no analítica). ^[37]${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$

En la solución métrica de Schwarzschild de las ecuaciones de vacío de Einstein, la función W es necesaria para pasar de las coordenadas de Eddington-Finkelstein a las de Schwarzschild. Por este motivo, también aparece en la construcción de las coordenadas de Kruskal-Szekeres .

Las resonancias de ondas s del potencial de capa delta se pueden escribir exactamente en términos de la función W de Lambert . ^[38]

Si una reacción involucra reactivos y productos que tienen capacidades térmicas que son constantes con la temperatura, entonces la constante de equilibrio K obedece

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

para algunas constantes a , b y c . Cuando c (igual a ⁠Δ C _p/R⁠ ) ​​no es cero, el valor o los valores deT se pueden encontrar donde K es igual a un valor dado de la siguiente manera, donde L se puede usar para ln T.

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

Si a y c tienen el mismo signo habrá dos soluciones o ninguna (o una si el argumento de W es exactamente − ⁠1/mi⁠ ). (La solución superior puede no ser relevante). Si tienen signos opuestos, habrá una sola solución.

En el cálculo del diagrama de fases de mezclas de polímeros termodinámicamente incompatibles según el modelo de Edmond-Ogston , las soluciones para las líneas binodales y de unión se formulan en términos de funciones W de Lambert. ^[39]

La ley de desplazamiento de Wien se expresa como . Con y , donde es la densidad de energía espectral, se encuentra , donde es el número de grados de libertad para la traslación espacial. La solución muestra que la densidad de energía espectral depende de la dimensionalidad del universo. ^[40]${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$${\displaystyle \rho _{T}}$${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$

Las correcciones clásicas de tamaño finito a las relaciones de dispersión de magnones gigantes, picos individuales y cuerdas GKP se pueden expresar en términos de la función W de Lambert . ^{[41] [42]}

En el límite t → ∞ del modelo SIR , la proporción de individuos susceptibles y recuperados tiene una solución en términos de la función W de Lambert . ^[43]

El tiempo total del recorrido de un proyectil que experimenta una resistencia del aire proporcional a su velocidad se puede determinar de forma exacta utilizando la función W de Lambert .

La ecuación trascendental que aparece en la determinación del número de onda de propagación de una onda superficial electromagnética axialmente simétrica (un modo TM01 único de baja atenuación) que se propaga en un alambre metálico cilíndrico da lugar a una ecuación como u ln u = v (donde u y v agrupan los factores geométricos y físicos del problema), que se resuelve mediante la función W de Lambert . La primera solución a este problema, debida a Sommerfeld alrededor de 1898, ya contenía un método iterativo para determinar el valor de la función W de Lambert . ^[44]

La familia de elipses centrada en está parametrizada por la excentricidad . Las trayectorias ortogonales de esta familia están dadas por la ecuación diferencial cuya solución general es la familia . ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$${\displaystyle (0,0)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$${\displaystyle y^{2}=}$${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$

La función W de Lambert estándar expresa soluciones exactas a ecuaciones algebraicas trascendentales (en x ) de la forma:

donde a ₀ , c y r son constantes reales. La solución es Las generalizaciones de la función W de Lambert ^{[45] [46] [47]} incluyen: $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$

• Una aplicación a la relatividad general y a la mecánica cuántica ( gravedad cuántica ) en dimensiones inferiores, de hecho un vínculo (desconocido antes de 2007 ^[48] ) entre estas dos áreas, donde el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por un polinomio cuadrático en x :

  donde r ₁ y r ₂ son constantes reales distintas, las raíces del polinomio cuadrático. Aquí, la solución es una función que tiene un solo argumento x pero los términos como r _i y a ₀ son parámetros de esa función. En este sentido, la generalización se parece a la función hipergeométrica y a la función G de Meijer pero pertenece a una clase diferente de funciones. Cuando r ₁ = r ₂ , ambos lados de ( 2 ) pueden factorizarse y reducirse a ( 1 ) y por lo tanto la solución se reduce a la de la función W estándar . La ecuación ( 2 ) expresa la ecuación que gobierna el campo dilatón , de la que se deriva la métrica del problema de gravedad lineal de dos cuerpos o R = T en 1 + 1 dimensiones (una dimensión espacial y una dimensión temporal) para el caso de masas en reposo desiguales, así como las energías propias del modelo de función delta de Dirac de doble pozo mecánico cuántico para cargas desiguales en una dimensión.

• Soluciones analíticas de las energías propias de un caso especial del problema de los tres cuerpos de la mecánica cuántica, a saber, la molécula-ion de hidrógeno (tridimensional) . ^[49] Aquí, el lado derecho de ( 1 ) se reemplaza por una relación de polinomios de orden infinito en x :

  donde r _i y s _i son constantes reales distintas y x es una función de la energía propia y la distancia internuclear R . La ecuación ( 3 ) con sus casos especializados expresados ​​en ( 1 ) y ( 2 ) está relacionada con una gran clase de ecuaciones diferenciales de retardo . La noción de GH Hardy de una "derivada falsa" proporciona raíces múltiples exactas a los casos especiales de ( 3 ). ^[50]

Las aplicaciones de la función W de Lambert en problemas físicos fundamentales no se han agotado ni siquiera para el caso estándar expresado en ( 1 ), como se ha visto recientemente en el área de la física atómica, molecular y óptica . ^[51]

• Gráficas de la función W de Lambert en el plano complejo
• 
  z = Re( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = Im( W ₀ ( x + iy ))
• 
  z = | W ₀ ( x + iy ) |
• 
  Superposición de las tres tramas anteriores

La función W se puede aproximar utilizando el método de Newton , con aproximaciones sucesivas a w = W ( z ) (por lo que z = we ^w ) siendo

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

La función W también se puede aproximar utilizando el método de Halley ,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

dado en Corless et al. ^[3] para calcular W .

