Función W de Lambert

En matemáticas , la función W de Lambert , también llamada función omega o producto logarítmico , ^[1] es una función multivaluada , es decir, las ramas de la relación inversa de la función f ( w ) = we ^w , donde w es cualquier número complejo y e ^w es la función exponencial . La función recibe su nombre de Johann Lambert , quien consideró un problema relacionado en 1758. Basándose en el trabajo de Lambert, Leonhard Euler describió la función W per se en 1783.

Para cada entero k hay una rama, denotada por W _k ( z ) , que es una función de valor complejo de un argumento complejo. W ₀ se conoce como la rama principal . Estas funciones tienen la siguiente propiedad: si z y w son números complejos cualesquiera, entonces

${\displaystyle we^{w}=z}$

se cumple si y sólo si

${\displaystyle w=W_{k}(z)\ \ {\text{ for some integer }}k.}$

Cuando se trata sólo de números reales, las dos ramas W ₀ y W ₋₁ son suficientes: para los números reales x e y la ecuación

${\displaystyle ye^{y}=x}$

se puede resolver para y solo si x ≥ − ⁠1/mi⁠ ; produce y = W ₀ ( x ) si x ≥ 0 y los dos valores y = W ₀ ( x ) y y = W ₋₁ ( x ) si − ⁠1/mi⁠ ≤ x < 0 .

Las ramas de la función W de Lambert no se pueden expresar en términos de funciones elementales . ^[2] Es útil en combinatoria , por ejemplo, en la enumeración de árboles . Se puede utilizar para resolver varias ecuaciones que involucran exponenciales (por ejemplo, los máximos de las distribuciones de Planck , Bose–Einstein y Fermi–Dirac ) y también ocurre en la solución de ecuaciones diferenciales de retardo , como y ′( t ) = a y ( t − 1) . En bioquímica , y en particular en cinética enzimática , se describe una solución en forma abierta para el análisis cinético del curso temporal de la cinética de Michaelis–Menten en términos de la función W de Lambert .

La convención de notación elegida aquí (con W ₀ y W ₋₁ ) sigue la referencia canónica sobre la función W de Lambert de Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey y Knuth . ^[3]

El nombre "logaritmo del producto" se puede entender así: dado que la función inversa de f ( w ) = e ^w se llama logaritmo , tiene sentido llamar a la "función" inversa del producto we ^w como "logaritmo del producto". (Nota técnica: al igual que el logaritmo complejo , es multivaluado y, por lo tanto, W se describe como la relación inversa en lugar de la función inversa). Está relacionado con la constante omega , que es igual a W ₀ (1) .

Lambert consideró por primera vez la ecuación trascendental de Lambert relacionada en 1758, ^[4] lo que condujo a un artículo de Leonhard Euler en 1783 ^[5] que discutía el caso especial de we ^w .

La ecuación que Lambert consideró fue

${\displaystyle x=x^{m}+q.}$

Euler transformó esta ecuación en la forma

${\displaystyle x^{a}-x^{b}=(a-b)cx^{a+b}.}$

Ambos autores derivaron una solución en serie para sus ecuaciones.

Una vez que Euler hubo resuelto esta ecuación, consideró el caso ⁠ ⁠${\displaystyle a=b}$ . Tomando límites, derivó la ecuación

${\displaystyle \ln x=cx^{a}.}$

Luego puso ⁠ ⁠${\displaystyle a=1}$ y obtuvo una solución en serie convergente para la ecuación resultante, expresando ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ en términos de ⁠ ⁠${\displaystyle c}$ .

Después de tomar derivadas con respecto a ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y algunas manipulaciones, se obtiene la forma estándar de la función de Lambert.

