Geometría espectral

La geometría espectral es un campo de las matemáticas que estudia las relaciones entre las estructuras geométricas de dominios y variedades y los espectros de operadores diferenciales definidos canónicamente . El caso del operador de Laplace-Beltrami en una variedad riemanniana cerrada ha sido el más estudiado, aunque también se han examinado otros operadores de Laplace en geometría diferencial . Este campo aborda dos tipos de problemas: directos e inversos.

Los problemas inversos buscan identificar características de la geometría a partir de información sobre los autovalores del laplaciano. Uno de los primeros resultados de este tipo se debe a Hermann Weyl, quien utilizó la teoría de ecuaciones integrales de David Hilbert en 1911 para demostrar que el volumen de un dominio acotado en el espacio euclidiano puede determinarse a partir del comportamiento asintótico de los autovalores para el problema de contorno de Dirichlet del operador laplaciano . Esta pregunta se suele expresar como "¿ Se puede oír la forma de un tambor? ", la frase popular debida a Mark Kac . Un refinamiento de la fórmula asintótica de Weyl, obtenido por Pleijel y Minakshisundaram, produce una serie de invariantes espectrales locales que involucran diferenciaciones covariantes del tensor de curvatura , que pueden usarse para establecer la rigidez espectral para una clase especial de variedades. Sin embargo, como nos dice el ejemplo dado por John Milnor , la información de los autovalores no es suficiente para determinar la clase de isometría de una variedad (véase isoespectral ). Un método general y sistemático desarrollado por Toshikazu Sunada dio lugar a una gran cantidad de ejemplos que aclaran el fenómeno de las variedades isoespectrales.

Los problemas directos buscan inferir el comportamiento de los autovalores de una variedad riemanniana a partir del conocimiento de su geometría. Las soluciones a estos problemas se caracterizan por la desigualdad de Cheeger , que establece una relación entre el primer autovalor positivo y una constante isoperimétrica (la constante de Cheeger ). Desde el trabajo de Cheeger, se han desarrollado numerosas versiones de esta desigualdad (por ejemplo, las de R. Brooks y P. Buser).

• Isoespectral
• Escuchar la forma de un tambor

• Berger, Marcel ; Gauduchon, Paul; Mazet, Edmond (1971), Le specter d'une variété riemannienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol.  194, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag.
• Sunada, Toshikazu (1985), "Recubrimientos riemannianos y variedades isoespectrales", Ann. of Math. , 121 (1): 169– 186, doi : 10.2307/1971195 , JSTOR 1971195 .