Axioma

El método lógico-deductivo, mediante el cual las conclusiones (nuevo conocimiento) se derivan de premisas (conocimiento antiguo) a través de la aplicación de argumentos sólidos ( silogismos , reglas de inferencia ), fue desarrollado por los antiguos griegos y se ha convertido en el principio fundamental de las matemáticas modernas. Excluidas las tautologías , nada puede deducirse si no se asume nada. Los axiomas y postulados son, por lo tanto, los supuestos básicos que subyacen a un determinado cuerpo de conocimiento deductivo. Se aceptan sin demostración. Todas las demás afirmaciones ( teoremas , en el caso de las matemáticas) deben probarse con la ayuda de estos supuestos básicos. Sin embargo, la interpretación del conocimiento matemático ha cambiado desde la antigüedad hasta la época moderna, y, en consecuencia, los términos axioma y postulado tienen un significado ligeramente diferente para el matemático actual que el que tenían para Aristóteles y Euclides . ^{[ 8 ]}

Los antiguos griegos consideraban la geometría como una ciencia más y equiparaban sus teoremas a los hechos científicos. Por ello, desarrollaron y utilizaron el método lógico-deductivo para evitar errores y para estructurar y comunicar el conocimiento. Los Segundos Analíticos de Aristóteles constituyen una exposición definitiva de la visión clásica. ^{[ 11 ]}

Un "axioma", en la terminología clásica, se refería a una suposición evidente común a muchas ramas de la ciencia. Un buen ejemplo sería la afirmación de que:

Cuando se toma una cantidad igual de dos cantidades iguales, el resultado es una cantidad igual.

En la base de las diversas ciencias se encontraban ciertas hipótesis adicionales que se aceptaban sin demostración. Dicha hipótesis se denominaba postulado . Si bien los axiomas eran comunes a muchas ciencias, los postulados de cada ciencia en particular eran diferentes. Su validez debía establecerse mediante la experiencia del mundo real. Aristóteles advierte que el contenido de una ciencia no puede comunicarse con éxito si el estudiante duda de la veracidad de los postulados. ^{[ 12 ]}

El enfoque clásico está bien ilustrado ^{[ a ]} por los Elementos de Euclides , donde se da una lista de postulados (hechos geométricos de sentido común extraídos de nuestra experiencia), seguida de una lista de "nociones comunes" (afirmaciones muy básicas y evidentes por sí mismas).

Postulados

1. Es posible trazar una línea recta desde cualquier punto a cualquier otro punto.
2. Es posible extender un segmento de línea de forma continua en ambas direcciones.
3. Es posible describir un círculo con cualquier centro y cualquier radio.
4. Es cierto que todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. (" Postulado de las paralelas ") Es cierto que, si una línea recta que cae sobre dos líneas rectas hace que los ángulos interiores del mismo lado sean menores que dos ángulos rectos, las dos líneas rectas, si se prolongan indefinidamente, se intersecan en ese lado en el que están los ángulos menores que dos ángulos rectos.

ideas comunes

1. Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales entre sí.
2. Si se suman cantidades iguales a cantidades iguales, los totales son iguales.
3. Si se restan números iguales de números iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.

Una lección que las matemáticas han aprendido en los últimos 150 años es la utilidad de despojar de significado a las afirmaciones (axiomas, postulados, proposiciones , teoremas) y definiciones matemáticas. Es necesario reconocer la necesidad de nociones primitivas , o términos o conceptos indefinidos, en cualquier estudio. Dicha abstracción o formalización hace que el conocimiento matemático sea más general, capaz de múltiples significados y, por lo tanto, útil en diversos contextos. Alessandro Padoa , Mario Pieri y Giuseppe Peano fueron pioneros en este movimiento.

Las matemáticas estructuralistas van más allá y desarrollan teorías y axiomas (por ejemplo, teoría de cuerpos , teoría de grupos , topología , espacios vectoriales ) sin ninguna aplicación específica en mente. La distinción entre un "axioma" y un "postulado" desaparece. Los postulados de Euclides se justifican provechosamente al afirmar que conducen a una gran riqueza de hechos geométricos. La veracidad de estos hechos complejos se basa en la aceptación de las hipótesis fundamentales. Sin embargo, al descartar el quinto postulado de Euclides, se pueden obtener teorías con significado en contextos más amplios (por ejemplo, geometría hiperbólica ). Por lo tanto, simplemente hay que estar dispuesto a usar etiquetas como "línea" y "paralelo" con mayor flexibilidad. El desarrollo de la geometría hiperbólica enseñó a los matemáticos que es útil considerar los postulados como enunciados puramente formales, y no como hechos basados ​​en la experiencia.

Cuando los matemáticos emplean los axiomas de campo , las intenciones son aún más abstractas. Las proposiciones de la teoría de campos no se refieren a ninguna aplicación particular; el matemático trabaja ahora en completa abstracción. Existen muchos ejemplos de campos; la teoría de campos proporciona conocimiento correcto sobre todos ellos.

