ecuación del calor

La constante de difusividad${\displaystyle \alpha }$A menudo no está presente en los estudios matemáticos de la ecuación del calor, mientras que su valor puede ser muy importante en ingeniería. Esta no es una diferencia importante, por la siguiente razón. Sea${\displaystyle u}$ser una función con

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u.}$

Defina una nueva función${\displaystyle v(t,x)=u\left({\frac {t}{\alpha }},x\right)}$. Entonces, según la regla de la cadena , uno tiene

Por lo tanto, existe una forma sencilla de traducir entre soluciones de la ecuación del calor con un valor general de${\displaystyle \alpha }$y soluciones de la ecuación del calor con${\displaystyle \alpha =1}$. Por lo tanto, en aras del análisis matemático, a menudo basta con considerar únicamente el caso${\displaystyle \alpha =1}$.

Desde${\displaystyle \alpha >0}$existe otra opción para definir una${\displaystyle v}$satisfactorio${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}v=\Delta v}$como en ( ⁎ ) arriba al establecer${\displaystyle v(t,x)=u\left(t,\alpha ^{\frac {1}{2}}x\right)}$. Tenga en cuenta que existen dos formas posibles de definir la nueva función.${\displaystyle v}$Lo que aquí se analiza equivale, en términos físicos, a cambiar la unidad de medida del tiempo o la unidad de medida de la longitud.

La ecuación de calor no homogénea es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u+f}$

para una función dada${\displaystyle f=f(x,t)}$que se permite depender de ambos${\displaystyle x}$y${\displaystyle t}$. ^{[ 2 ]} La ecuación de calor no homogénea modela problemas térmicos en los que se enciende una fuente de calor modelada por f . Por ejemplo, se puede utilizar para modelar la temperatura en toda una habitación con un calentador encendido. Si${\displaystyle S\subset U}$es la región de la habitación donde está el calentador y el calentador genera constantemente calor.${\displaystyle q}$unidades de calor por unidad de volumen, entonces${\displaystyle f}$sería dado por${\displaystyle f(x,t)=q1_{S}(x)}$.

Una solución a la ecuación del calor${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u}$Se dice que una solución es de estado estacionario si no varía con respecto al tiempo:

${\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u.}$

Al fluir u a través de la ecuación del calor, se aproxima cada vez más a una solución de estado estacionario a medida que aumenta el tiempo. Para tiempos muy grandes, u se aproxima estrechamente a una solución de estado estacionario. Una solución de estado estacionario de la ecuación del calor es equivalente a una solución de la ecuación de Laplace .

De manera similar, una solución a la ecuación del calor no homogénea${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u+f}$Se dice que una solución es de estado estacionario si no varía con respecto al tiempo:

${\displaystyle 0={\frac {\partial u}{\partial t}}=\nabla ^{2}u+f.}$

Esto es equivalente a una solución de la ecuación de Poisson .

En el caso de estado estacionario, un gradiente térmico espacial distinto de cero${\displaystyle \nabla u}$Puede estar presente o no, pero si lo está, no cambia con el tiempo. La ecuación de estado estacionario describe el resultado final en todos los problemas térmicos en los que se activa una fuente (por ejemplo, el motor de un automóvil) y ha transcurrido el tiempo suficiente para que se establezcan todos los gradientes de temperatura permanentes en el espacio, tras lo cual estos gradientes espaciales dejan de cambiar con el tiempo (como en el caso de un automóvil cuyo motor ha estado funcionando durante el tiempo suficiente). La otra solución (trivial) es que todos los gradientes de temperatura espaciales desaparezcan también, en cuyo caso la temperatura se vuelve uniforme en el espacio. Las ecuaciones de estado estacionario son más sencillas y pueden ayudar a comprender mejor la física de los materiales sin centrarse en la dinámica del transporte de calor. Se utilizan ampliamente para problemas de ingeniería simples, suponiendo que existe un equilibrio entre los campos de temperatura y el transporte de calor en el tiempo.

