Vector euclidiano

En la geometría euclidiana clásica (es decir, geometría sintética ), los vectores se introdujeron (durante el siglo XIX) como clases de equivalencia bajo la equipotencia de pares ordenados de puntos ^{[ 13 ]} ; dos pares ( A , B ) y ( C , D ) son equipotenciales si los puntos A , B , D , C , en este orden, forman un paralelogramo . Dicha clase de equivalencia se llama vector , más precisamente, vector euclidiano. ^{[ 14 ]} La clase de equivalencia de ( A , B ) se denota a menudo${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}.}$

Un vector euclidiano es, por lo tanto, una clase de equivalencia de segmentos dirigidos con la misma magnitud (p. ej., la longitud del segmento de línea ( A , B ) ) y la misma dirección (p. ej., la dirección de A a B ). ^{[ 15 ]} En física, los vectores euclidianos se utilizan para representar cantidades físicas que tienen magnitud y dirección, pero no están ubicadas en un lugar específico, a diferencia de los escalares , que no tienen dirección. ^{[ 7 ]} Por ejemplo, la velocidad , las fuerzas y la aceleración se representan mediante vectores.

En geometría moderna, los espacios euclidianos se definen a menudo a partir del álgebra lineal . Más precisamente, un espacio euclidiano E se define como un conjunto al que se asocia un espacio de producto interno de dimensión finita sobre los números reales.${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$y una acción de grupo del grupo aditivo de${\displaystyle {\overrightarrow {E}},}$que es libre y transitiva (véase Espacio afín para más detalles sobre esta construcción). Los elementos de${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$se denominan traslaciones . Se ha demostrado que las dos definiciones de espacios euclidianos son equivalentes y que las clases de equivalencia bajo equipolencia pueden identificarse con traslaciones.

A veces, los vectores euclidianos se consideran sin referencia a un espacio euclidiano. En este caso, un vector euclidiano es un elemento de un espacio vectorial normado de dimensión finita sobre los números reales, o, típicamente, un elemento del espacio de coordenadas reales.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$equipado con el producto escalar . Esto tiene sentido, ya que la suma en dicho espacio vectorial actúa libre y transitivamente sobre el propio espacio vectorial. Es decir,${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un espacio euclidiano, con él mismo como espacio vectorial asociado, y el producto escalar como producto interno.

El espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$a menudo se presenta como el espacio euclidiano estándar de dimensión n . Esto está motivado por el hecho de que todo espacio euclidiano de dimensión n es isomorfo al espacio euclidiano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$Más precisamente, dado un espacio euclidiano de este tipo, se puede elegir cualquier punto O como origen . Mediante el proceso de Gram-Schmidt , también se puede encontrar una base ortonormal del espacio vectorial asociado (una base tal que el producto escalar de dos vectores base es 0 si son diferentes y 1 si son iguales). Esto define las coordenadas cartesianas de cualquier punto P del espacio, como las coordenadas en esta base del vector${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}.}$Estas elecciones definen un isomorfismo del espacio euclidiano dado sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$asignando cada punto a la n -tupla de sus coordenadas cartesianas y cada vector a su vector de coordenadas .

Dado que el concepto de fuerza en física tiene dirección y magnitud, puede considerarse como un vector. Por ejemplo, consideremos una fuerza F de 15 newtons dirigida hacia la derecha. Si el eje positivo también apunta hacia la derecha, F se representa mediante el vector 15  N, y si apunta hacia la izquierda, el vector F es −15  N. En ambos casos, la magnitud del vector es 15 N.  De igual modo, la representación vectorial de un desplazamiento Δs de 4 metros sería 4  m o −4 m  , dependiendo de su dirección, y su magnitud sería 4  m en cualquier caso.

