Omega constante

La identidad definitoria puede expresarse, por ejemplo, como

${\displaystyle \ln \left({\tfrac {1}{\Omega }}\right)=\Omega .}$

o

${\displaystyle -\ln(\Omega )=\Omega }$

así como

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega .}$

Se puede calcular Ω iterativamente , comenzando con una estimación inicial Ω ₀ y considerando la secuencia

${\displaystyle \Omega _ {n+1}=e^{-\Omega _ {n}}.}$

Esta secuencia convergerá a Ω cuando n se aproxime al infinito. Esto se debe a que Ω es un punto fijo atractivo de la función e ^{− x} .

Es mucho más eficiente utilizar la iteración.

${\displaystyle \Omega _{n+1}={\frac {1+\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}},}$

porque la función

${\displaystyle f(x)={\frac {1+x}{1+e^{x}}},}$

Además de tener el mismo punto fijo, también tiene una derivada que se anula allí. Esto garantiza la convergencia cuadrática; es decir, el número de dígitos correctos se duplica aproximadamente con cada iteración.

Utilizando el método de Halley , Ω puede aproximarse con convergencia cúbica (el número de dígitos correctos se triplica aproximadamente con cada iteración): (véase también la función W de Lambert §  Evaluación numérica ).

${\displaystyle \Omega _{j+1}=\Omega _{j}-{\frac {\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1}{e^{\Omega _{j}}(\Omega _{j}+1)-{\frac {(\Omega _{j}+2)(\Omega _{j}e^{\Omega _{j}}-1)}{2\Omega _{j}+2}}}}.}$

Una identidad debida a Victor Adamchik viene dada por la relación

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}={\frac {1}{1+\Omega }}.}$

Otras relaciones debidas a Mező ^{[ 1 ] [ 2 ]} y Kalugin-Jeffrey-Corless ^{[ 3 ]} son:

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\log \left({\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\right)dt,}$

${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\log \left(1+{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

Las dos últimas identidades pueden extenderse a otros valores de la función W (véase también la función W de Lambert §  Representaciones ).

La constante Ω es trascendental . Esto puede considerarse una consecuencia directa del teorema de Lindemann-Weierstrass . Para llegar a una contradicción, supongamos que Ω es algebraica. Según el teorema, e ^{− Ω} es trascendental, pero Ω = e ^{− Ω} , lo cual es una contradicción. Por lo tanto, debe ser trascendental. ^{[ 4 ]}