La primera mitad del razonamiento físico anterior se puede expresar matemáticamente. La clave es que, para cualquier valor fijo${\displaystyle x}$, uno tiene

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{(x)}(0)&=u(x)\\u_{(x)}'(0)&=0\\u_{(x)}''(0)&={\frac {1}{n}}\nabla ^{2}u(x)\end{aligned}}}$

donde u _{( x )} ( r ) es la función de una sola variable que denota el valor promedio de${\displaystyle u}$sobre la superficie de la esfera de radio r centrada en x ; se puede definir por

${\displaystyle u_{(x)}(r)={\frac {1}{\omega _{n-1}r^{n-1}}}\int _{\{y:|x-y|=r\}}u\,d{\mathcal {H}}^{n-1},}$

en el cual${\displaystyle \omega _{n-1}}$denota el área de superficie de la bola unitaria en${\displaystyle n}$Espacio euclidiano de dimensión . Esto formaliza la afirmación anterior de que el valor de${\displaystyle \nabla ^{2}u}$en un punto${\displaystyle x}$mide la diferencia entre el valor de${\displaystyle u(x)}$y el valor de u en puntos cercanos a${\displaystyle x}$, en el sentido de que este último está codificado por los valores de${\displaystyle u_{(x)}(r)}$para valores positivos pequeños de${\displaystyle r}$.

Siguiendo esta observación, se puede interpretar la ecuación del calor como una imposición de un promedio infinitesimal de una función. Dada una solución de la ecuación del calor, el valor de${\displaystyle u(x,t+\tau )}$para un pequeño valor positivo de${\displaystyle \tau }$puede aproximarse como${\displaystyle {\frac {1}{2n}}}$veces el valor promedio de la función${\displaystyle u(\cdot ,t)}$sobre una esfera de radio muy pequeño centrada en${\displaystyle x}$.

La ecuación del calor implica que los picos ( máximos locales ) de${\displaystyle u}$se erosionará gradualmente, mientras que las depresiones ( mínimos locales ) se rellenarán. El valor en algún punto permanecerá estable solo mientras sea igual al valor promedio en su entorno inmediato. En particular, si los valores en un vecindario son muy cercanos a una función lineal${\displaystyle Ax+By+Cz+D}$, entonces el valor en el centro de ese vecindario no estará cambiando en ese momento (es decir, la derivada${\displaystyle {\dot {u}}}$será cero).

Una consecuencia más sutil es el principio del máximo , que dice que el valor máximo de${\displaystyle u}$en cualquier región${\displaystyle R}$del medio no excederá el valor máximo que ocurrió previamente en${\displaystyle R}$, a menos que esté en el límite de${\displaystyle R}$. Es decir, la temperatura máxima en una región${\displaystyle R}$Puede aumentar solo si entra calor del exterior.${\displaystyle R}$Esta es una propiedad de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y no es difícil de demostrar matemáticamente (véase más abajo).

Otra propiedad interesante es que incluso si${\displaystyle u}$Si inicialmente hay un salto brusco (discontinuidad) de valor a través de alguna superficie dentro del medio, el salto se suaviza inmediatamente por una tasa momentánea, infinitesimalmente corta pero infinitamente grande de flujo de calor a través de esa superficie. Por ejemplo, si dos cuerpos aislados, inicialmente a temperaturas uniformes pero diferentes${\displaystyle u_{0}}$y ${\displaystyle u_{1}}$, se hacen tocar entre sí, la temperatura en el punto de contacto asumirá inmediatamente algún valor intermedio, y se desarrollará una zona alrededor de ese punto donde${\displaystyle u}$variará gradualmente entre${\displaystyle u_{0}}$y${\displaystyle u_{1}}$.