En 1993, se informó que la función Lambert ⁠ ⁠${\displaystyle W}$ proporciona una solución exacta al modelo de función delta de Dirac de doble pozo de la mecánica cuántica para cargas iguales ^[6] , un problema fundamental en física. Impulsados ​​por esto, Rob Corless y los desarrolladores del sistema de álgebra computacional Maple se dieron cuenta de que "la función W de Lambert se ha utilizado ampliamente en muchos campos, pero debido a la notación diferente y la ausencia de un nombre estándar, el conocimiento de la función no era tan alto como debería haber sido". ^{[3] [7]}

Otro ejemplo donde se encuentra esta función es en la cinética de Michaelis-Menten . ^[8]

Aunque se creía ampliamente que la función de Lambert no se${\displaystyle W}$ puede expresar en términos de funciones elementales ( de Liouvillian ), la primera prueba publicada no apareció hasta 2008. ^[9]

Hay un número contable de ramas de la función W , denotada por W _k ( z ) , para el entero k ; W ₀ ( z ) es la rama principal. W ₀ ( z ) se define para todos los números complejos z mientras que W _k ( z ) con k ≠ 0 se define para todos los z distintos de cero . Con W ₀ (0) = 0 ylímitez →0 W _k ( z ) = −∞ para todo k ≠ 0 .

El punto de ramificación de la rama principal está en z = − ⁠1/mi⁠ , con un corte de rama que se extiende hasta −∞ a lo largo del eje real negativo. Este corte de rama separa la rama principal de las dos ramas W ₋₁ y W ₁ . En todas las ramas W _k con k ≠ 0 , hay un punto de rama en z = 0 y un corte de rama a lo largo de todo el eje real negativo.

Las funciones W _k ( z ), k ∈ Z son todas inyectivas y sus rangos son disjuntos. El rango de toda la función multivaluada W es el plano complejo. La imagen del eje real es la unión del eje real y la cuadratriz de Hipias , la curva paramétrica w = − t cot t + it .

El gráfico de rango anterior también delinea las regiones en el plano complejo donde la simple relación inversa ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ es verdadera. ⁠ ⁠${\displaystyle f=ze^{z}}$ implica que existe un ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ tal que ⁠ ⁠${\displaystyle z=W(n,f)=W(n,ze^{z})}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ depende del valor de ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ . El valor del entero ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ cambia abruptamente cuando ⁠ ⁠${\displaystyle ze^{z}}$ está en el corte de la rama de ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , lo que significa que ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$≤ 0 , excepto para ⁠ ⁠${\displaystyle n=0}$ donde es ⁠ ⁠ ${\displaystyle ze^{z}}$ ≤ −1/ ⁠ ⁠${\displaystyle e}$ .

Definiendo ⁠ ⁠${\displaystyle z=x+iy}$ , donde ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ y ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ son reales, y expresando ⁠ ⁠${\displaystyle e^{z}}$ en coordenadas polares, se ve que

${\displaystyle {\begin{aligned}ze^{z}&=(x+iy)e^{x}(\cos y+i\sin y)\\&=e^{x}(x\cos y-y\sin y)+ie^{x}(x\sin y+y\cos y)\\\end{aligned}}}$

Para , el corte de rama para ⁠ ⁠ es el eje real no positivo, de modo que ${\displaystyle n\neq 0}$${\displaystyle W(n,ze^{z})}$

${\displaystyle x\sin y+y\cos y=0\Rightarrow x=-y/\tan(y),}$

y

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq 0.}$

Para , la rama cortada para ⁠ ⁠ es el eje real con , de modo que la desigualdad se convierte en ${\displaystyle n=0}$${\displaystyle W[n,ze^{z}]}$${\displaystyle -\infty <z\leq -1/e}$

${\displaystyle (x\cos y-y\sin y)e^{x}\leq -1/e.}$

Dentro de las regiones delimitadas por lo anterior, no hay cambios discontinuos en ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})}$ , y esas regiones especifican dónde la función ⁠ ⁠${\displaystyle W}$ es simplemente invertible, es decir , ⁠ ⁠${\displaystyle W(n,ze^{z})=z}$ .

