tensor cartesiano

En geometría y álgebra lineal , un tensor cartesiano utiliza una base ortonormal para representar un tensor en un espacio euclidiano en forma de componentes. La conversión de las componentes de un tensor de una base a otra se realiza mediante una transformación ortogonal .

Los sistemas de coordenadas más conocidos son los sistemas de coordenadas cartesianas bidimensionales y tridimensionales . Los tensores cartesianos pueden utilizarse con cualquier espacio euclidiano o, más técnicamente, con cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo de los números reales que tenga un producto interno .

El uso de tensores cartesianos se da en física e ingeniería , como en el tensor de tensiones de Cauchy y el tensor de momento de inercia en la dinámica de cuerpos rígidos . A veces, las coordenadas curvilíneas generales son convenientes, como en la mecánica de medios continuos de alta deformación , o incluso necesarias, como en la relatividad general . Si bien se pueden encontrar bases ortonormales para algunos de estos sistemas de coordenadas (por ejemplo, tangentes a coordenadas esféricas ), los tensores cartesianos pueden proporcionar una simplificación considerable para aplicaciones en las que bastan las rotaciones de ejes de coordenadas rectilíneas. La transformación es pasiva , ya que se modifican las coordenadas y no el sistema físico.

En el espacio euclidiano 3D , la base estándar es e _x , e _y , e _z . Cada vector de la base apunta a lo largo de los ejes x, y y z, y todos los vectores son vectores unitarios (o normalizados), por lo que la base es ortonormal . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

En todo momento, al referirse a coordenadas cartesianas en tres dimensiones , se asume un sistema de coordenadas diestro, que es mucho más común que un sistema de coordenadas zurdas en la práctica; consulte la sección de orientación (espacio vectorial) para obtener más detalles.

Para tensores cartesianos de orden 1, un vector cartesiano a puede escribirse algebraicamente como una combinación lineal de los vectores base e _x , e _y , e _z :

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}}$$

donde las coordenadas del vector con respecto a la base cartesiana se denotan como a _x , a _y , a _z . Es común y útil mostrar los vectores base como vectores columna.

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _ {\text{y}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {e} _{\text{z}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}}$$

cuando tenemos un vector de coordenadas en una representación de vector columna:

$${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}\\a_{\text{y}}\\a_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

La representación mediante vectores fila también es legítima, aunque en el contexto de sistemas de coordenadas curvilíneas generales las representaciones mediante vectores fila y columna se utilizan por separado por razones específicas; véase la notación de Einstein y la covarianza y contravarianza de vectores para más detalles.

El término "componente" de un vector es ambiguo: podría referirse a:

• una coordenada específica del vector, como una _z (un escalar), y de manera similar para x e y , o
• la coordenada escalar multiplicando el vector base correspondiente, en cuyo caso el " componente y " de a es a _y e _y (un vector), y de manera similar para x y z .

Una notación más general es la notación de índice tensorial , que tiene la flexibilidad de utilizar valores numéricos en lugar de etiquetas de coordenadas fijas.Las etiquetas cartesianas se reemplazan por índices tensoriales en los vectores base e _x ↦ e ₁ , e _y ↦ e ₂ , e _z ↦ e ₃ y coordenadas a _x ↦ a ₁ , a _y ↦ a ₂ , a _z ↦ a ₃ . En general, la notación e ₁ , e ₂ , e ₃ se refiere a cualquier base, y a ₁ , a ₂ , a ₃ se refiere al sistema de coordenadas correspondiente; aunque aquí se restringen al sistema cartesiano. Entonces:

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}=\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

Es habitual utilizar la notación de Einstein ; el signo de sumatoria para la suma sobre un índice que aparece exactamente dos veces dentro de un término puede omitirse para mayor concisión notacional:

$${\displaystyle \mathbf {a} =\sum _{i=1}^{3}a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv a_{i}\mathbf {e} _{i}}$$

Una ventaja de la notación de índices sobre las notaciones específicas de coordenadas es la independencia de la dimensión del espacio vectorial subyacente; es decir, la misma expresión del lado derecho adopta la misma forma en dimensiones superiores (véase más abajo). Anteriormente, las etiquetas cartesianas x, y, z eran simplemente etiquetas y no índices. (Es informal decir " i = x, y, z").