Si se aplica repentinamente una cierta cantidad de calor a un punto del medio, este se propagará en todas direcciones en forma de onda de difusión . A diferencia de las ondas elásticas y electromagnéticas , la velocidad de una onda de difusión disminuye con el tiempo: a medida que se extiende sobre una región mayor, el gradiente de temperatura disminuye y, por lo tanto, el flujo de calor también disminuye.

Para el flujo de calor, la ecuación del calor se deriva de las leyes físicas de conducción del calor y conservación de la energía ( Cannon 1984 ) .

Según la ley de Fourier para un medio isotrópico, la tasa de flujo de energía térmica por unidad de área a través de una superficie es proporcional al gradiente de temperatura negativo a través de ella:

${\displaystyle \mathbf {q} =-k\,\nabla u}$

dónde${\displaystyle k}$es la conductividad térmica del material,${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$es la temperatura, y${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (\mathbf {x} ,t)}$es un campo vectorial que representa la magnitud y la dirección del flujo de calor en el punto${\displaystyle \mathbf {x} }$del espacio y el tiempo${\displaystyle t}$.

Si el medio es una varilla delgada de sección y material uniformes, la posición x es una sola coordenada y el flujo de calor${\displaystyle q=q(t,x)}$hacia${\displaystyle x}$es un campo escalar . La ecuación se convierte en

${\displaystyle q=-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}}$

Dejar${\displaystyle Q=Q(x,t)}$sea ​​la energía interna (calor) por unidad de volumen de la barra en cada punto y tiempo. La tasa de cambio en el calor por unidad de volumen en el material,${\displaystyle \partial Q/\partial t}$, es proporcional a la tasa de cambio de su temperatura,${\displaystyle \partial u/\partial t}$. Eso es,

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=c\,\rho \,{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

dónde${\displaystyle c}$es la capacidad calorífica específica (a presión constante, en el caso de un gas) y${\displaystyle \rho }$es la densidad (masa por unidad de volumen) del material. Esta deducción supone que el material tiene una densidad de masa y una capacidad calorífica constantes en el espacio y en el tiempo.

Aplicando la ley de conservación de la energía a un pequeño elemento del medio centrado en${\displaystyle x}$Se concluye que la tasa a la que cambia el calor en un punto dado${\displaystyle x}$es igual a la derivada del flujo de calor en ese punto (la diferencia entre los flujos de calor a ambos lados de la partícula). Es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}=-{\frac {\partial q}{\partial x}}}$

De las ecuaciones anteriores se deduce que

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial q}{\partial x}}\;=\;-{\frac {1}{c\rho }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(-k\,{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)\;=\;{\frac {k}{c\rho }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$

que es la ecuación del calor en una dimensión, con coeficiente de difusividad

${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{c\rho }}}$

Esta magnitud se denomina difusividad térmica del medio.

En general, el estudio de la conducción del calor se basa en varios principios. El flujo de calor es una forma de flujo de energía y, como tal, tiene sentido hablar de la tasa de flujo de calor en función del tiempo hacia una región del espacio.

• La tasa de flujo de calor en una región V viene dada por una magnitud dependiente del tiempo q _t ( V ). Suponemos que q tiene una densidad Q , de modo que$${\displaystyle q_{t}(V)=\int _{V}Q(x,t)\,dx\quad }$$
• El flujo de calor es una función vectorial dependiente del tiempo H ( x ) caracterizada de la siguiente manera: la tasa de flujo de calor a través de un elemento de superficie infinitesimal con área dS y con vector normal unitario n es$${\displaystyle \mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS.}$$Por lo tanto, la tasa de flujo de calor hacia V también viene dada por la integral de superficie.$${\displaystyle q_{t}(V)=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS}$$donde n ( x ) es el vector normal que apunta hacia afuera en x .
• La ley de Fourier establece que el flujo de energía térmica tiene la siguiente dependencia lineal con respecto al gradiente de temperatura.$${\displaystyle \mathbf {H} (x)=-\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)}$$donde A ( x ) es una matriz real de 3  × 3 que es simétrica y definida positiva . 
• Según el teorema de la divergencia , la integral de superficie anterior para el flujo de calor hacia V se puede transformar en la integral de volumen.$${\displaystyle {\begin{aligned}q_{t}(V)&=-\int _{\partial V}\mathbf {H} (x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{\partial V}\mathbf {A} (x)\cdot \nabla u(x)\cdot \mathbf {n} (x)\,dS\\&=\int _{V}\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}\,dx\end{aligned}}}$$
• La tasa de cambio de temperatura en x es proporcional al calor que fluye hacia un elemento de volumen infinitesimal , donde la constante de proporcionalidad depende de una constante κ.$${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)Q(x,t)}$$

