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Análisis numérico

Tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800–1600 a. C.) con anotaciones. La aproximación de la raíz cuadrada de 2 es de cuatro cifras sexagesimales , que son aproximadament...

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Tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 (c. 1800–1600 a. C.) con anotaciones. La aproximación de la raíz cuadrada de 2 es de cuatro cifras sexagesimales , que son aproximadamente seis cifras decimales . 1 + 24/60 + 51/60 2 + 10/60 3 = 1,41421296... [ 1 ]

El análisis numérico es el estudio de algoritmos para problemas de matemáticas continuas . [ 2 ] Estos algoritmos involucran variables reales o complejas (a diferencia de las matemáticas discretas ) y, por lo general, utilizan aproximación numérica además de manipulación simbólica .

El análisis numérico encuentra aplicación en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, y en el siglo XXI también en las ciencias biológicas y sociales como la economía, la medicina, los negocios e incluso las artes. El crecimiento actual de la capacidad de computación ha permitido el uso de análisis numéricos más complejos, proporcionando modelos matemáticos detallados y realistas en ciencia e ingeniería. Algunos ejemplos de análisis numérico incluyen: ecuaciones diferenciales ordinarias como las que se encuentran en la mecánica celeste (que predicen los movimientos de planetas, estrellas y galaxias), álgebra lineal numérica en el análisis de datos, [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] y ecuaciones diferenciales estocásticas y cadenas de Markov para simular células vivas en medicina y biología.

Antes de la llegada de las computadoras modernas, los métodos numéricos a menudo se basaban en fórmulas de interpolación manual , utilizando datos de grandes tablas impresas. Desde mediados del siglo XX, las computadoras calculan las funciones necesarias, pero muchas de las mismas fórmulas se siguen utilizando en algoritmos de software. [ 6 ]

El punto de vista numérico se remonta a los primeros escritos matemáticos. Una tablilla de la Colección Babilónica de Yale ( YBC 7289 ) proporciona una aproximación numérica sexagesimal de la raíz cuadrada de 2 , la longitud de la diagonal en un cuadrado unitario .

El análisis numérico continúa esta larga tradición: en lugar de proporcionar respuestas simbólicas exactas traducidas a dígitos y aplicables únicamente a mediciones del mundo real, se utilizan soluciones aproximadas dentro de límites de error especificados.

Aplicaciones

El objetivo general del campo del análisis numérico es el diseño y análisis de técnicas para proporcionar soluciones aproximadas pero precisas a una amplia variedad de problemas difíciles, muchos de los cuales son inviables de resolver simbólicamente:

  • Los métodos numéricos avanzados son esenciales para que la predicción numérica del tiempo sea factible.
  • El cálculo de la trayectoria de una nave espacial requiere la solución numérica precisa de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.
  • Las compañías automovilísticas pueden mejorar la seguridad de sus vehículos en caso de colisión mediante simulaciones informáticas de accidentes de tráfico. Dichas simulaciones consisten esencialmente en resolver numéricamente ecuaciones diferenciales parciales .
  • En el ámbito financiero, los fondos de inversión privados y otras instituciones financieras utilizan herramientas de finanzas cuantitativas, como el análisis numérico, para intentar calcular el valor de las acciones y los derivados con mayor precisión que otros participantes del mercado. [ 7 ]
  • Las aerolíneas utilizan sofisticados algoritmos de optimización para decidir los precios de los billetes, la asignación de aviones y tripulaciones, y las necesidades de combustible. Históricamente, estos algoritmos se desarrollaron dentro del campo afín de la investigación operativa .
  • Las compañías de seguros utilizan programas numéricos para el análisis actuarial .

Historia

El campo del análisis numérico es anterior a la invención de las computadoras modernas por muchos siglos. La interpolación lineal ya se utilizaba hace más de 2000 años. Muchos grandes matemáticos del pasado se dedicaron al análisis numérico, [ 6 ] como se desprende de los nombres de algoritmos importantes como el método de Newton , el polinomio de interpolación de Lagrange , la eliminación gaussiana o el método de Euler . Los orígenes del análisis numérico moderno suelen vincularse a un artículo de 1947 de John von Neumann y Herman Goldstine , [ 8 ] [ 9 ] pero otros consideran que el análisis numérico moderno se remonta al trabajo de E. T. Whittaker en 1912. [ 8 ]

publicación del NIST

Para facilitar los cálculos manuales, se elaboraron extensos libros con fórmulas y tablas de datos, como puntos de interpolación y coeficientes de funciones. Utilizando estas tablas, a menudo con hasta 16 decimales o más para algunas funciones, se podían consultar valores para introducirlos en las fórmulas proporcionadas y obtener estimaciones numéricas muy precisas de algunas funciones. La obra de referencia en este campo es la publicación del NIST editada por Abramowitz y Stegun , un libro de más de 1000 páginas con una gran cantidad de fórmulas y funciones de uso común y sus valores en numerosos puntos. Si bien los valores de las funciones ya no son muy útiles cuando se dispone de un ordenador, la extensa lista de fórmulas sigue siendo muy práctica.