Los vectores son fundamentales en las ciencias físicas. Se pueden usar para representar cualquier magnitud que tenga magnitud, dirección y que cumpla con las reglas de la suma vectorial. Un ejemplo es la velocidad , cuya magnitud es la rapidez . Por ejemplo, la velocidad de 5 metros por segundo hacia arriba podría representarse mediante el vector (0, 5) (en 2 dimensiones con el eje y positivo como 'arriba'). Otra magnitud representada por un vector es la fuerza , ya que tiene magnitud y dirección y sigue las reglas de la suma vectorial. ^{[ 7 ]} Los vectores también describen muchas otras magnitudes físicas, como el desplazamiento lineal, el desplazamiento , la aceleración lineal, la aceleración angular , el momento lineal y el momento angular . Otros vectores físicos, como el campo eléctrico y el campo magnético , se representan como un sistema de vectores en cada punto de un espacio físico; es decir, un campo vectorial . Ejemplos de magnitudes que tienen magnitud y dirección, pero que no cumplen con las reglas de la suma vectorial, son el desplazamiento angular y la corriente eléctrica. Por consiguiente, estas no son vectores.

En el sistema de coordenadas cartesianas , un vector límite se puede representar identificando las coordenadas de su punto inicial y final. Por ejemplo, los puntos A = (1, 0, 0) y B = (0, 1, 0) en el espacio determinan el vector límite.${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$apuntando desde el punto x = 1 en el eje x hasta el punto y = 1 en el eje y .

En coordenadas cartesianas, un vector libre puede considerarse como un vector ligado correspondiente, cuyo punto inicial tiene las coordenadas del origen O = (0, 0, 0) . Este vector está determinado por las coordenadas del punto final de dicho vector ligado. Así, el vector libre representado por (1, 0, 0) es un vector unitario que apunta en la dirección del eje x positivo .

Esta representación de coordenadas de vectores libres permite expresar sus características algebraicas de una manera numérica conveniente. Por ejemplo, la suma de los dos vectores (libres) (1, 2, 3) y (−2, 0, 4) es el vector (libre) $${\displaystyle (1,2,3)+(-2,0,4)=(1-2,2+0,3+4)=(-1,2,7)\,.}$$

En el ámbito geométrico y físico, a veces es posible asociar, de forma natural, una longitud o magnitud y una dirección a los vectores. Además, la noción de dirección está estrechamente ligada a la noción de ángulo entre dos vectores. Si se define el producto escalar de dos vectores (un producto escalar de dos vectores), también es posible definir una longitud; el producto escalar proporciona una caracterización algebraica conveniente tanto del ángulo (una función del producto escalar entre dos vectores no nulos cualesquiera) como de la longitud (la raíz cuadrada del producto escalar de un vector por sí mismo). En tres dimensiones, además, es posible definir el producto vectorial , que proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelogramo definido por dos vectores (utilizados como lados del paralelogramo). En cualquier dimensión (y, en particular, en dimensiones superiores), es posible definir el producto exterior , que (entre otras cosas) proporciona una caracterización algebraica del área y la orientación en el espacio del paralelepípedo n -dimensional definido por n vectores.

En un espacio pseudoeuclidiano , el cuadrado de la longitud de un vector puede ser positivo, negativo o cero. Un ejemplo importante es el espacio de Minkowski (que es fundamental para nuestra comprensión de la relatividad especial ).

Sin embargo, no siempre es posible ni deseable definir la longitud de un vector. Este tipo más general de vector espacial es objeto de los espacios vectoriales (para vectores libres) y los espacios afines (para vectores ligados, representados cada uno por un par ordenado de "puntos"). Un ejemplo físico proviene de la termodinámica , donde muchas magnitudes de interés pueden considerarse vectores en un espacio sin noción de longitud ni ángulo. ^{[ 16 ]}

En física, al igual que en matemáticas, un vector se identifica a menudo con una tupla de componentes, o lista de números, que actúan como coeficientes escalares para un conjunto de vectores base . Cuando la base se transforma, por ejemplo, mediante rotación o estiramiento, las componentes de cualquier vector en términos de esa base también se transforman en sentido opuesto. El vector en sí no ha cambiado, pero la base sí, por lo que las componentes del vector deben cambiar para compensar. El vector se denomina covariante o contravariante , dependiendo de cómo se relaciona la transformación de las componentes del vector con la transformación de la base. En general, los vectores contravariantes son "vectores regulares" con unidades de distancia (como un desplazamiento) o distancia por alguna otra unidad (como velocidad o aceleración); los vectores covariantes, por otro lado, tienen unidades de uno sobre distancia, como gradiente . Si se cambian las unidades (un caso especial de cambio de base ) de metros a milímetros, con un factor de escala de 1/1000, un desplazamiento de 1  m se convierte en 1000  mm, lo que representa un cambio contravariante en el valor numérico. Por el contrario, un gradiente de 1 K /m se convierte en 0,001 K/mm, lo que representa un cambio covariante en el valor (para más información, consulte la covarianza y la contravarianza de vectores ). Los tensores son otro tipo de magnitud que se comporta de esta manera; un vector es un tipo de tensor .  