Al combinar estas ecuaciones se obtiene la ecuación general del flujo de calor:

${\displaystyle \partial _{t}u(x,t)=\kappa (x)\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}{\bigl (}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x,t){\bigr )}}$

Observaciones

• El coeficiente κ ( x ) es el inverso del calor específico de la sustancia en x × densidad de la sustancia en x :${\displaystyle \kappa =1/(\rho c_{p})}$.
• En el caso de un medio isotrópico, la matriz A es una matriz escalar igual a la conductividad térmica k .
• En el caso anisotrópico donde la matriz de coeficientes A no es escalar y/o si depende de x , rara vez se puede escribir una fórmula explícita para la solución de la ecuación del calor, aunque generalmente es posible considerar el problema abstracto de Cauchy asociado y demostrar que es un problema bien planteado y/o mostrar algunas propiedades cualitativas (como la conservación de datos iniciales positivos, velocidad de propagación infinita, convergencia hacia un equilibrio, propiedades de suavizado). Esto generalmente se hace mediante la teoría de semigrupos de un parámetro : por ejemplo, si A es una matriz simétrica , entonces el operador elíptico definido por$${\displaystyle Au(x):=\sum _{i,j}\partial _{x_{i}}a_{ij}(x)\partial _{x_{j}}u(x)}$$es autoadjunto y disipativo, por lo tanto, según el teorema espectral, genera un semigrupo de un parámetro .

En los casos especiales de propagación del calor en un medio isotrópico y homogéneo en un espacio tridimensional , esta ecuación es

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}$${\displaystyle =\alpha \left(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}\right)}$

dónde:

• ${\displaystyle u=u(x,y,z,t)}$es la temperatura en función del espacio y el tiempo;
• ${\displaystyle {\tfrac {\partial u}{\partial t}}}$es la tasa de cambio de temperatura en un punto a lo largo del tiempo;
• ${\displaystyle u_{xx}}$,${\displaystyle u_{yy}}$, y${\displaystyle u_{zz}}$son las segundas derivadas espaciales ( conductividades térmicas ) de la temperatura en el${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$direcciones, respectivamente;
• ${\displaystyle \alpha \equiv {\tfrac {k}{c_{p}\rho }}}$es la difusividad térmica , una magnitud específica del material que depende de la conductividad térmica${\displaystyle k}$la capacidad calorífica específica${\displaystyle c_{p}}$y la densidad de masa${\displaystyle \rho }$.

La ecuación del calor es una consecuencia de la ley de conducción de Fourier (véase conducción del calor ).

Si el medio no es todo el espacio, para resolver la ecuación del calor de forma única también necesitamos especificar condiciones de contorno para u . Para determinar la unicidad de las soluciones en todo el espacio es necesario asumir condiciones adicionales, por ejemplo, una cota exponencial para el crecimiento de las soluciones ^{[ 7 ]} o una condición de signo (las soluciones no negativas son únicas según un resultado de David Widder ). ^{[ 8 ]}

Las soluciones de la ecuación del calor se caracterizan por una suavización gradual de la distribución inicial de temperatura debido al flujo de calor desde las zonas más cálidas a las más frías de un objeto. Generalmente, muchos estados y condiciones iniciales diferentes tienden al mismo equilibrio estable . Por consiguiente, invertir la solución y deducir algo sobre momentos anteriores o condiciones iniciales a partir de la distribución actual del calor resulta muy impreciso, salvo en periodos de tiempo muy cortos.