Un tensor diádico T es un tensor de orden 2 formado por el producto tensorial ⊗ de dos vectores cartesianos a y b , escrito T = a ⊗ b . De forma análoga a los vectores, puede escribirse como una combinación lineal de la base tensorial e _x ⊗ e _x ≡ e _xx , e _x ⊗ e _y ≡ e _xy , ..., e _z ⊗ e _z ≡ e _zz (el lado derecho de cada identidad es solo una abreviatura, nada más):

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &\left(a_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\otimes \left(b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}+b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}+b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\right)\\[5pt]{}=\quad &a_{\text{x}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{x}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{x}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{y}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{y}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{y}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{y}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\\[4pt]{}+{}&a_{\text{z}}b_{\text{x}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}+a_{\text{z}}b_{\text{y}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}+a_{\text{z}}b_{\text{z}}\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}\end{aligned}}}$$

Representando cada tensor base como una matriz:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{x}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xx}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{x}}\otimes \mathbf {e} _{\text{y}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{xy}}={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {e} _{\text{z}}\otimes \mathbf {e} _{\text{z}}&\equiv \mathbf {e} _{\text{zz}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Entonces T puede representarse de forma más sistemática como una matriz:

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}a_{\text{x}}b_{\text{x}}&a_{\text{x}}b_{\text{y}}&a_{\text{x}}b_{\text{z}}\\a_{\text{y}}b_{\text{x}}&a_{\text{y}}b_{\text{y}}&a_{\text{y}}b_{\text{z}}\\a_{\text{z}}b_{\text{x}}&a_{\text{z}}b_{\text{y}}&a_{\text{z}}b_{\text{z}}\end{pmatrix}}}$$

Consulte la multiplicación de matrices para conocer la correspondencia notacional entre matrices y los productos escalar y tensorial.

En términos más generales, sea o no T un producto tensorial de dos vectores, siempre es una combinación lineal de los tensores base con coordenadas T _xx , T _xy , ..., T _zz :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} =\quad &T_{\text{xx}}\mathbf {e} _{\text{xx}}+T_{\text{xy}}\mathbf {e} _{\text{xy}}+T_{\text{xz}}\mathbf {e} _{\text{xz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{yx}}\mathbf {e} _{\text{yx}}+T_{\text{yy}}\mathbf {e} _{\text{yy}}+T_{\text{yz}}\mathbf {e} _{\text{yz}}\\[4pt]{}+{}&T_{\text{zx}}\mathbf {e} _{\text{zx}}+T_{\text{zy}}\mathbf {e} _{\text{zy}}+T_{\text{zz}}\mathbf {e} _{\text{zz}}\end{aligned}}}$$

mientras que en términos de índices tensoriales:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

y en forma matricial:

$${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}}$$

Los tensores de segundo orden aparecen de forma natural en física e ingeniería cuando las magnitudes físicas presentan dependencia direccional en el sistema, a menudo en un modo de "estímulo-respuesta". Esto puede verse matemáticamente a través de un aspecto de los tensores: son funciones multilineales . Un tensor de segundo orden T que toma como entrada un vector u de cierta magnitud y dirección devolverá un vector v ; de magnitud y dirección diferentes a u , en general. La notación utilizada para las funciones en el análisis matemático nos lleva a escribir v − T ( u ) , ^{[ 1 ]} mientras que la misma idea puede expresarse en notación matricial y de índices ^{[ 2 ]} (incluida la convención de sumatoria), respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{\text{x}}\\v_{\text{y}}\\v_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{\text{x}}\\u_{\text{y}}\\u_{\text{z}}\end{pmatrix}}\,,&v_{i}&=T_{ij}u_{j}\end{aligned}}}$$

Por "lineal", si u = ρ r + σ s para dos escalares ρ y σ y vectores r y s , entonces en notación de función e índice:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=&&\mathbf {T} (\rho \mathbf {r} +\sigma \mathbf {s} )&=&&\rho \mathbf {T} (\mathbf {r} )+\sigma \mathbf {T} (\mathbf {s} )\\[1ex]v_{i}&=&&T_{ij}(\rho r_{j}+\sigma s_{j})&=&&\rho T_{ij}r_{j}+\sigma T_{ij}s_{j}\end{aligned}}}$$

Lo mismo ocurre con la notación matricial. Las notaciones de función, matriz e índice significan lo mismo. Las notaciones matriciales ofrecen una representación clara de los componentes, mientras que las notaciones de índice permiten una manipulación tensorial-algebraica más sencilla y compacta de las fórmulas. Ambas proporcionan la interpretación física de las direcciones ; los vectores tienen una dirección, mientras que los tensores de segundo orden conectan dos direcciones. Se puede asociar un índice tensorial o una coordenada a la dirección de un vector base.

