Mapa multilineal

En álgebra lineal , una aplicación multilineal es una función de varias variables que es lineal por separado en cada variable. Más precisamente, una aplicación multilineal es una función

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

dónde${\displaystyle V_{1},\ldots,V_{n}}$(${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}}$) y${\displaystyle W}$son espacios vectoriales (o módulos sobre un anillo conmutativo ), con la siguiente propiedad: para cada${\displaystyle i}$, si todas las variables excepto${\displaystyle v_{i}}$se mantienen constantes, entonces${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$es una función lineal de${\displaystyle v_{i}}$. ^{[ 1 ]} Una forma de visualizar esto es imaginar dos vectores ortogonales ; si uno de estos vectores se escala por un factor de 2 mientras que el otro permanece sin cambios, el producto vectorial también se escala por un factor de dos. Si ambos se escalan por un factor de 2, el producto vectorial se escala por un factor de${\displaystyle 2^{2}}$.

Una aplicación multilineal de una variable es una aplicación lineal , y de dos variables es una aplicación bilineal . De forma más general, para cualquier entero no negativo${\displaystyle k}$Una aplicación multilineal de k variables se denomina aplicación k -lineal . Si el codominio de una aplicación multilineal es el cuerpo de los escalares , se denomina forma multilineal . Las aplicaciones multilineales y las formas multilineales son objetos de estudio fundamentales en el álgebra multilineal .

Si todas las variables pertenecen al mismo espacio, se pueden considerar aplicaciones k -lineales simétricas , antisimétricas y alternantes . Las dos últimas coinciden si el anillo (o cuerpo ) subyacente tiene una característica distinta de dos; de lo contrario, las dos primeras coinciden.

• Cualquier aplicación bilineal es una aplicación multilineal. Por ejemplo, cualquier producto interno en una${\displaystyle \mathbb {R} }$-el espacio vectorial es una aplicación multilineal, al igual que el producto vectorial de vectores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• El determinante de una matriz cuadrada es una función multilineal de las columnas (o filas); también es una función alternada de las columnas (o filas).
• Si${\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$es una función C ^k , entonces la${\displaystyle k}$derivada de${\displaystyle F}$en cada punto${\displaystyle p}$En su dominio puede considerarse como una simetría${\displaystyle k}$-función lineal${\displaystyle D^{k}\!F\colon \mathbb {R} ^{m}\times \cdots \times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$.

Dejar

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

sea ​​una aplicación multilineal entre espacios vectoriales de dimensión finita , donde${\displaystyle V_{i}\!}$tiene dimensión${\displaystyle d_{i}\!}$, y${\displaystyle W\!}$tiene dimensión${\displaystyle d\!}$Si elegimos una base${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}}$para cada${\displaystyle V_{i}\!}$y una base${\displaystyle \{{\textbf {b}}_{1},\ldots ,{\textbf {b}}_{d}\}}$para${\displaystyle W\!}$(usando negrita para los vectores), entonces podemos definir una colección de escalares${\displaystyle A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}}$por

${\displaystyle f({\textbf {e}}_{1j_{1}},\ldots ,{\textbf {e}}_{nj_{n}})=A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{1}\,{\textbf {b}}_{1}+\cdots +A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{d}\,{\textbf {b}}_{d}.}$

Luego los escalares${\displaystyle \{A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}\mid 1\leq j_{i}\leq d_{i},1\leq k\leq d\}}$determinar completamente la función multilineal${\displaystyle f\!}$. En particular, si

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{d_{i}}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}\!}$

para${\displaystyle 1\leq i\leq n\!}$, entonces

${\displaystyle f({\textbf {v}}_{1},\ldots ,{\textbf {v}}_{n})=\sum _{j_{1}=1}^{d_{1}}\cdots \sum _{j_{n}=1}^{d_{n}}\sum _{k=1}^{d}A_{j_{1}\cdots j_{n}}^{k}v_{1j_{1}}\cdots v_{nj_{n}}{\textbf {b}}_{k}.}$

Consideremos una función trilineal.

${\displaystyle g\colon R^{2}\times R^{2}\times R^{2}\to R,}$

donde V _i = R ² , d _i = 2, i = 1,2,3 , y W = R , d = 1 .