La ecuación del calor es el ejemplo prototípico de una ecuación diferencial parcial parabólica .

Utilizando el operador de Laplace , la ecuación del calor se puede simplificar y generalizar a ecuaciones similares sobre espacios de un número arbitrario de dimensiones, como

${\displaystyle u_{t}=\alpha \nabla ^{2}u=\alpha \Delta u,}$

donde el operador de Laplace, denotado como Δ o como ∇ ² (la divergencia del gradiente), se toma en las variables espaciales.

La ecuación del calor rige la difusión del calor, así como otros procesos difusivos, como la difusión de partículas o la propagación del potencial de acción en las células nerviosas. Si bien no son de naturaleza difusiva, algunos problemas de mecánica cuántica también se rigen por un análogo matemático de la ecuación del calor (véase más adelante). También puede utilizarse para modelar algunos fenómenos que surgen en finanzas , como los procesos de Black-Scholes u Ornstein-Uhlenbeck . La ecuación, y varios análogos no lineales, también se han utilizado en el análisis de imágenes.

La ecuación del calor, técnicamente, viola la relatividad especial , ya que sus soluciones implican la propagación instantánea de una perturbación. La parte de la perturbación fuera del cono de luz frontal generalmente puede despreciarse, pero si es necesario desarrollar una velocidad razonable para la transmisión de calor, se debe considerar un problema hiperbólico , como una ecuación diferencial parcial con una derivada temporal de segundo orden . Algunos modelos de conducción de calor no lineal (que también son ecuaciones parabólicas) tienen soluciones con velocidad de transmisión de calor finita. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

La función u anterior representa la temperatura de un cuerpo. Alternativamente, a veces resulta conveniente cambiar las unidades y representar u como la densidad de calor de un medio. Dado que la densidad de calor es proporcional a la temperatura en un medio homogéneo, la ecuación del calor se sigue cumpliendo en las nuevas unidades.

Supongamos que un cuerpo obedece la ecuación del calor y, además, genera su propio calor por unidad de volumen (por ejemplo, en vatios/litro - W/L) a una tasa dada por una función conocida q que varía en el espacio y el tiempo. ^{[ 11 ]} Entonces, el calor por unidad de volumen u satisface una ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}{\frac {\partial u}{\partial t}}=\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{k}}q.}$

Por ejemplo, el filamento de una bombilla de tungsteno genera calor, por lo que tendría un valor positivo distinto de cero para q cuando está encendida. Mientras la luz está apagada, el valor de q para el filamento de tungsteno sería cero.

La técnica de solución empleada anteriormente puede extenderse ampliamente a muchos otros tipos de ecuaciones. La idea es que el operador u _xx con condiciones de contorno nulas puede representarse en términos de sus autofunciones . Esto conduce naturalmente a una de las ideas básicas de la teoría espectral de operadores autoadjuntos lineales .

Consideremos el operador lineal Δ u = u _xx . La secuencia infinita de funciones

${\displaystyle e_{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)}$

para n ≥ 1 son autofunciones de Δ. De hecho,

${\displaystyle \Delta e_{n}=-{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}e_{n}.}$

Además, cualquier autofunción f de Δ con las condiciones de contorno f (0) = f ( L ) = 0 es de la forma e _n para algún n ≥ 1. Las funciones e _n para n ≥ 1 forman una sucesión ortonormal con respecto a un cierto producto interno en el espacio de funciones de valor real en [0, L ]. Esto significa

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\int _{0}^{L}e_{n}(x)e_{m}^{*}(x)dx=\delta _{mn}}$

Finalmente, la secuencia { e _n } _{n ∈ N} abarca un subespacio lineal denso de L ² ((0, L )). Esto demuestra que, en efecto, hemos diagonalizado el operador Δ.

