Teorema de inversión de Lagrange

Existe un caso especial del teorema de inversión de Lagrange que se utiliza en combinatoria y se aplica cuando${\displaystyle f(w)=w/\phi (w)}$para algunos analíticos${\displaystyle \phi (w)}$con${\displaystyle \phi (0)\neq 0.}$Llevar${\displaystyle a=0}$para obtener${\displaystyle f(a)=f(0)=0.}$Luego, para la inversa${\displaystyle g(z)}$(satisfactorio${\displaystyle f(g(z))\equiv z}$), tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}}$

que puede escribirse alternativamente como

${\displaystyle [z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},}$

dónde${\displaystyle [w^{r}]}$es un operador que extrae el coeficiente de${\displaystyle w^{r}}$en la serie de Taylor de una función de w .

Una generalización de la fórmula se conoce como la fórmula de Lagrange-Bürmann :

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})}$

donde H es una función analítica arbitraria.

A veces, la derivada H ′ ( w ) puede ser bastante complicada. Una versión más simple de la fórmula reemplaza H ′ ( w ) con H ( w )(1 − φ ′ ( w )/ φ ( w )) para obtener

${\displaystyle [z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),}$

lo cual implica φ ′ ( w ) en lugar de H ′ ( w ) .

La función W de Lambert es la función${\displaystyle W(z)}$que está implícitamente definido por la ecuación

${\displaystyle W(z)e^{W(z)}=z.}$

Podemos utilizar el teorema para calcular la serie de Taylor de${\displaystyle W(z)}$en${\displaystyle z=0.}$Tomamos${\displaystyle f(w)=we^{w}}$y${\displaystyle a=0.}$Reconociendo que

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},}$

esto da

${\displaystyle {\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}}$

El radio de convergencia de esta serie es${\displaystyle e^{-1}}$(dando la rama principal de la función de Lambert).

Una serie que converge para${\displaystyle |\ln(z)-1|<{\sqrt {4+\pi ^{2}}}}$(aproximadamente${\displaystyle 0.0655<z<112.63}$) también se puede derivar mediante inversión de series. La función${\displaystyle f(z)=W(e^{z})-1}$satisface la ecuación

${\displaystyle 1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.}$

Entonces${\displaystyle z+\ln(1+z)}$se puede expandir en una serie de potencias e invertir. ^{[ 12 ]} Esto da una serie para${\displaystyle f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}}$

${\displaystyle W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).}$

${\displaystyle W(x)}$se puede calcular sustituyendo${\displaystyle \ln x-1}$para z en la serie anterior. Por ejemplo, al sustituir −1 por z se obtiene el valor de${\displaystyle W(1)\approx 0.567143.}$

Consideremos ^{[ 13 ]} el conjunto${\displaystyle {\mathcal {B}}}$de árboles binarios sin etiquetar . Un elemento de${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es o bien una hoja de tamaño cero, o bien un nodo raíz con dos subárboles. Denotemos por${\displaystyle B_{n}}$el número de árboles binarios en${\displaystyle n}$nodos.

Al eliminar la raíz, un árbol binario se divide en dos árboles de menor tamaño. Esto produce la ecuación funcional sobre la función generadora.${\displaystyle \textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}}$

${\displaystyle B(z)=1+zB(z)^{2}.}$

Alquiler${\displaystyle C(z)=B(z)-1}$, uno tiene así${\displaystyle C(z)=z(C(z)+1)^{2}.}$Aplicando el teorema con${\displaystyle \phi (w)=(w+1)^{2}}$rendimientos

${\displaystyle B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.}$

Esto demuestra que${\displaystyle B_{n}}$es el n -ésimo número catalán .

En el teorema de Laplace-Erdelyi, que proporciona la aproximación asintótica para integrales de tipo Laplace, la inversión de la función se considera un paso crucial.