La calculadora mecánica también se desarrolló como herramienta para el cálculo manual. Estas calculadoras evolucionaron hasta convertirse en computadoras electrónicas en la década de 1940, y se descubrió entonces que estas computadoras también eran útiles para fines administrativos. Pero la invención de la computadora también influyó en el campo del análisis numérico, [ 6 ] ya que ahora se podían realizar cálculos más largos y complejos.

El Premio Leslie Fox de Análisis Numérico fue creado en 1985 por el Instituto de Matemáticas y sus Aplicaciones .

Conceptos clave

Métodos directos e iterativos

Los métodos directos calculan la solución de un problema en un número finito de pasos. Estos métodos proporcionarían la respuesta precisa si se realizaran con aritmética de precisión infinita . Algunos ejemplos son la eliminación gaussiana , el método de factorización QR para resolver sistemas de ecuaciones lineales y el método simplex de programación lineal . En la práctica, se utiliza precisión finita y el resultado es una aproximación de la solución verdadera (suponiendo estabilidad ).

A diferencia de los métodos directos, no se espera que los métodos iterativos terminen en un número finito de pasos, incluso si fuera posible una precisión infinita. Partiendo de una estimación inicial, los métodos iterativos forman aproximaciones sucesivas que convergen a la solución exacta solo en el límite. Se especifica una prueba de convergencia, que a menudo involucra el residuo , para decidir cuándo se ha encontrado (con suerte) una solución suficientemente precisa. Incluso utilizando aritmética de precisión infinita, estos métodos no alcanzarían la solución en un número finito de pasos (en general). Algunos ejemplos incluyen el método de Newton, el método de bisección y la iteración de Jacobi . En álgebra matricial computacional, los métodos iterativos son generalmente necesarios para problemas grandes. [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

En el análisis numérico, los métodos iterativos son más comunes que los métodos directos. Algunos métodos son directos en principio, pero suelen utilizarse como si no lo fueran, por ejemplo, GMRES y el método del gradiente conjugado . Para estos métodos, el número de pasos necesarios para obtener la solución exacta es tan grande que se acepta una aproximación, al igual que en un método iterativo.

Como ejemplo, consideremos el problema de resolver

3 x 3 + 4 = 28

para la cantidad desconocida x .

Para el método iterativo, aplique el método de bisección a f ( x ) = 3 x 3 − 24. Los valores iniciales son a = 0, b = 3, f ( a ) = − 24, f ( b ) = 57.

De esta tabla se puede concluir que la solución se encuentra entre 1,875 y 2,0625. El algoritmo podría devolver cualquier número dentro de ese rango con un error menor a 0,2.

Acondicionamiento

Problema mal condicionado: Consideremos la función f ( x ) = 1/( x − 1)   . Nótese que f (1.1) = 10 y f (1.001) = 1000: un cambio en x menor que 0.1 se traduce en un cambio en f ( x ) de casi 1000. Evaluar f ( x ) cerca de x = 1 es un problema mal condicionado.

Problema bien condicionado: Por el contrario, evaluar la misma función f ( x ) = 1/( x − 1)   cerca de x = 10 es un problema bien condicionado. Por ejemplo, f (10) = 1/9 ≈ 0,111 y f (11) = 0,1: un cambio modesto en x conduce a un cambio modesto en f ( x ).

Discretización

Además, los problemas continuos a veces deben reemplazarse por un problema discreto cuya solución se sabe que se aproxima a la del problema continuo; este proceso se llama " discretización ". Por ejemplo, la solución de una ecuación diferencial es una función . Esta función debe representarse mediante una cantidad finita de datos, por ejemplo, mediante su valor en un número finito de puntos en su dominio, aunque este dominio sea un continuo .

Generación y propagación de errores

El estudio de los errores constituye una parte importante del análisis numérico. Existen diversas maneras en que se puede introducir un error en la solución de un problema.

Redondeo

Los errores de redondeo surgen porque es imposible representar todos los números reales con exactitud en una máquina con memoria finita (que es lo que son todos los ordenadores digitales prácticos ).