Soluciones de las ecuaciones del calor

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

satisfacen una propiedad de valor medio análoga a las propiedades de valor medio de las funciones armónicas , soluciones de

${\displaystyle \Delta u=0,}$

aunque un poco más complicado. Precisamente, si u resuelve

${\displaystyle (\partial _{t}-\Delta )u=0}$

y

${\displaystyle (x,t)+E_{\lambda }\subset \mathrm {dom} (u)}$

entonces

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\lambda }{4}}\int _{E_{\lambda }}u(x-y,t-s){\frac {|y|^{2}}{s^{2}}}ds\,dy,}$

dónde${\displaystyle E_{\lambda }}$es una bola de calor , que es un conjunto de supernivel de la solución fundamental de la ecuación del calor:

${\displaystyle E_{\lambda }:=\{(y,s):\Phi (y,s)>\lambda \},}$

${\displaystyle \Phi (x,t):=(4t\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\exp \left(-{\frac {|x|^{2}}{4t}}\right).}$

Observa que

${\displaystyle \mathrm {diam} (E_{\lambda })=o(1)}$

como${\displaystyle \lambda \to \infty }$por lo que la fórmula anterior es válida para cualquier${\displaystyle (x,t)}$en el conjunto (abierto)${\displaystyle \mathrm {dom} (u)}$para${\displaystyle \lambda }$lo suficientemente grande. ^{[ 12 ]}

Aquí se registran diversas soluciones elementales de la función de Green en una dimensión; muchas otras están disponibles en otros lugares. ^{[ 13 ]} En algunas de ellas, el dominio espacial es (−∞,∞). En otras, es el intervalo semiinfinito (0,∞) con condiciones de contorno de Neumann o Dirichlet . Otra variación es que algunas de estas resuelven la ecuación no homogénea.

${\displaystyle u_{t}=ku_{xx}+f.}$

donde f es alguna función dada de x y t .

Ecuación de calor homogénea

Problema de valor inicial en (−∞,∞)

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{Initial condition}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)g(y)\,dy}$

Comentario . Esta solución es la convolución con respecto a la variable x de la solución fundamental.

${\displaystyle \Phi (x,t):={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right),}$

y la función g ( x ). (El número de la función de Green de la solución fundamental es X00.)

Por lo tanto, según las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación, u = g ∗ Φ es una solución de la misma ecuación del calor, para

${\displaystyle \left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)(\Phi *g)=\left[\left(\partial _{t}-k\partial _{x}^{2}\right)\Phi \right]*g=0.}$

Además,

${\displaystyle \Phi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {t}}}\,\Phi \left({\frac {x}{\sqrt {t}}},1\right)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\Phi (x,t)\,dx=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , Φ(⋅, t ) ∗ g → g cuando t → 0 en varios sentidos, según la g específica . Por ejemplo, si se supone que g es acotada y continua en R, entonces Φ(⋅, t ) ∗ g converge uniformemente a g cuando t → 0, lo que significa que u ( x , t ) es continua en R × [0, ∞) con u ( x , 0) = g ( x ).

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)-\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Comentario. Esta solución se obtiene a partir de la fórmula anterior aplicada a los datos g ( x ) convenientemente extendidos a R , de modo que sea una función impar , es decir, haciendo g (− x )  := − g ( x ) para todo x . Correspondientemente, la solución del problema de valor inicial en (−∞,∞) es una función impar con respecto a la variable x para todos los valores de t , y en particular satisface las condiciones de contorno de Dirichlet homogéneas u (0, t ) = 0. El número de la función de Green de esta solución es X10.