En matemáticas puras , un vector es cualquier elemento de un espacio vectorial sobre algún cuerpo y suele representarse como un vector de coordenadas . Los vectores descritos en este artículo constituyen un caso muy particular de esta definición general, ya que son contravariantes con respecto al espacio ambiente. La contravarianza refleja la intuición física que subyace a la idea de que un vector tiene "magnitud y dirección".

Como se explicó anteriormente , un vector se describe a menudo mediante un conjunto de componentes vectoriales que, sumadas , forman el vector dado. Normalmente, estas componentes son las proyecciones del vector sobre un conjunto de ejes de referencia perpendiculares entre sí (vectores base). Se dice que el vector está descompuesto o resuelto con respecto a dicho conjunto.

La descomposición o resolución ^{[ 17 ]} de un vector en componentes no es única, porque depende de la elección de los ejes sobre los que se proyecta el vector.

Además, el uso de vectores unitarios cartesianos como${\displaystyle \mathbf {\sombrero {x}} ,\mathbf {\sombrero {y}} ,\mathbf {\sombrero {z}} }$como base para representar un vector no es obligatorio. Los vectores también pueden expresarse en términos de una base arbitraria, incluidos los vectores unitarios de un sistema de coordenadas cilíndricas (${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}},\mathbf {\hat {z}} }$) o sistema de coordenadas esféricas (${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ,{\boldsymbol {\hat {\theta }}},{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}$). Las dos últimas opciones son más convenientes para resolver problemas que poseen simetría cilíndrica o esférica, respectivamente.

La elección de una base no afecta las propiedades de un vector ni su comportamiento bajo transformaciones.

Un vector también puede descomponerse con respecto a vectores base "no fijos" que cambian su orientación en función del tiempo o el espacio. Por ejemplo, un vector en el espacio tridimensional puede descomponerse con respecto a dos ejes, uno normal y otro tangente a una superficie (véase la figura). Además, las componentes radial y tangencial de un vector se relacionan con el radio de rotación de un objeto. La primera es paralela al radio y la segunda es ortogonal a él. ^{[ 18 ]}

En estos casos, cada uno de los componentes puede descomponerse a su vez con respecto a un sistema de coordenadas fijo o un conjunto de bases (por ejemplo, un sistema de coordenadas global o un marco de referencia inercial ).

Se dice que dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. De forma equivalente, serán iguales si sus coordenadas son iguales. Por lo tanto, dos vectores $${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ y $${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$ son iguales si $${\displaystyle a_{1}=b_{1},\quad a_{2}=b_{2},\quad a_{3}=b_{3}.\,}$$

Dos vectores son opuestos si tienen la misma magnitud pero dirección opuesta ; ^{[ 19 ]} por lo tanto dos vectores

$${\displaystyle {\mathbf {a} }=a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

y

$${\displaystyle {\mathbf {b} }=b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}}$$

son opuestos si

$${\displaystyle a_{1}=-b_{1},\quad a_{2}=-b_{2},\quad a_{3}=-b_{3}.\,}$$

Dos vectores son equidireccionales (o codireccionales ) si tienen la misma dirección pero no necesariamente la misma magnitud. ^{[ 19 ]} Dos vectores son paralelos si tienen la misma dirección o direcciones opuestas, pero no necesariamente la misma magnitud; dos vectores son antiparalelos si tienen direcciones estrictamente opuestas, pero no necesariamente la misma magnitud. ^{[ a ]}

La suma de a y b de dos vectores se puede definir como $${\displaystyle \mathbf {a} +\mathbf {b} =(a_{1}+b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}+b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}+b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$ El vector resultante a veces se denomina vector resultante de a y b .