En el caso real , se puede aproximar mediante la fórmula recursiva de tasa cuadrática de R. Iacono y JP Boyd: ^[12]${\displaystyle x\geq -1/e}$

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Lajos Lóczi demuestra ^[52] que al utilizar esta iteración con un valor inicial apropiado , ${\displaystyle w_{0}(x)}$

• Para la sucursal principal${\displaystyle W_{0}:}$
  • si :${\displaystyle x\in (e,\infty )}$${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • si${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • si${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• Para la sucursal${\displaystyle W_{-1}:}$
  • si${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • si${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

Se puede determinar el número máximo de pasos de iteración de antemano para cualquier precisión:

• Si (Teorema 2.4):${\displaystyle x\in (e,\infty )}$${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• Si (Teorema 2.9):${\displaystyle x\in (0,e)}$${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• si${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • para la rama principal (Teorema 2.17):${\displaystyle W_{0}}$${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • para la rama (Teorema 2.23):${\displaystyle W_{-1}}$${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Toshio Fukushima ha presentado un método rápido para aproximar las partes con valores reales de las ramas principales y secundarias de la función W sin utilizar ninguna iteración. ^[53] En este método, la función W se evalúa como un cambio condicional de funciones racionales en variables transformadas: donde x , u , y y v son transformaciones de z : $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$.

Aquí , , , y son funciones racionales cuyos coeficientes para diferentes valores k se enumeran en el artículo de referencia junto con los valores que determinan los subdominios. Con polinomios de grado superior en estas funciones racionales, el método puede aproximar la función W con mayor precisión. ${\displaystyle X_{k}(x)}$${\displaystyle U_{k}(u)}$${\displaystyle Y_{k}(y)}$${\displaystyle V_{k}(v)}$${\displaystyle z_{k}}$

Por ejemplo, cuando , se puede aproximar a 24 bits de precisión en valores de punto flotante de 64 bits como donde x se define con la transformación anterior y los coeficientes y se dan en la tabla siguiente. ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$${\displaystyle W_{0}(z)}$${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$${\displaystyle P_{i}}$${\displaystyle Q_{i}}$

Fukushima también ofrece una aproximación con 50 bits de precisión en flotantes de 64 bits que utiliza polinomios de octavo y séptimo grado.

La función W de Lambert se implementa en muchos lenguajes de programación. Algunos de ellos se enumeran a continuación:

El código C++ para todas las ramas de la función compleja W de Lambert también está disponible en la página de inicio de István Mező. ^[65]

• Función omega de Wright
• Ecuación del trinomio de Lambert
• Teorema de inversión de Lagrange
• Matemáticas experimentales
• Método Holstein-Herring
• Modelo R = T
• Lema π de Ross

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "Sobre la función W de Lambert" (PDF) . Advances in Computational Mathematics . 5 : 329–359. doi :10.1007/BF02124750. ISSN  1019-7168. S2CID  29028411. Archivado desde el original (PDF) el 2010-12-14 . Consultado el 2007-03-10 .
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). "Evaluación de la función W de Lambert y aplicación a la generación de ruido gaussiano generalizado con exponente 1/2" (PDF) . IEEE Trans. Signal Process . 50 (9). doi :10.1109/TSP.2002.801912. Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012 . Consultado el 10 de marzo de 2004 .
• Francis; et al. (2000). "Teoría general cuantitativa para la respiración periódica". Circulation . 102 (18): 2214–21. CiteSeerX  10.1.1.505.7194 . doi :10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID  11056095. S2CID  14410926.(La función de Lambert se utiliza para resolver la dinámica diferencial de retardo en enfermedades humanas).
• Hayes, B. (2005). "¿Por qué W?" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 104–108. doi :10.1511/2005.2.104. Archivado (PDF) desde el original el 10 de octubre de 2022.
• Roy, R.; Olver, FWJ (2010), "Función W de Lambert", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Stewart, Seán M. (2005). "¿Una nueva función elemental para nuestros currículos?" (PDF) . Revista australiana de matemáticas para estudiantes de último año . 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. Archivado (PDF) desde el original el 10 de octubre de 2022.
• Veberic, D., "Divirtiéndose con la función W(x) de Lambert" arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). " Función W de Lambert para aplicaciones en física". Computer Physics Communications . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode :2012CoPhC.183.2622V. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). "Límites de la función Lambert y su aplicación al análisis de interrupciones de la cooperación del usuario". IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

• Biblioteca digital del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología – Lambert W
• MathWorld – Función W de Lambert
• Cálculo de la función W de Lambert
• Corless et al. Notas sobre la investigación de Lambert W.
• Implementación de C++ GPL con iteración de Halley y Fritsch.
• Funciones especiales de la biblioteca científica GNU – GSL
• [3]