Problema de valor inicial en (0,∞) con condiciones de contorno de Neumann homogéneas

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&{\text{IC}}\\u_{x}(0,t)=0&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\int _{0}^{\infty }\left[\exp \left(-{\frac {(x-y)^{2}}{4kt}}\right)+\exp \left(-{\frac {(x+y)^{2}}{4kt}}\right)\right]g(y)\,dy}$

Comentario. Esta solución se obtiene a partir de la primera fórmula de solución aplicada a los datos g ( x ) convenientemente extendidos a R de manera que sea una función par , es decir, haciendo g (− x )  := g ( x ) para todo x . Correspondientemente, la solución del problema de valor inicial en R es una función par con respecto a la variable x para todos los valores de t > 0, y en particular, al ser suave, satisface las condiciones de contorno de Neumann homogéneas u _x (0, t ) = 0. El número de la función de Green de esta solución es X20.

Problema en (0,∞) con condiciones iniciales homogéneas y condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas.

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}=ku_{xx}&(x,t)\in [0,\infty )\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&{\text{IC}}\\u(0,t)=h(t)&{\text{BC}}\end{cases}}}$

${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}{\frac {x}{\sqrt {4\pi k(t-s)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4k(t-s)}}\right)h(s)\,ds,\qquad \forall x>0}$

Comentario . Esta solución es la convolución con respecto a la variable t de

${\displaystyle \psi (x,t):=-2k\partial _{x}\Phi (x,t)={\frac {x}{\sqrt {4\pi kt^{3}}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

y la función h ( t ). Dado que Φ( x , t ) es la solución fundamental de

${\displaystyle \partial _{t}-k\partial _{x}^{2},}$

La función ψ ( x , t ) también es una solución de la misma ecuación del calor, y también lo es u  := ψ ∗ h , gracias a las propiedades generales de la convolución con respecto a la diferenciación. Además,

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{x^{2}}}\,\psi \left(1,{\frac {t}{x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\psi (x,t)\,dt=1,}$

de modo que, por hechos generales sobre la aproximación a la identidad , ψ ( x , ⋅) ∗ h → h cuando x → 0 en varios sentidos, según el h específico . Por ejemplo, si se supone que h es continua en R con soporte en [0, ∞), entonces ψ ( x , ⋅) ∗ h converge uniformemente en compacto a h cuando x → 0, lo que significa que u ( x , t ) es continua en [0, ∞) × [0, ∞) con u (0, t ) = h ( t ).

Se puede modelar la difusión de partículas mediante una ecuación que involucre:

• la concentración volumétrica de partículas, denotada c , en el caso de difusión colectiva de un gran número de partículas, o
• la función de densidad de probabilidad asociada con la posición de una sola partícula, denotada P.

En ambos casos, se utiliza la ecuación del calor.

${\displaystyle c_{t}=D\Delta c,}$

o

${\displaystyle P_{t}=D\Delta P.}$

Tanto c como P son funciones de la posición y el tiempo. D es el coeficiente de difusión que controla la velocidad del proceso difusivo y se expresa típicamente en metros cuadrados por segundo. Si el coeficiente de difusión D no es constante, sino que depende de la concentración c (o P en el segundo caso), entonces se obtiene la ecuación de difusión no lineal .

Sea el proceso estocástico${\displaystyle X}$ser la solución a la ecuación diferencial estocástica

${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {d} X_{t}={\sqrt {2k}}\;\mathrm {d} B_{t}\\X_{0}=0\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle B}$es el proceso de Wiener (movimiento browniano estándar). La función de densidad de probabilidad de${\displaystyle X}$se da en cualquier momento${\displaystyle t}$por

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi kt}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4kt}}\right)}$

que es la solución al problema de valor inicial

${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0,&(x,t)\in \mathbb {R} \times (0,+\infty )\\u(x,0)=\delta (x)\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \delta }$es la función delta de Dirac .