La suma se puede representar gráficamente colocando el origen de la flecha b en la punta de la flecha a , y luego dibujando una flecha desde el origen de a hasta la punta de b . La nueva flecha dibujada representa el vector a + b , como se ilustra a continuación: ^{[ 7 ]}

Este método de suma a veces se denomina regla del paralelogramo porque a y b forman los lados de un paralelogramo y a + b es una de las diagonales. Si a y b son vectores ligados que tienen el mismo punto base, este punto también será el punto base de a + b . Se puede comprobar geométricamente que a + b = b + a y ( a + b ) + c = a + ( b + c ).

La diferencia entre a y b es

$${\displaystyle \mathbf {a} -\mathbf {b} =(a_{1}-b_{1})\mathbf {e} _{1}+(a_{2}-b_{2})\mathbf {e} _{2}+(a_{3}-b_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

La resta de dos vectores se puede ilustrar geométricamente de la siguiente manera: para restar b de a , colocamos los extremos de a y b en el mismo punto y luego trazamos una flecha desde el extremo de b hasta el extremo de a . Esta nueva flecha representa el vector (-b) + a , donde (-b) es el opuesto de b (véase el dibujo). Y (-b) + a = a − b .

Un vector también puede multiplicarse, o reescalarse , por cualquier número real r . En el contexto del álgebra vectorial convencional , estos números reales a menudo se denominan escalares (de escala ) para distinguirlos de los vectores. La operación de multiplicar un vector por un escalar se denomina multiplicación escalar . El vector resultante es

$${\displaystyle r\mathbf {a} =(ra_{1})\mathbf {e} _{1}+(ra_{2})\mathbf {e} _{2}+(ra_{3})\mathbf {e} _{3}.}$$

Intuitivamente, multiplicar por un escalar r estira un vector por un factor de r . Geométricamente, esto se puede visualizar (al menos cuando r es un número entero) como colocar r copias del vector en una línea donde el extremo de un vector es el punto inicial del siguiente.

Si r es negativo, el vector cambia de dirección: gira 180°. A continuación se muestran dos ejemplos ( r = −1 y r = 2):

La multiplicación escalar es distributiva sobre la suma de vectores en el siguiente sentido: r ( a + b ) = r a + r b para todos los vectores a y b y todos los escalares r . También se puede demostrar que a − b = a + (−1) b .

La longitud , magnitud o norma del vector a se denota por ‖ a ‖ o, menos comúnmente, | a |, que no debe confundirse con el valor absoluto (una "norma" escalar).

La longitud del vector a se puede calcular con la norma euclidiana ,

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}},}$$

lo cual es una consecuencia del teorema de Pitágoras ya que los vectores base e ₁ , e ₂ , e ₃ son vectores unitarios ortogonales.

Esto resulta ser igual a la raíz cuadrada del producto escalar , que se analiza más adelante, del vector consigo mismo:

$${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}.}$$

Vector unitario

Un vector unitario es cualquier vector con una longitud de uno; normalmente, los vectores unitarios se utilizan simplemente para indicar la dirección. Un vector de longitud arbitraria se puede dividir por su longitud para crear un vector unitario. ^{[ 15 ]} Esto se conoce como normalizar un vector. Un vector unitario se suele indicar con un sombrero, como en â .

Para normalizar un vector a = ( a ₁ , a ₂ , a ₃ ) , escale el vector por el recíproco de su longitud ‖ a ‖. Es decir:

$${\displaystyle \mathbf {\hat {a}} ={\frac {\mathbf {a} }{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\frac {a_{1}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {a_{2}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {a_{3}}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}\mathbf {e} _{3}}$$

El producto escalar de dos vectores a y b (a veces llamado producto interno , o, dado que su resultado es un escalar, producto escalar ) se denota por a  ∙ b y se define como: 

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\cos \theta ,}$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b (véase la función trigonométrica para una explicación del coseno). Geométricamente, esto significa que a y b se dibujan con un punto de partida común, y luego la longitud de a se multiplica por la longitud de la componente de b que apunta en la misma dirección que a .