El uso de tensores de segundo orden es fundamental para describir cambios en la magnitud y la dirección de los vectores, ya que el producto escalar de dos vectores siempre es un escalar, mientras que el producto vectorial de dos vectores siempre es un pseudovector perpendicular al plano definido por los vectores. Por lo tanto, estos productos vectoriales por sí solos no pueden generar un nuevo vector de cualquier magnitud en cualquier dirección. (Véase también más adelante para obtener más información sobre el producto escalar y el producto vectorial). El producto tensorial de dos vectores es un tensor de segundo orden, aunque esto no tiene una interpretación direccional obvia por sí mismo.

La idea anterior puede continuarse: si T toma como entrada dos vectores p y q , devolverá un escalar r . En notación de función escribimos r = T ( p , q ) , mientras que en notación matricial y de índices (incluida la convención de sumatoria) respectivamente:

$${\displaystyle r={\begin{pmatrix}p_{\text{x}}&p_{\text{y}}&p_{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{\text{xx}}&T_{\text{xy}}&T_{\text{xz}}\\T_{\text{yx}}&T_{\text{yy}}&T_{\text{yz}}\\T_{\text{zx}}&T_{\text{zy}}&T_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}q_{\text{x}}\\q_{\text{y}}\\q_{\text{z}}\end{pmatrix}}=p_{i}T_{ij}q_{j}}$$

El tensor T es lineal en ambos vectores de entrada. Cuando los vectores y tensores se escriben sin referencia a componentes y no se utilizan índices, a veces se coloca un punto ⋅ donde se toman sumas sobre índices (conocidas como contracciones tensoriales ). Para los casos anteriores: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {T} \cdot \mathbf {u} \\r&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {T} \cdot \mathbf {q} \end{aligned}}}$$

motivado por la notación del producto escalar:

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \equiv a_{i}b_{i}}$$

En términos más generales, un tensor de orden m que toma n vectores (donde n está entre 0 y m inclusive) devolverá un tensor de orden m − n ; véase Tensor § Como mapas multilineales para más generalizaciones y detalles. Los conceptos anteriores también se aplican a los pseudovectores de la misma manera que a los vectores. Los vectores y tensores pueden variar en todo el espacio, en cuyo caso tenemos campos vectoriales y campos tensoriales , y también pueden depender del tiempo.

A continuación se muestran algunos ejemplos:

Para el ejemplo de conducción eléctrica, las notaciones de índice y matriz serían:

$${\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sigma _{ij}E_{j}\equiv \sum _{j}\sigma _{ij}E_{j}\\{\begin{pmatrix}J_{\text{x}}\\J_{\text{y}}\\J_{\text{z}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\sigma _{\text{xx}}&\sigma _{\text{xy}}&\sigma _{\text{xz}}\\\sigma _{\text{yx}}&\sigma _{\text{yy}}&\sigma _{\text{yz}}\\\sigma _{\text{zx}}&\sigma _{\text{zy}}&\sigma _{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}E_{\text{x}}\\E_{\text{y}}\\E_{\text{z}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

mientras que para la energía cinética rotacional T :

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\equiv {\frac {1}{2}}\sum _{ij}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}\,,\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}&\omega _{\text{y}}&\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{\text{xx}}&I_{\text{xy}}&I_{\text{xz}}\\I_{\text{yx}}&I_{\text{yy}}&I_{\text{yz}}\\I_{\text{zx}}&I_{\text{zy}}&I_{\text{zz}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{\text{x}}\\\omega _{\text{y}}\\\omega _{\text{z}}\end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

Véase también la ecuación constitutiva para ejemplos más especializados.

En el espacio euclidiano n -dimensional sobre los números reales, , la base estándar se denota por e ₁ , e ₂ , e ₃ , ... e _n . Cada vector base e _i apunta a lo largo del eje x _i positivo , siendo la base ortonormal. La componente j de e _i viene dada por la delta de Kronecker : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle (\mathbf {e} _{i})_{j}=\delta _{ij}}$$

Un vector toma la forma: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {a} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\equiv \sum _{i}a_{i}\mathbf {e} _{i}\,.}$$

De manera similar, para el tensor de orden 2 anterior, para cada vector a y b en : ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

$${\displaystyle \mathbf {T} =a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

o, de forma más general:

$${\displaystyle \mathbf {T} =T_{ij}\mathbf {e} _{ij}\equiv \sum _{ij}T_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,.}$$