Con una simple división, la ecuación de Schrödinger para una sola partícula de masa m en ausencia de cualquier campo de fuerza aplicado se puede reescribir de la siguiente manera:

${\displaystyle \psi _{t}={\frac {i\hbar }{2m}}\Delta \psi }$,

donde i es la unidad imaginaria , ħ es la constante de Planck reducida y ψ es la función de onda de la partícula.

Esta ecuación es formalmente similar a la ecuación de difusión de partículas, que se obtiene mediante la siguiente transformación:

${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} ,t)&\to \psi (\mathbf {R} ,t)\\D&\to {\frac {i\hbar }{2m}}\end{aligned}}}$

Aplicando esta transformación a las expresiones de las funciones de Green determinadas en el caso de difusión de partículas se obtienen las funciones de Green de la ecuación de Schrödinger , que a su vez pueden utilizarse para obtener la función de onda en cualquier momento mediante una integral sobre la función de onda en t = 0:

${\displaystyle \psi (\mathbf {R} ,t)=\int \psi \left(\mathbf {R} ^{0},t=0\right)G\left(\mathbf {R} -\mathbf {R} ^{0},t\right)dR_{x}^{0}\,dR_{y}^{0}\,dR_{z}^{0},}$

con

${\displaystyle G(\mathbf {R} ,t)=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{3/2}e^{-{\frac {\mathbf {R} ^{2}m}{2i\hbar t}}}.}$

Nota: esta analogía entre la mecánica cuántica y la difusión es puramente formal. Físicamente, la evolución de la función de onda que satisface la ecuación de Schrödinger podría tener un origen distinto a la difusión .

Una aplicación práctica directa de la ecuación del calor, junto con la teoría de Fourier , en coordenadas esféricas, es la predicción de perfiles de transferencia térmica y la medición de la difusividad térmica en polímeros (Unsworth y Duarte ). Este método dual teórico-experimental es aplicable al caucho, a otros materiales poliméricos de interés práctico y a microfluidos. Estos autores derivaron una expresión para la temperatura en el centro de una esfera T _C

${\displaystyle {\frac {T_{C}-T_{S}}{T_{0}-T_{S}}}=2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\exp \left({-{\frac {n^{2}\pi ^{2}\alpha t}{L^{2}}}}\right)}$

donde T₀ es la temperatura inicial de la esfera y TS la temperatura en la superficie de la esfera, de radio L. Esta ecuación también ha encontrado aplicaciones en la transferencia de energía de proteínas y en el modelado térmico en _{biofísica .}

La ecuación del calor surge en varios fenómenos y se usa frecuentemente en matemáticas financieras para modelar opciones . La ecuación diferencial del modelo de valoración de opciones de Black -Scholes se puede transformar en la ecuación del calor, lo que permite obtener soluciones relativamente sencillas a partir de un conjunto de conceptos matemáticos conocidos. Muchas de las extensiones de los modelos de opciones simples no tienen soluciones analíticas y, por lo tanto, deben resolverse numéricamente para obtener un precio de opción modelado. La ecuación que describe la difusión de presión en un medio poroso es idéntica en forma a la ecuación del calor. Los problemas de difusión que tratan con condiciones de contorno de Dirichlet , Neumann y Robin tienen soluciones analíticas analíticas ( Thambynayagam 2011 ) .

La ecuación del calor también se utiliza ampliamente en el análisis de imágenes ( Perona y Malik, 1990 ) y en el aprendizaje automático como la teoría fundamental de los métodos de espacio de escala o laplacianos de grafos . La ecuación del calor se puede resolver numéricamente de manera eficiente utilizando el método implícito de Crank-Nicolson ( Crank y Nicolson, 1947 ) . Este método se puede extender a muchos modelos sin solución analítica; véase, por ejemplo, ( Wilmott, Howison y Dewynne, 1995 ) .

Una forma abstracta de la ecuación del calor en variedades proporciona una aproximación importante al teorema del índice de Atiyah-Singer y ha dado lugar a muchos otros trabajos sobre ecuaciones del calor en geometría riemanniana .