Error de truncamiento y discretización

Los errores de truncamiento se cometen cuando se termina un método iterativo o se aproxima un procedimiento matemático y la solución aproximada difiere de la solución exacta. De manera similar, la discretización induce un error de discretización porque la solución del problema discreto no coincide con la solución del problema continuo. En el ejemplo anterior, para calcular la solución de3incógnita3+4=28{\displaystyle 3x^{3}+4=28}Después de diez iteraciones, la raíz calculada es aproximadamente 1,99. Por lo tanto, el error de truncamiento es aproximadamente 0,01.

Una vez que se genera un error, este se propaga a través del cálculo. Por ejemplo, la operación + en una computadora es inexacta. Un cálculo del tipo ⁠a+b+do+d+mi{\displaystyle a+b+c+d+e}es aún más inexacto .

Se produce un error de truncamiento al aproximar un procedimiento matemático. Para integrar una función con exactitud, se debe hallar una suma infinita de regiones, pero numéricamente solo se puede hallar una suma finita de regiones, lo que da lugar a la aproximación de la solución exacta. De forma similar, para derivar una función, el elemento diferencial tiende a cero, pero numéricamente solo se puede elegir un valor distinto de cero para dicho elemento.

Estabilidad numérica y problemas bien planteados

Un algoritmo se denomina numéricamente estable si un error, cualquiera que sea su causa, no aumenta significativamente durante el cálculo. [ 14 ] Esto ocurre si el problema está bien condicionado , lo que significa que la solución cambia solo ligeramente si los datos del problema cambian ligeramente. [ 14 ] Por el contrario, si un problema está mal condicionado, cualquier pequeño error en los datos se convertirá en un error grande. [ 14 ] Tanto el problema original como el algoritmo utilizado para resolverlo pueden estar bien condicionados o mal condicionados, y cualquier combinación es posible. Por lo tanto, un algoritmo que resuelve un problema bien condicionado puede ser numéricamente estable o numéricamente inestable. Una parte del análisis numérico consiste en encontrar un algoritmo estable para resolver un problema matemático bien planteado.

Áreas de estudio

El campo del análisis numérico incluye muchas subdisciplinas. Algunas de las principales son:

Cálculo de valores de funciones

Uno de los problemas más sencillos es la evaluación de una función en un punto dado. El método más directo, que consiste simplemente en sustituir el número en la fórmula, a veces no es muy eficiente. Para los polinomios, un método mejor es utilizar el esquema de Horner , ya que reduce el número de multiplicaciones y sumas necesarias. En general, es importante estimar y controlar los errores de redondeo derivados del uso de la aritmética de punto flotante .

Interpolación, extrapolación y regresión

La interpolación resuelve el siguiente problema: dado el valor de una función desconocida en varios puntos, ¿qué valor tiene esa función en algún otro punto entre los puntos dados?

La extrapolación es muy similar a la interpolación, excepto que ahora se debe encontrar el valor de la función desconocida en un punto que está fuera de los puntos dados. [ 15 ]

La regresión es similar, pero tiene en cuenta que los datos son imprecisos. Dados algunos puntos y la medición del valor de una función en esos puntos (con un margen de error), se puede hallar la función desconocida. El método de mínimos cuadrados es una forma de lograrlo.

Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Otro problema fundamental es calcular la solución de una ecuación dada. Comúnmente se distinguen dos casos, dependiendo de si la ecuación es lineal o no. Por ejemplo, la ecuación2incógnita+5=3{\displaystyle 2x+5=3}es lineal mientras2incógnita2+5=3{\displaystyle 2x^{2}+5=3}no lo es.

Se ha dedicado mucho esfuerzo al desarrollo de métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales . Los métodos directos estándar, es decir, los métodos que utilizan alguna descomposición matricial , son la eliminación gaussiana , la descomposición LU , la descomposición de Cholesky para matrices simétricas (o hermíticas ) y definidas positivas , y la descomposición QR para matrices no cuadradas. Los métodos iterativos como el método de Jacobi , el método de Gauss-Seidel , la sobre-relajación sucesiva y el método del gradiente conjugado [ 16 ] suelen preferirse para sistemas grandes. Los métodos iterativos generales pueden desarrollarse utilizando una división matricial .

Los algoritmos de búsqueda de raíces se utilizan para resolver ecuaciones no lineales (se denominan así porque una raíz de una función es un argumento para el cual la función es cero). Si la función es diferenciable y se conoce la derivada, el método de Newton es una opción popular. [ 17 ] [ 18 ] La linealización es otra técnica para resolver ecuaciones no lineales.