No es correcto afirmar que los axiomas de la teoría de cuerpos son «proposiciones que se consideran verdaderas sin demostración». Más bien, los axiomas de cuerpos son un conjunto de restricciones. Si un sistema de suma y multiplicación determinado satisface estas restricciones, entonces se puede obtener instantáneamente mucha información adicional sobre dicho sistema.

Las matemáticas modernas formalizan sus fundamentos hasta tal punto que las teorías matemáticas pueden considerarse objetos matemáticos, y las matemáticas mismas pueden considerarse una rama de la lógica . Frege , Russell , Poincaré , Hilbert y Gödel son algunas de las figuras clave en este desarrollo.

Otra lección aprendida en las matemáticas modernas es la de examinar cuidadosamente las supuestas demostraciones en busca de supuestos ocultos.

En la concepción moderna, un conjunto de axiomas es cualquier colección de afirmaciones enunciadas formalmente, de las cuales se derivan otras afirmaciones igualmente enunciadas formalmente, mediante la aplicación de ciertas reglas bien definidas. Desde esta perspectiva, la lógica se convierte simplemente en otro sistema formal. Un conjunto de axiomas debe ser consistente ; debe ser imposible derivar una contradicción de ellos. Un conjunto de axiomas también debe ser no redundante; una afirmación que se puede deducir de otros axiomas no tiene por qué considerarse un axioma.

Los lógicos modernos abrigaban la esperanza inicial de que diversas ramas de las matemáticas, tal vez todas, pudieran derivarse de un conjunto coherente de axiomas básicos. Un éxito temprano del programa formalista fue la formalización de la geometría euclidiana por parte de Hilbert ^{[ b ]} , ^{[ 13 ]} y la demostración relacionada de la coherencia de esos axiomas.

En un contexto más amplio, se intentó fundamentar todas las matemáticas en la teoría de conjuntos de Cantor . En este contexto, la aparición de la paradoja de Russell y otras antinomias similares de la teoría de conjuntos ingenua plantearon la posibilidad de que cualquier sistema de este tipo pudiera resultar inconsistente.

El proyecto formalista sufrió un revés hace un siglo, cuando Gödel demostró que es posible, para cualquier conjunto suficientemente grande de axiomas ( los axiomas de Peano , por ejemplo), construir una proposición cuya verdad sea independiente de dicho conjunto de axiomas. Como corolario , Gödel demostró que la consistencia de una teoría como la aritmética de Peano es una afirmación indemostrable dentro del ámbito de esa teoría. ^{[ 14 ]}

Es razonable creer en la consistencia de la aritmética de Peano porque se satisface con el sistema de números naturales , un sistema formal infinito pero intuitivamente accesible. Sin embargo, actualmente no se conoce ninguna forma de demostrar la consistencia de los axiomas modernos de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos. Además, utilizando técnicas de forzamiento ( Cohen ), se puede demostrar que la hipótesis del continuo (Cantor) es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, ni siquiera este conjunto de axiomas tan general puede considerarse el fundamento definitivo de las matemáticas.

Las ciencias experimentales —a diferencia de las matemáticas y la lógica— también poseen afirmaciones fundamentales generales a partir de las cuales se puede construir un razonamiento deductivo para expresar proposiciones que predicen propiedades, ya sean generales o mucho más especializadas para un contexto experimental específico. Por ejemplo, las leyes de Newton en la mecánica clásica, las ecuaciones de Maxwell en el electromagnetismo clásico, la ecuación de Einstein en la relatividad general, las leyes de Mendel en genética, la ley de selección natural de Darwin , etc. Estas afirmaciones fundamentales suelen denominarse principios o postulados para distinguirlas de los axiomas matemáticos .

De hecho, el papel de los axiomas en matemáticas y de los postulados en las ciencias experimentales es diferente. En matemáticas, un axioma no se "demuestra" ni se "refuta". Un conjunto de axiomas matemáticos proporciona un conjunto de reglas que definen un marco conceptual, dentro del cual se derivan lógicamente los teoremas. En cambio, en las ciencias experimentales, un conjunto de postulados debe permitir deducir resultados que coincidan o no con los resultados experimentales. Si los postulados no permiten deducir predicciones experimentales, no establecen un marco conceptual científico y deben completarse o perfeccionarse. Si los postulados permiten deducir predicciones de resultados experimentales, la comparación con los experimentos permite refutar la teoría que establecen. Una teoría se considera válida mientras no haya sido refutada.