El vector de posición x es un ejemplo sencillo y común de vector, y puede representarse en cualquier sistema de coordenadas . Consideremos el caso de sistemas de coordenadas rectangulares con bases ortonormales únicamente. Es posible tener un sistema de coordenadas con geometría rectangular si los vectores base son todos perpendiculares entre sí y no están normalizados, en cuyo caso la base es ortogonal pero no ortonormal . Sin embargo, las bases ortonormales son más fáciles de manipular y se utilizan con frecuencia en la práctica. Los siguientes resultados son válidos para bases ortonormales, no para ortogonales. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

En un sistema de coordenadas rectangulares, x como contravector tiene coordenadas x ⁱ y vectores base e _i , mientras que como covector tiene coordenadas x _i y covectores base e ⁱ , y tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &=x^{i}\mathbf {e} _{i}\,,&\mathbf {x} &=x_{i}\mathbf {e} ^{i}\end{aligned}}}$$

En otro sistema de coordenadas rectangulares, x como contravector tiene coordenadas x ⁱ y base e _i , mientras que como covector tiene coordenadas x _i y base e ⁱ , y tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} &={\bar {x}}^{i}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\,,&\mathbf {x} &={\bar {x}}_{i}{\bar {\mathbf {e} }}^{i}\end{aligned}}}$$

Cada nueva coordenada es una función de todas las anteriores, y viceversa para la función inversa :

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {x}}{}^{i}={\bar {x}}{}^{i}\left(x^{1},x^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}^{i}=x{}^{i}\left({\bar {x}}^{1},{\bar {x}}^{2},\ldots \right)\\{\bar {x}}{}_{i}={\bar {x}}{}_{i}\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad x{}_{i}=x{}_{i}\left({\bar {x}}_{1},{\bar {x}}_{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

y de manera similar, cada nuevo vector base es una función de todos los anteriores, y viceversa para la función inversa:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}_{j}\left(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}_{j}=\mathbf {e} {}_{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}_{1},{\bar {\mathbf {e} }}_{2},\ldots \right)\\{\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}={\bar {\mathbf {e} }}{}^{j}\left(\mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2},\ldots \right)\quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf {e} {}^{j}=\mathbf {e} {}^{j}\left({\bar {\mathbf {e} }}^{1},{\bar {\mathbf {e} }}^{2},\ldots \right)\end{aligned}}}$$

para todo i , j .

Un vector es invariante bajo cualquier cambio de base , por lo que si las coordenadas se transforman según una matriz de transformación L , las bases se transforman según la matriz inversa L ⁻¹ , y viceversa, si las coordenadas se transforman según la inversa L ⁻¹ , las bases se transforman según la matriz L. La diferencia entre cada una de estas transformaciones se muestra convencionalmente mediante los índices como superíndices para la contravarianza y subíndices para la covarianza, y las coordenadas y bases se transforman linealmente según las siguientes reglas:

donde L _i ^j representa las entradas de la matriz de transformación (el número de fila es i y el número de columna es j ) y ( L ⁻¹ ) _i ^k denota las entradas de la matriz inversa de la matriz L _i ^k .

Si L es una transformación ortogonal ( matriz ortogonal ), los objetos que se transforman mediante ella se definen como tensores cartesianos . Geométricamente, esto se interpreta como que un sistema de coordenadas rectangulares se mapea a otro sistema de coordenadas rectangulares, en el que se conserva la norma del vector x (y se conservan las distancias).

El determinante de L es det( L ) = ±1 , que corresponde a dos tipos de transformación ortogonal: ( +1 ) para rotaciones y ( −1 ) para rotaciones impropias (incluidas las reflexiones ).

Existen considerables simplificaciones algebraicas; la transpuesta de la matriz es la inversa de la definición de una transformación ortogonal:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\Rightarrow \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}\right)_{i}{}^{j}=({\boldsymbol {\mathsf {L}}})^{j}{}_{i}={\mathsf {L}}^{j}{}_{i}}$$

Según la tabla anterior, las transformaciones ortogonales de covectores y contravectores son idénticas. No es necesario diferenciar entre elevar y abatir índices , y en este contexto, así como en sus aplicaciones a la física y la ingeniería, los índices suelen ir subíndices para evitar confusiones con los exponentes . Todos los índices se abatirán en el resto de este artículo. Se pueden determinar los índices elevados y abatidos considerando qué cantidades son covectores o contravectores y las reglas de transformación correspondientes.

Las mismas reglas de transformación se aplican a cualquier vector a , no solo al vector de posición. Si sus componentes a _i no se transforman según estas reglas, a no es un vector.