El producto escalar también se puede definir como la suma de los productos de los componentes de cada vector como

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.}$$

El producto vectorial (también llamado producto escalar ) solo tiene sentido en tres o siete dimensiones. El producto vectorial se diferencia del producto escalar principalmente en que el resultado del producto vectorial de dos vectores es un vector. El producto vectorial, denotado a × b , es un vector perpendicular a a y b y se define como  

$${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\sin(\theta )\,\mathbf {n} }$$

donde θ es la medida del ángulo entre a y b , y n es un vector unitario perpendicular a ambos a y b que completa un sistema diestro . La restricción de ser diestro es necesaria porque existen dos vectores unitarios que son perpendiculares a ambos a y b , a saber, n y (− n ).

El producto vectorial a  × b se define de manera que a , b y a × b también se conviertan en un sistema diestro (aunque a y b no sean necesariamente ortogonales ). Esta es la regla de la mano derecha .   

La longitud de a  × b se puede interpretar como el área del paralelogramo cuyos lados miden a y b . 

El producto vectorial se puede escribir como $${\displaystyle {\mathbf {a} }\times {\mathbf {b} }=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}){\mathbf {e} }_{2}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}){\mathbf {e} }_{3}.}$$

Para cualquier elección de orientación espacial (es decir, permitiendo sistemas de coordenadas tanto para diestros como para zurdos), el producto vectorial de dos vectores es un pseudovector en lugar de un vector (véase más abajo).

El producto triple escalar (también llamado producto caja o producto triple mixto ) no es realmente un operador nuevo, sino una forma de aplicar los otros dos operadores de multiplicación a tres vectores. El producto triple escalar a veces se denota por ( a b c ) y se define como:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ).}$$

Tiene tres usos principales. Primero, el valor absoluto del producto escalar es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas están definidas por los tres vectores. Segundo, el producto triple escalar es cero si y solo si los tres vectores son linealmente dependientes , lo cual se puede demostrar fácilmente considerando que para que los tres vectores no formen un volumen, deben estar todos en el mismo plano. Tercero, el producto escalar es positivo si y solo si los tres vectores a , b y c son dextrógiros.

En componentes ( con respecto a una base ortonormal dextrógira ), si se piensa en los tres vectores como filas (o columnas, pero en el mismo orden), el producto triple escalar es simplemente el determinante de la matriz de 3x3 que tiene los tres vectores como filas. $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}}$$

El producto triple escalar es lineal en sus tres componentes y antisimétrico en el siguiente sentido: $${\displaystyle (\mathbf {a} \ \mathbf {b} \ \mathbf {c} )=(\mathbf {c} \ \mathbf {a} \ \mathbf {b} )=(\mathbf {b} \ \mathbf {c} \ \mathbf {a} )=-(\mathbf {a} \ \mathbf {c} \ \mathbf {b} )=-(\mathbf {b} \ \mathbf {a} \ \mathbf {c} )=-(\mathbf {c} \ \mathbf {b} \ \mathbf {a} ).}$$

Todos los ejemplos hasta ahora han tratado con vectores expresados ​​en términos de la misma base, a saber, la base e { e ₁ , e ₂ , e ₃ }. Sin embargo, un vector puede expresarse en términos de cualquier número de bases diferentes que no necesariamente estén alineadas entre sí, y aún así seguir siendo el mismo vector. En la base e , un vector a se expresa, por definición, como

$${\displaystyle \mathbf {a} =p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3}.}$$

Los componentes escalares en la base e son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}p&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{1},\\q&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{2},\\r&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}}$$