Actualmente, la transición entre los axiomas matemáticos y los postulados científicos siempre es algo difusa, especialmente en física. Esto se debe al uso intensivo de herramientas matemáticas para sustentar las teorías físicas. Por ejemplo, la introducción de las leyes de Newton rara vez establece como requisito previo la geometría euclidiana o el cálculo diferencial que implican. Esto se hizo más evidente cuando Albert Einstein introdujo la relatividad especial, donde la magnitud invariante ya no es la longitud euclidiana.${\displaystyle l}$(definido como${\displaystyle l^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$) > pero el intervalo espacio-temporal de Minkowski${\displaystyle s}$(definido como${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$), y luego la relatividad general donde la geometría minkowskiana plana se reemplaza con geometría pseudoriemanniana en variedades curvas .

En física cuántica, dos conjuntos de postulados han coexistido durante algún tiempo, lo que proporciona un excelente ejemplo de falsación. La « escuela de Copenhague » ( Niels Bohr , Werner Heisenberg , Max Born ) desarrolló un enfoque operacional con un formalismo matemático casi ^{completo que implica} la descripción de sistemas cuánticos mediante vectores («estados») en un espacio de Hilbert separable, y cantidades físicas como operadores lineales que actúan en este espacio de Hilbert. Este enfoque es totalmente falsable y hasta ahora ha producido las predicciones más precisas en física. Pero tiene el inconveniente de no permitir respuestas a preguntas que uno se plantearía naturalmente. Por esta razón, Albert Einstein, Erwin Schrödinger y David Bohm desarrollaron durante algún tiempo otro enfoque de « variables ocultas » . Fue creado para intentar dar una explicación determinista a fenómenos como el entrelazamiento . Este enfoque partía de la premisa de que la descripción de la escuela de Copenhague era incompleta y postulaba que debía añadirse a la teoría alguna variable aún desconocida para poder responder a algunas de las preguntas que no respondía (cuyos elementos fundamentales se debatieron en 1935 como la paradoja EPR ). Tomando en serio esta idea, John Bell formuló en 1964 una predicción que conduciría a resultados experimentales diferentes ( las desigualdades de Bell ) en el caso de Copenhague y en el caso de la variable oculta. El experimento fue realizado por primera vez por Alain Aspect a principios de la década de 1980, y el resultado excluyó la simple variable oculta fregona.

enfoque (aún podrían existir variables ocultas sofisticadas, pero sus propiedades serían más perturbadoras que los problemas que intentan resolver). Esto no significa que el marco conceptual de la física cuántica pueda considerarse completo ahora, ya que aún existen algunas preguntas abiertas (el límite entre los reinos cuántico y clásico, qué sucede durante una medición cuántica, qué sucede en un sistema cuántico completamente cerrado como el universo mismo, etc.).

Se trata de ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidas , es decir, fórmulas que se satisfacen con cualquier asignación de valores. Generalmente, se toman como axiomas lógicos al menos un conjunto mínimo de tautologías suficiente para demostrar todas las tautologías del lenguaje; en el caso de la lógica de predicados , se requieren más axiomas lógicos para demostrar verdades lógicas que no sean tautologías en sentido estricto.

Los axiomas no lógicos son fórmulas que funcionan como supuestos específicos de una teoría. Razonar sobre dos estructuras diferentes, por ejemplo, los números naturales y los enteros , puede implicar los mismos axiomas lógicos; los axiomas no lógicos buscan capturar lo que es especial en una estructura particular (o conjunto de estructuras, como los grupos ). Por lo tanto, a diferencia de los axiomas lógicos, los axiomas no lógicos no son tautologías . Otro nombre para un axioma no lógico es postulado . ^{[ 6 ]}

Casi todas las teorías matemáticas modernas parten de un conjunto dado de axiomas no lógicos, y se pensaba que, en principio, toda teoría podría axiomatizarse de esta manera y formalizarse hasta el lenguaje básico de las fórmulas lógicas.

En el discurso matemático , los axiomas no lógicos suelen denominarse simplemente axiomas . Esto no implica que se afirme que sean verdaderos en un sentido absoluto. Por ejemplo, en algunos grupos, la operación de grupo es conmutativa , y esto puede afirmarse introduciendo un axioma adicional; sin embargo, sin este axioma, podemos desarrollar con éxito la teoría de grupos (más general), e incluso podemos tomar su negación como axioma para el estudio de grupos no conmutativos.

Los primeros matemáticos consideraban la geometría axiomática como un modelo del espacio físico , lo que implicaba que, en última instancia, solo podía existir un modelo de este tipo. La idea de que pudieran existir sistemas matemáticos alternativos resultaba muy inquietante para los matemáticos del siglo XIX, y los desarrolladores de sistemas como el álgebra booleana realizaron elaborados esfuerzos para derivarlos de la aritmética tradicional. Galois demostró, poco antes de su prematura muerte, que estos esfuerzos habían sido en gran medida en vano. Finalmente, se consideró que los paralelismos abstractos entre los sistemas algebraicos eran más importantes que los detalles, y así nació el álgebra moderna . Desde la perspectiva moderna, los axiomas pueden ser cualquier conjunto de fórmulas, siempre que no se sepa que son inconsistentes.