A pesar de la similitud entre las expresiones anteriores, para el cambio de coordenadas como x ^j = L _i ^j x ⁱ , y la acción de un tensor sobre un vector como b _i = T _ij a _j , L no es un tensor, pero T sí lo es. En el cambio de coordenadas, L es una matriz que relaciona dos sistemas de coordenadas rectangulares con bases ortonormales. Para el tensor que relaciona un vector con otro, los vectores y tensores a lo largo de la ecuación pertenecen al mismo sistema de coordenadas y base.

Las entradas de L son derivadas parciales de las coordenadas nuevas o antiguas con respecto a las coordenadas antiguas o nuevas, respectivamente.

Derivando x _i con respecto a x _k :

$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{\mathsf {L}}_{ji})={\mathsf {L}}_{ji}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{kj}{\mathsf {L}}_{ji}={\mathsf {L}}_{ki}}$$

entonces

$${\displaystyle {{\mathsf {L}}_{i}}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{ij}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i}}}}$$

es un elemento de la matriz jacobiana . Existe una correspondencia (parcialmente mnemotécnica) entre las posiciones de los índices adjuntas a L y en la derivada parcial: i en la parte superior y j en la parte inferior, en cada caso, aunque para tensores cartesianos los índices pueden estar en orden inverso.

Por el contrario, al diferenciar x _j con respecto a x _i :

$${\displaystyle {\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\bar {x}}_{i}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\delta _{ki}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kj}}$$

entonces

$${\displaystyle \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{i}{}^{j}\equiv \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}}$$

es un elemento de la matriz jacobiana inversa, con una correspondencia de índices similar.

Muchas fuentes describen las transformaciones en términos de derivadas parciales:

y las ecuaciones matriciales explícitas en 3D son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

De manera similar para

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

Como ocurre con todas las transformaciones lineales, L depende de la base elegida. Para dos bases ortonormales

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}&=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}\,,&\left|\mathbf {e} _{i}\right|&=\left|{\bar {\mathbf {e} }}_{i}\right|=1\,,\end{aligned}}}$$

• proyectando x sobre el eje x :${\displaystyle {\bar {x}}_{i}={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {x} ={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot x_{j}\mathbf {e} _{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{ij}\,,}$
• proyectando x sobre el eje x :${\displaystyle x_{i}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {x} =\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {x}}_{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{j}={\bar {x}}_{j}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ji}\,.}$

Por lo tanto, los componentes se reducen a cosenos directores entre los ejes x _i y x _{j :}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathsf {L}}_{ij}&={\bar {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\cos \theta _{ij}\\\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ij}&=\mathbf {e} _{i}\cdot {\bar {\mathbf {e} }}_{j}=\cos \theta _{ji}\end{aligned}}}$$

donde θ _ij y θ _ji son los ángulos entre los ejes x _i y x _j . En general, θ _ij no es igual a θ _ji , porque, por ejemplo, θ ₁₂ y θ ₂₁ son dos ángulos diferentes.

La transformación de coordenadas se puede escribir de la siguiente manera:

y las ecuaciones matriciales explícitas en 3D son:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {\mathbf {x} }}&={\boldsymbol {\mathsf {L}}}\mathbf {x} \\{\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{2}\cdot \mathbf {e} _{3}\\{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{1}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{2}&{\bar {\mathbf {e} }}_{3}\cdot \mathbf {e} _{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{11}&\cos \theta _{12}&\cos \theta _{13}\\\cos \theta _{21}&\cos \theta _{22}&\cos \theta _{23}\\\cos \theta _{31}&\cos \theta _{32}&\cos \theta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

De manera similar para

$${\displaystyle \mathbf {x} ={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}{\bar {\mathbf {x} }}={\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{\textsf {T}}{\bar {\mathbf {x} }}}$$

La interpretación geométrica es que los componentes x _i son iguales a la suma de las proyecciones de los componentes x _j sobre los ejes x _{j .}

Los números e _i ⋅ e _j dispuestos en una matriz formarían una matriz simétrica (una matriz igual a su propia transpuesta) debido a la simetría en los productos escalares; de hecho, se trata del tensor métrico g . Por el contrario, e _i ⋅ e _j o e _i ⋅ e _j no forman matrices simétricas en general, como se muestra arriba. Por lo tanto, si bien las matrices L siguen siendo ortogonales, no son simétricas.

Aparte de una rotación alrededor de cualquier eje, en la que x _i y x _i para algún i coinciden, los ángulos no son los mismos que los ángulos de Euler , y por lo tanto las matrices L no son las mismas que las matrices de rotación .