En otra base ortonormal n = { n ₁ , n ₂ , n ₃ } que no necesariamente está alineada con e , el vector a se expresa como

$${\displaystyle \mathbf {a} =u\mathbf {n} _{1}+v\mathbf {n} _{2}+w\mathbf {n} _{3}}$$

y los componentes escalares en la base n son, por definición,

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=\mathbf {a} \cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Los valores de p , q , r , y u , v , w se relacionan con los vectores unitarios de tal manera que la suma vectorial resultante es exactamente el mismo vector físico a en ambos casos. Es común encontrar vectores conocidos en términos de diferentes bases (por ejemplo, una base fija a la Tierra y una segunda base fija a un vehículo en movimiento). En tal caso, es necesario desarrollar un método para convertir entre bases de modo que se puedan realizar las operaciones vectoriales básicas, como la suma y la resta. Una forma de expresar u , v , w en términos de p , q , r es usar matrices columna junto con una matriz de cosenos directores que contenga la información que relaciona las dos bases. Dicha expresión se puede formar sustituyendo las ecuaciones anteriores para formar

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=(p\mathbf {e} _{1}+q\mathbf {e} _{2}+r\mathbf {e} _{3})\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Al distribuir la multiplicación de puntos se obtiene

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{1}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{1}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{1},\\v&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{2}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{2},\\w&=p\mathbf {e} _{1}\cdot \mathbf {n} _{3}+q\mathbf {e} _{2}\cdot \mathbf {n} _{3}+r\mathbf {e} _{3}\cdot \mathbf {n} _{3}.\end{aligned}}}$$

Reemplazar cada producto escalar con un escalar único da como resultado

$${\displaystyle {\begin{aligned}u&=c_{11}p+c_{12}q+c_{13}r,\\v&=c_{21}p+c_{22}q+c_{23}r,\\w&=c_{31}p+c_{32}q+c_{33}r,\end{aligned}}}$$

y estas ecuaciones pueden expresarse como una única ecuación matricial.

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}u\\v\\w\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\q\\r\end{bmatrix}}.}$$

Esta ecuación matricial relaciona las componentes escalares de a en la base n ( u , v y w ) con las de la base e ( p , q y r ). Cada elemento de la matriz c _jk es el coseno director que relaciona n _j con e _k . ^{[ 20 ]} El término coseno director se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores unitarios, que también es igual a su producto escalar . ^{[ 20 ]} Por lo tanto,

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{12}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{13}&=\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{21}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{22}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{23}&=\mathbf {n} _{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\c_{31}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{1}\\c_{32}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{2}\\c_{33}&=\mathbf {n} _{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$$

Al referirnos colectivamente a e ₁ , e ₂ , e ₃ como la base e y a n ₁ , n ₂ , n ₃ como la base n , la matriz que contiene todos los c _jk se conoce como la " matriz de transformación de e a n ", o la " matriz de rotación de e a n " (porque puede imaginarse como la "rotación" de un vector de una base a otra), o la "matriz de cosenos directores de e a n " ^{[ 20 ]} (porque contiene cosenos directores). Las propiedades de una matriz de rotación son tales que su inversa es igual a su transpuesta . Esto significa que la "matriz de rotación de e a n " es la transpuesta de la "matriz de rotación de n a e ".

Las propiedades de una matriz de cosenos directores, C, son: ^{[ 21 ]}

• El determinante es la unidad, |C| = 1;
• La inversa es igual a la transpuesta;
• Las filas y las columnas son vectores unitarios ortogonales, por lo tanto, sus productos escalares son cero.

La ventaja de este método es que, por lo general, se puede obtener una matriz de cosenos directores de forma independiente utilizando ángulos de Euler o un cuaternión para relacionar las dos bases vectoriales, de modo que las conversiones de base se pueden realizar directamente, sin tener que calcular todos los productos escalares descritos anteriormente.

Aplicando varias multiplicaciones de matrices en sucesión, cualquier vector puede expresarse en cualquier base siempre que se conozca el conjunto de cosenos directores que relacionan las bases sucesivas. ^{[ 20 ]}

Con excepción de los productos cruzados y triples, las fórmulas anteriores se generalizan a dos dimensiones y dimensiones superiores. Por ejemplo, la suma se generaliza a dos dimensiones como $${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2},}$$ y en cuatro dimensiones como $${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2}+a_{3}{\mathbf {e} }_{3}+a_{4}{\mathbf {e} }_{4})&+(b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2}+b_{3}{\mathbf {e} }_{3}+b_{4}{\mathbf {e} }_{4})=\\(a_{1}+b_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(a_{2}+b_{2}){\mathbf {e} }_{2}&+(a_{3}+b_{3}){\mathbf {e} }_{3}+(a_{4}+b_{4}){\mathbf {e} }_{4}.\end{aligned}}}$$