Una base para cada V _i es${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{i1},\ldots ,{\textbf {e}}_{id_{i}}\}=\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\}=\{(1,0),(0,1)\}.}$Dejar

${\displaystyle g({\textbf {e}}_{1i},{\textbf {e}}_{2j},{\textbf {e}}_{3k})=f({\textbf {e}}_{i},{\textbf {e}}_{j},{\textbf {e}}_{k})=A_{ijk},}$

dónde${\displaystyle i,j,k\in \{1,2\}}$En otras palabras, la constante${\displaystyle A_{ijk}}$es un valor de función en una de las ocho posibles ternas de vectores base (ya que hay dos opciones para cada una de las tres).${\displaystyle V_{i}}$), a saber:

${\displaystyle \{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1}\},\{{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}\}.}$

Cada vector${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in V_{i}=R^{2}}$puede expresarse como una combinación lineal de los vectores base

${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}=\sum _{j=1}^{2}v_{ij}{\textbf {e}}_{ij}=v_{i1}\times {\textbf {e}}_{1}+v_{i2}\times {\textbf {e}}_{2}=v_{i1}\times (1,0)+v_{i2}\times (0,1).}$

El valor de la función en una colección arbitraria de tres vectores${\displaystyle {\textbf {v}}_{i}\in R^{2}}$puede expresarse como

${\displaystyle g({\textbf {v}}_{1},{\textbf {v}}_{2},{\textbf {v}}_{3})=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}\sum _{k=1}^{2}A_{ijk}v_{1i}v_{2j}v_{3k},}$

o en forma ampliada como

${\displaystyle {\begin{aligned}g((a,b),(c,d)&,(e,f))=ace\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+acf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+ade\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+adf\times g({\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2})+bce\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{1})+bcf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1},{\textbf {e}}_{2})\\&+bde\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{1})+bdf\times g({\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2},{\textbf {e}}_{2}).\end{aligned}}}$

Existe una correspondencia natural uno a uno entre mapas multilineales.

${\displaystyle f\colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\to W{\text{,}}}$

y mapas lineales

${\displaystyle F\colon V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\to W{\text{,}}}$

dónde${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}\!}$denota el producto tensorial de${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$La relación entre las funciones${\displaystyle f}$y${\displaystyle F}$viene dado por la fórmula

${\displaystyle f(v_{1},\ldots ,v_{n})=F(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}).}$

Se pueden considerar funciones multilineales, sobre una matriz n × n sobre un anillo conmutativo K con identidad, como una función de las filas (o equivalentemente las columnas) de la matriz. Sea A dicha matriz y a _i , 1 ≤ i ≤ n , las filas de A . Entonces la función multilineal D se puede escribir como

${\displaystyle D(A)=D(a_{1},\ldots ,a_{n}),}$

satisfactorio

${\displaystyle D(a_{1},\ldots ,ca_{i}+a_{i}',\ldots ,a_{n})=cD(a_{1},\ldots ,a_{i},\ldots ,a_{n})+D(a_{1},\ldots ,a_{i}',\ldots ,a_{n}).}$

Si dejamos${\displaystyle {\hat {e}}_{j}}$representamos la j -ésima fila de la matriz identidad , podemos expresar cada fila a _i como la suma

${\displaystyle a_{i}=\sum _{j=1}^{n}A(i,j){\hat {e}}_{j}.}$

Utilizando la multilinealidad de D, reescribimos D ( A ) como

${\displaystyle D(A)=D\left(\sum _{j=1}^{n}A(1,j){\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}\right)=\sum _{j=1}^{n}A(1,j)D({\hat {e}}_{j},a_{2},\ldots ,a_{n}).}$

Continuando esta sustitución para cada a _i obtenemos, para 1 ≤ i ≤ n ,

${\displaystyle D(A)=\sum _{1\leq k_{1}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{i}\leq n}\ldots \sum _{1\leq k_{n}\leq n}A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n})D({\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}).}$

Por lo tanto, D ( A ) está determinado de forma única por cómo D opera en${\displaystyle {\hat {e}}_{k_{1}},\dots ,{\hat {e}}_{k_{n}}}$.

En el caso de matrices de 2 × 2, obtenemos

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{1,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})+A_{1,1}A_{2,2}D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})+A_{1,2}A_{2,1}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})+A_{1,2}A_{2,2}D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2}),\,}$

dónde${\displaystyle {\hat {e}}_{1}=[1,0]}$y${\displaystyle {\hat {e}}_{2}=[0,1]}$Si restringimos${\displaystyle D}$para ser una función alterna, entonces${\displaystyle D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{1})=D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{2})=0}$y${\displaystyle D({\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{1})=-D({\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2})=-D(I)}$Alquiler${\displaystyle D(I)=1}$, obtenemos la función determinante en matrices de 2 × 2:

${\displaystyle D(A)=A_{1,1}A_{2,2}-A_{1,2}A_{2,1}.}$

• Una función multilineal tiene un valor de cero siempre que uno de sus argumentos sea cero.

• Forma algebraica
• Forma multilineal
• Polinomio homogéneo
• Función homogénea
• tensores