Resolución de problemas de valores propios o de valores singulares

Varios problemas importantes pueden formularse en términos de descomposiciones de valores propios o descomposiciones de valores singulares . Por ejemplo, el algoritmo de compresión de imágenes espectrales [ 19 ] se basa en la descomposición de valores singulares. La herramienta correspondiente en estadística se denomina análisis de componentes principales .

Mejoramiento

Los problemas de optimización buscan el punto en el que una función dada se maximiza (o minimiza). A menudo, ese punto también debe satisfacer ciertas restricciones .

El campo de la optimización se divide a su vez en varios subcampos, según la forma de la función objetivo y las restricciones. Por ejemplo, la programación lineal se ocupa del caso en que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales. Un método famoso en programación lineal es el método simplex .

El método de los multiplicadores de Lagrange puede utilizarse para reducir problemas de optimización con restricciones a problemas de optimización sin restricciones.

Evaluación de integrales

La integración numérica, en algunos casos también conocida como cuadratura numérica , pide el valor de una integral definida . [ 20 ] Los métodos populares utilizan una de las fórmulas de Newton-Cotes (como la regla del punto medio o la regla de Simpson ) o la cuadratura gaussiana . [ 21 ] Estos métodos se basan en una estrategia de "divide y vencerás", en la que una integral en un conjunto relativamente grande se divide en integrales en conjuntos más pequeños. En dimensiones más altas, donde estos métodos se vuelven prohibitivamente costosos en términos de esfuerzo computacional, se pueden utilizar métodos de Monte Carlo o cuasi-Monte Carlo (véase integración de Monte Carlo [ 22 ] ), o, en dimensiones moderadamente grandes, el método de mallas dispersas .

Ecuaciones diferenciales

El análisis numérico también se ocupa de calcular (de forma aproximada) la solución de ecuaciones diferenciales , tanto ecuaciones diferenciales ordinarias como ecuaciones diferenciales parciales . [ 23 ]

Las ecuaciones diferenciales parciales se resuelven discretizando primero la ecuación, llevándola a un subespacio de dimensión finita. [ 24 ] Esto se puede hacer mediante un método de elementos finitos , [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] un método de diferencias finitas , [ 28 ] o (particularmente en ingeniería) un método de volúmenes finitos . [ 29 ] La justificación teórica de estos métodos a menudo involucra teoremas del análisis funcional . Esto reduce el problema a la solución de una ecuación algebraica.

Software

Desde finales del siglo XX, la mayoría de los algoritmos se implementan en diversos lenguajes de programación. El repositorio Netlib contiene varias colecciones de rutinas de software para problemas numéricos, principalmente en Fortran y C. Entre los productos comerciales que implementan muchos algoritmos numéricos diferentes se encuentran las bibliotecas IMSL y NAG ; una alternativa de software libre es la Biblioteca Científica GNU .

A lo largo de los años, la Royal Statistical Society publicó numerosos algoritmos en su revista Applied Statistics (el código para estas funciones "AS" está aquí ); la ACM hizo lo mismo en su revista Transactions on Mathematical Software (el código "TOMS" está aquí ). El Naval Surface Warfare Center publicó en varias ocasiones su Library of Mathematics Subroutines (el código está aquí ).

Hay varias aplicaciones populares de computación numérica como MATLAB , [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] TK Solver , S-PLUS e IDL [ 33 ] así como alternativas gratuitas y de código abierto como FreeMat , Scilab , [ 34 ] [ 35 ] GNU Octave (similar a Matlab) e IT++ (una biblioteca de C++). También hay lenguajes de programación como R [ 36 ] (similar a S-PLUS), Julia [ 37 ] y Python con bibliotecas como NumPy , SciPy [ 38 ] [ 39 ] [ 40 ] y SymPy . El rendimiento varía ampliamente: mientras que las operaciones con vectores y matrices suelen ser rápidas, los bucles escalares pueden variar en velocidad en más de un orden de magnitud . [ 41 ] [ 42 ]

Muchos sistemas de álgebra computacional, como Mathematica, también se benefician de la disponibilidad de aritmética de precisión arbitraria , que puede proporcionar resultados más exactos. [ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ]

Además, cualquier programa de hoja de cálculo puede utilizarse para resolver problemas sencillos relacionados con el análisis numérico. Excel , por ejemplo, cuenta con cientos de funciones disponibles , incluidas las de matrices, que pueden utilizarse junto con su herramienta integrada de resolución de problemas .

Véase también

Notas

Referencias

Citas

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