El producto escalar y el producto vectorial aparecen con mucha frecuencia en aplicaciones del análisis vectorial a la física y la ingeniería; algunos ejemplos son:

• Potencia P transferida por un objeto que ejerce una fuerza F con velocidad v a lo largo de una trayectoria rectilínea: $${\displaystyle P=\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} }$$
• velocidad tangencial v en un punto x de un cuerpo rígido en rotación con velocidad angular ω : $${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }$$
• energía potencial U de un dipolo magnético de momento magnético m en un campo magnético externo uniforme B : $${\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }$$
• momento angular J para una partícula con vector de posición r y momento p : $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$
• par τ que actúa sobre un dipolo eléctrico de momento dipolar eléctrico p en un campo eléctrico externo uniforme E : $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {p} \times \mathbf {E} }$$
• Densidad de corriente superficial inducida j _S en un material magnético de magnetización M sobre una superficie con vector normal unitario n :$${\displaystyle \mathbf {j} _{\mathrm {S} }=\mathbf {M} \times \mathbf {n} }$$

A continuación se ilustra cómo se transforman estos productos bajo transformaciones ortogonales.

El producto escalar ⋅ de cada posible emparejamiento de los vectores base se deduce de que la base sea ortonormal. Para pares perpendiculares tenemos

$${\displaystyle {\begin{array}{llll}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}&=0\end{array}}}$$

mientras que para pares paralelos tenemos

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}=1.}$$

Sustituyendo las etiquetas cartesianas por notación de índice como se muestra arriba , estos resultados se pueden resumir de la siguiente manera:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$$

donde δ _ij son los componentes de la delta de Kronecker . La base cartesiana se puede utilizar para representar δ de esta manera.

Además, cada componente del tensor métrico g _ij con respecto a cualquier base es el producto escalar de un emparejamiento de vectores base:

$${\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}$$

Para la base cartesiana, los componentes dispuestos en una matriz son:

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}g_{\text{xx}}&g_{\text{xy}}&g_{\text{xz}}\\g_{\text{yx}}&g_{\text{yy}}&g_{\text{yz}}\\g_{\text{zx}}&g_{\text{zy}}&g_{\text{zz}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{y}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\cdot \mathbf {e} _{\text{z}}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$$

así son los más simples posibles para el tensor métrico, a saber, el δ :

$${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$

Esto no es cierto para las bases generales: las coordenadas ortogonales tienen métricas diagonales que contienen varios factores de escala (es decir, no necesariamente 1), mientras que las coordenadas curvilíneas generales también podrían tener entradas distintas de cero para los componentes fuera de la diagonal.

El producto escalar de dos vectores a y b se transforma según

$${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ={\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{j}=a_{i}{\mathsf {L}}_{ij}b_{k}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jk}=a_{i}\delta _{i}{}_{k}b_{k}=a_{i}b_{i}}$$

Esto resulta intuitivo, ya que el producto escalar de dos vectores es un único escalar independiente de cualquier coordenada. Además, se aplica de forma más general a cualquier sistema de coordenadas, no solo a los rectangulares; el producto escalar en un sistema de coordenadas es el mismo en cualquier otro.

Permutaciones cíclicas de valores de índice y volumen cúbico orientado positivamente.

Permutaciones anticíclicas de valores de índice y volumen cúbico orientado negativamente.

Valores distintos de cero del símbolo de Levi-Civita ε _ijk como el volumen e _i ⋅ e _j × e _k de un cubo generado por la base ortonormal 3d.

Para el producto vectorial ( × ) de dos vectores, los resultados son (casi) opuestos. De nuevo, suponiendo un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales diestro, las permutaciones cíclicas en direcciones perpendiculares producen el siguiente vector en la colección cíclica de vectores:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=\mathbf {e} _{\text{y}}\\[1ex]\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}&=-\mathbf {e} _{\text{z}}&\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}&=-\mathbf {e} _{\text{x}}&\mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}&=-\mathbf {e} _{\text{y}}\end{aligned}}}$$

mientras que los vectores paralelos claramente desaparecen:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{\text{x}}\times \mathbf {e} _{\text{x}}=\mathbf {e} _{\text{y}}\times \mathbf {e} _{\text{y}}=\mathbf {e} _{\text{z}}\times \mathbf {e} _{\text{z}}={\boldsymbol {0}}}$$

y reemplazando las etiquetas cartesianas por notación de índice como se indicó anteriormente , estas se pueden resumir de la siguiente manera:

$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}={\begin{cases}+\mathbf {e} _{k}&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-\mathbf {e} _{k}&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]{\boldsymbol {0}}&i=j\end{cases}}}$$

donde i , j , k son índices que toman los valores 1, 2, 3. De ello se deduce que:

$${\displaystyle {\mathbf {e} _{k}\cdot \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{j}}={\begin{cases}+1&{\text{cyclic permutations: }}(i,j,k)=(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\\[2pt]-1&{\text{anticyclic permutations: }}(i,j,k)=(2,1,3),(3,2,1),(1,3,2)\\[2pt]0&i=j{\text{ or }}j=k{\text{ or }}k=i\end{cases}}}$$

Estas relaciones de permutación y sus valores correspondientes son importantes, y existe un objeto que coincide con esta propiedad: el símbolo de Levi-Civita , denotado por ε . Las entradas del símbolo de Levi-Civita pueden representarse mediante la base cartesiana:

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}\times \mathbf {e} _{k}}$$

que corresponde geométricamente al volumen de un cubo generado por los vectores base ortonormales, con signo que indica la orientación (y no un "volumen positivo o negativo"). Aquí, la orientación se fija mediante ε ₁₂₃ = +1 , para un sistema diestro. Un sistema zurdo fijaría ε ₁₂₃ = −1 o, equivalentemente, ε ₃₂₁ = +1 .

El producto triple escalar ahora se puede escribir:

$${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} =c_{i}\mathbf {e} _{i}\cdot a_{j}\mathbf {e} _{j}\times b_{k}\mathbf {e} _{k}=\varepsilon _{ijk}c_{i}a_{j}b_{k}}$$

con la interpretación geométrica del volumen (del paralelepípedo formado por a , b , c ) y algebraicamente es un determinante : ^{[ 3 ] : 23}

$${\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}c_{\text{x}}&a_{\text{x}}&b_{\text{x}}\\c_{\text{y}}&a_{\text{y}}&b_{\text{y}}\\c_{\text{z}}&a_{\text{z}}&b_{\text{z}}\end{vmatrix}}}$$

Esto, a su vez, puede utilizarse para reescribir el producto vectorial de dos vectores de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}={\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {a} \times \mathbf {b} }&=\varepsilon _{\ell jk}{(\mathbf {e} _{i})}_{\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{\ell jk}\delta _{i\ell }a_{j}b_{k}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\\\Rightarrow \quad {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }=(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{i}\mathbf {e} _{i}&=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}\mathbf {e} _{i}\end{aligned}}}$$

Contrariamente a lo que aparenta, el símbolo de Levi-Civita no es un tensor , sino un pseudotensor ; sus componentes se transforman según:

$${\displaystyle {\bar {\varepsilon }}_{pqr}=\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\varepsilon _{ijk}{\mathsf {L}}_{ip}{\mathsf {L}}_{jq}{\mathsf {L}}_{kr}\,.}$$

Por lo tanto, la transformación del producto vectorial de a y b es: $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\bar {\mathbf {a} }}\times {\bar {\mathbf {b} }}\right)_{i}\\[1ex]{}={}&{\bar {\varepsilon }}_{ijk}{\bar {a}}_{j}{\bar {b}}_{k}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}{\mathsf {L}}_{qj}{\mathsf {L}}_{rk}\;\;a_{m}{\mathsf {L}}_{mj}\;\;b_{n}{\mathsf {L}}_{nk}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;{\mathsf {L}}_{qj}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jm}\;\;{\mathsf {L}}_{rk}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{kn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;\varepsilon _{pqr}\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\delta _{qm}\;\;\delta _{rn}\;\;a_{m}\;\;b_{n}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;{\mathsf {L}}_{pi}\;\;\varepsilon _{pqr}a_{q}b_{r}\\[1ex]{}={}&\det({\boldsymbol {\mathsf {L}}})\;\;(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )_{p}{\mathsf {L}}_{pi}\end{aligned}}}$$

y así a × b se transforma como un pseudovector , debido al factor determinante.

La notación de índices tensoriales se aplica a cualquier objeto que contenga entidades que formen matrices multidimensionales ; no todo lo que tiene índices es un tensor por defecto. En cambio, los tensores se definen por cómo cambian sus coordenadas y elementos base al transformarlos de un sistema de coordenadas a otro.

Nótese que el producto vectorial de dos vectores es un pseudovector, mientras que el producto vectorial de un pseudovector con un vector es otro vector.