El producto vectorial no se generaliza fácilmente a otras dimensiones, aunque el producto exterior, estrechamente relacionado , sí lo hace, cuyo resultado es un bivector . En dos dimensiones, esto es simplemente un pseudoescalar.$${\displaystyle (a_{1}{\mathbf {e} }_{1}+a_{2}{\mathbf {e} }_{2})\wedge (b_{1}{\mathbf {e} }_{1}+b_{2}{\mathbf {e} }_{2})=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}.}$$

Un producto vectorial de siete dimensiones es similar al producto vectorial en el sentido de que su resultado es un vector ortogonal a los dos argumentos; sin embargo, no existe una forma natural de seleccionar uno de los posibles productos de este tipo.

En espacios vectoriales abstractos, la longitud de la flecha depende de una escala adimensional . Si representa, por ejemplo, una fuerza, la "escala" tiene la dimensión física longitud/fuerza. Por lo tanto, suele haber coherencia en la escala entre cantidades de la misma dimensión, pero en otros casos las relaciones de escala pueden variar; por ejemplo, si "1 newton" y "5 m" se representan con una flecha de 2 cm, las escalas son 1 m:50 N y 1:250 respectivamente. La igualdad de longitud de vectores de diferente dimensión no tiene una importancia particular a menos que exista alguna constante de proporcionalidad inherente al sistema que representa el diagrama. Asimismo, la longitud de un vector unitario (de dimensión longitud, no longitud/fuerza, etc.) no tiene una importancia invariante respecto al sistema de coordenadas. 

En física y matemáticas, un vector suele evolucionar en el tiempo, es decir, depende de un parámetro temporal t . Por ejemplo, si r representa el vector de posición de una partícula, entonces r ( t ) proporciona una representación paramétrica de su trayectoria. Las funciones vectoriales pueden derivarse e integrarse derivando o integrando sus componentes, y muchas de las reglas habituales del cálculo siguen siendo válidas para la derivada e integral de dichas funciones.

La posición de un punto x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) en el espacio tridimensional se puede representar como un vector de posición cuyo punto base es el origen. $${\displaystyle {\mathbf {x} }=x_{1}{\mathbf {e} }_{1}+x_{2}{\mathbf {e} }_{2}+x_{3}{\mathbf {e} }_{3}.}$$ El vector de posición tiene dimensiones de longitud .

Dados dos puntos x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ), y = ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ), su desplazamiento es un vector $${\displaystyle {\mathbf {y} }-{\mathbf {x} }=(y_{1}-x_{1}){\mathbf {e} }_{1}+(y_{2}-x_{2}){\mathbf {e} }_{2}+(y_{3}-x_{3}){\mathbf {e} }_{3}.}$$ que especifica la posición de y con respecto a x . La longitud de este vector da la distancia en línea recta de x a y . El desplazamiento tiene dimensiones de longitud.

La velocidad v de un punto o partícula es un vector, cuya magnitud da la rapidez . Para una velocidad constante, la posición en el instante t será $${\displaystyle {\mathbf {x} }_{t}=t{\mathbf {v} }+{\mathbf {x} }_{0},}$$ donde x ₀ es la posición en el instante t = 0. La velocidad es la derivada temporal de la posición. Sus dimensiones son longitud/tiempo.

La aceleración a de un punto es un vector que es la derivada temporal de la velocidad. Sus dimensiones son longitud/ ^tiempo² .

La fuerza es un vector con dimensiones de masa × longitud / tiempo ² (N ms ⁻² ) y la segunda ley de Newton es la multiplicación escalar. $${\displaystyle {\mathbf {F} }=m{\mathbf {a} }}$$

El trabajo es el producto escalar de la fuerza y ​​el desplazamiento.$${\displaystyle W={\mathbf {F} }\cdot ({\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {x} }_{1}).}$$

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