coseno director

En geometría analítica , los cosenos directores de un vector son los cosenos de los ángulos formados entre el vector y los tres ejes de coordenadas positivos. De forma equivalente, son las contribuciones de cada componente de la base a un vector unitario en esa dirección .

Coordenadas cartesianas tridimensionales

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} — Vector $v$ en $\mathbb {R} ^{3}$ ⁠

{\displaystyle {\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}} — Cosenos directores y ángulos directores para el vector unitario ${\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}$

Si $v$ es un vector euclidiano en un espacio euclidiano tridimensional , $\mathbb {R} ^{3},$ ⁠

$\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z},$

donde $e x, e y, e z$ son la base estándar en notación cartesiana, entonces los cosenos directores son

${\begin{alignedat}{2}\alpha &{}=\cos a={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{x}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{x}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\beta &{}=\cos b={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{y}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{y}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}},\\\gamma &{}=\cos c={\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{z}}{\Vert \mathbf {v} \Vert }}&&{}={\frac {v_{z}}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}.\end{alignedat}}$

De ello se deduce que al elevar al cuadrado cada ecuación y sumar los resultados

$\cos ^{2}a+\cos ^{2}b+\cos ^{2}c=\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2}=1.$

Aquí $α, β, γ$ son los cosenos directores y las coordenadas cartesianas del vector unitario. ${\tfrac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}},$ y $a, b, c$ son los ángulos de dirección del vector $v$ .

Los ángulos de dirección $a, b, c$ son ángulos agudos u obtusos , es decir, $0 \leq$ $a$ $\leq π$ , $0 \leq$ $b$ $\leq$ $π$ y $0 \leq$ $c$ $\leq$ $π$ , y denotan los ángulos formados entre $v$ y los vectores base unitarios $e$ $x$ $,$ $e$ $y$ $,$ $e$ $z$ .

Significado general

En términos más generales, el coseno director se refiere al coseno del ángulo entre dos vectores cualesquiera . Son útiles para formar matrices de cosenos directores que expresan un conjunto de vectores base ortonormales en términos de otro conjunto, o para expresar un vector conocido en una base diferente. En resumen, los cosenos directores proporcionan un método sencillo para representar la dirección de un vector en un sistema de coordenadas cartesianas.

Aplicaciones

Determinación de ángulos entre dos vectores

Sean $u$ y $v$ cosenos directores $(α u, β u, γ u)$ y $(α v, β v, γ v)$ , respectivamente, con un ángulo $θ$ entre ellos. Sus vectores unitarios son ${\begin{aligned}\mathbf {\hat {u}} &={\frac {u_{x}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {u_{y}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {u_{z}}{\rVert \mathbf {u} \lVert }}\mathbf {e} _{z}=\alpha _{u}\mathbf {e} _{x}+\beta _{u}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{u}\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {\hat {v}} &={\frac {v_{x}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {v_{y}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {v_{z}}{\rVert \mathbf {v} \lVert }}\mathbf {e} _{z}=\alpha _{v}\mathbf {e} _{x}+\beta _{v}\mathbf {e} _{y}+\gamma _{v}\mathbf {e} _{z}\\\end{aligned}}$ respectivamente.

Tomando el producto escalar de estos dos vectores unitarios se obtiene: $\mathbf {{\hat {u}}\cdot {\hat {v}}} =\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}.$ La interpretación geométrica del producto escalar de estos dos vectores unitarios es equivalente a la proyección de un vector sobre otro; al vincular ambas definiciones, encontramos lo siguiente.

$\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}=\cos \theta$

Existen dos opciones para $θ$ (ya que el coseno es par ); una es el ángulo agudo y la otra es el ángulo obtuso entre ambos. Por convención, se elige el ángulo agudo, por lo que se toma el valor absoluto del producto escalar. $\theta =\arccos \left(\left|\alpha _{u}\alpha _{v}+\beta _{u}\beta _{v}+\gamma _{u}\gamma _{v}\right|\right).$

Véase también

Referencias

Kay, CC (1988). Cálculo tensorial . Esquemas de Schaum. McGraw-Hill. págs. 18 y 19. ISBN 0-07-033484-6.
Spiegel, señor; Lipschutz, S.; Spellman, D. (2009). Análisis vectorial . Esquemas de Schaum (2ª ed.). McGraw-Hill. págs.15 , 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
Tyldesley, JR (1975). Introducción al análisis tensorial para ingenieros y científicos aplicados . Longman. pág. 5. ISBN 0-582-44355-5.
Tang, KT (2006). Métodos matemáticos para ingenieros y científicos . Vol. 2. Springer. pág. 13. ISBN 3-540-30268-9.
Weisstein, Eric W. "Coseno director" . MathWorld .