Se pueden formar otras identidades a partir del tensor δ y el pseudotensor ε ; una identidad notable y muy útil es aquella que convierte dos símbolos de Levi-Civita contraídos adyacentemente sobre dos índices en una combinación antisimetrizada de deltas de Kronecker:

$${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{pqk}=\delta _{ip}\delta _{jq}-\delta _{iq}\delta _{jp}}$$

Las formas indexadas de los productos escalar y vectorial, junto con esta identidad, facilitan enormemente la manipulación y derivación de otras identidades en cálculo vectorial y álgebra, las cuales, a su vez, se utilizan ampliamente en física e ingeniería. Por ejemplo, es evidente que los productos escalar y vectorial son distributivos respecto de la suma de vectores:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=a_{i}(b_{i}+c_{i})=a_{i}b_{i}+a_{i}c_{i}=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\[1ex]\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )&=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}(b_{k}+c_{k})=\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}+\mathbf {e} _{i}\varepsilon _{ijk}a_{j}c_{k}=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c} \end{aligned}}}$$

Sin recurrir a construcciones geométricas, la derivación en cada caso es una simple línea de álgebra. Aunque el procedimiento es menos obvio, también se puede derivar el producto triple vectorial. Reescribiendo en notación de índices:

$${\displaystyle \left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{k\ell m}b_{\ell }c_{m})=(\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{k\ell m})a_{j}b_{\ell }c_{m}}$$

y debido a que las permutaciones cíclicas de índices en el símbolo ε no cambian su valor, permutar cíclicamente los índices en ε _kℓm para obtener ε _ℓmk nos permite usar la identidad δ - ε anterior para convertir los símbolos ε en tensores δ :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right]_{i}{}={}&\left(\delta _{i\ell }\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{j\ell }\right)a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&\delta _{i\ell }\delta _{jm}a_{j}b_{\ell }c_{m}-\delta _{im}\delta _{j\ell }a_{j}b_{\ell }c_{m}\\{}={}&a_{j}b_{i}c_{j}-a_{j}b_{j}c_{i}\\{}={}&\left[(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} \right]_{i}\end{aligned}}}$$

así:

$${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }$$

Nótese que esto es antisimétrico en b y c , como se esperaba del lado izquierdo. De manera similar, mediante la notación de índices o incluso simplemente reetiquetando cíclicamente a , b y c en el resultado anterior y tomando el negativo:

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} }$$

y la diferencia en los resultados muestra que el producto cruzado no es asociativo. Identidades más complejas, como productos cuádruples;

$${\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} ),\quad \ldots }$$

y así sucesivamente, se pueden derivar de manera similar.

Los tensores se definen como cantidades que se transforman de cierta manera bajo transformaciones lineales de coordenadas.

Sean a = a _i e _i y b = b _i e _i dos vectores, de modo que se transformen según a _j = a _i L _ij , b _j = b _i L _ij .

Al tomar el producto tensorial se obtiene:

$${\displaystyle \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} =a_{i}\mathbf {e} _{i}\otimes b_{j}\mathbf {e} _{j}=a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$

luego aplicando la transformación a los componentes

$${\displaystyle {\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}=a_{i}{\mathsf {L}}_{i}{}_{p}b_{j}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}a_{i}b_{j}}$$

y a las bases

$${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\mathsf {L}}_{ip}^{-1}{\mathsf {L}}_{jq}^{-1}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$$

proporciona la ley de transformación de un tensor de orden 2. El tensor a ⊗ b es invariante bajo esta transformación:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {a}}_{p}{\bar {b}}_{q}{\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}{\mathsf {L}}_{\ell q}a_{k}b_{\ell }\,\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&{\mathsf {L}}_{kp}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{pi}{\mathsf {L}}_{\ell q}\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{qj}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&\delta _{k}{}_{i}\delta _{\ell j}\,a_{k}b_{\ell }\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\\[1ex]{}={}&a_{i}b_{j}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$$

De forma más general, para cualquier tensor de orden 2

$${\displaystyle \mathbf {R} =R_{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\,,}$$

Los componentes se transforman según;

$${\displaystyle {\bar {R}}_{pq}={\mathsf {L}}_{i}{}_{p}{\mathsf {L}}_{j}{}_{q}R_{ij},}$$

y la base se transforma de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\bar {\mathbf {e} }}_{p}\otimes {\bar {\mathbf {e} }}_{q}=\left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{ip}\mathbf {e} _{i}\otimes \left({\boldsymbol {\mathsf {L}}}^{-1}\right)_{jq}\mathbf {e} _{j}}$$