Por diferenciación implícita , se puede demostrar que todas las ramas de W satisfacen la ecuación diferencial

${\displaystyle z(1+W){\frac {dW}{dz}}=W\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

( W no es diferenciable para z = − ⁠1/mi⁠ .) Como consecuencia, se obtiene la siguiente fórmula para la derivada de W :

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {W(z)}{z(1+W(z))}}\quad {\text{for }}z\not \in \left\{0,-{\frac {1}{e}}\right\}.}$

Usando la identidad e ^{W ( z )} = ⁠el/W ( z )⁠ , da la siguiente fórmula equivalente:

${\displaystyle {\frac {dW}{dz}}={\frac {1}{z+e^{W(z)}}}\quad {\text{for }}z\neq -{\frac {1}{e}}.}$

En el origen tenemos

${\displaystyle W'_{0}(0)=1.}$

La función W ( x ) , y muchas otras expresiones que involucran W ( x ) , se pueden integrar utilizando la sustitución w = W ( x ) , es decir x = we ^w :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int W(x)\,dx&=xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\&=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.\end{aligned}}}$

(La última ecuación es más común en la literatura pero no está definida en x = 0 ). Una consecuencia de esto (usando el hecho de que W ₀ ( e ) = 1 ) es la identidad

${\displaystyle \int _{0}^{e}W_{0}(x)\,dx=e-1.}$

La serie de Taylor de W ₀ alrededor de 0 se puede encontrar utilizando el teorema de inversión de Lagrange y está dada por

${\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}x^{n}=x-x^{2}+{\tfrac {3}{2}}x^{3}-{\tfrac {8}{3}}x^{4}+{\tfrac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}$

El radio de convergencia es1/mi⁠ , como se puede ver mediante la prueba de la razón . La función definida por esta serie se puede extender a una función holomorfa definida en todos los números complejos con un corte de rama a lo largo del intervalo (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] ; esta función holomorfa define la rama principal de la función W de Lambert .

Para valores grandes de x , W ₀ es asintótico a

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(x)&=L_{1}-L_{2}+{\frac {L_{2}}{L_{1}}}+{\frac {L_{2}\left(-2+L_{2}\right)}{2L_{1}^{2}}}+{\frac {L_{2}\left(6-9L_{2}+2L_{2}^{2}\right)}{6L_{1}^{3}}}+{\frac {L_{2}\left(-12+36L_{2}-22L_{2}^{2}+3L_{2}^{3}\right)}{12L_{1}^{4}}}+\cdots \\[5pt]&=L_{1}-L_{2}+\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}\left[{\begin{smallmatrix}l+m\\l+1\end{smallmatrix}}\right]}{m!}}L_{1}^{-l-m}L_{2}^{m},\end{aligned}}}$

donde L ₁ = ln x , L ₂ = ln ln x , y [^{yo + yo}
_{+ 1}] es un número de Stirling no negativodel primer tipo.^[3]Manteniendo solo los dos primeros términos de la expansión,

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln x-\ln \ln x+{\mathcal {o}}(1).}$

La otra rama real, W ₋₁ , definida en el intervalo [− ⁠1/mi⁠ , 0) , tiene una aproximación de la misma forma cuando x tiende a cero, con en este caso L ₁ = ln(− x ) y L ₂ = ln(−ln(− x )) . ^[3]

Las potencias enteras de W ₀ también admiten expansiones simples en serie de Taylor (o Laurent ) en cero:

${\displaystyle W_{0}(x)^{2}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {-2\left(-n\right)^{n-3}}{(n-2)!}}x^{n}=x^{2}-2x^{3}+4x^{4}-{\tfrac {25}{3}}x^{5}+18x^{6}-\cdots .}$

De manera más general, para r ∈ Z , la fórmula de inversión de Lagrange da

${\displaystyle W_{0}(x)^{r}=\sum _{n=r}^{\infty }{\frac {-r\left(-n\right)^{n-r-1}}{(n-r)!}}x^{n},}$

que es, en general, una serie de Laurent de orden r . De manera equivalente, esta última puede escribirse en forma de una expansión de Taylor de potencias de W ₀ ( x ) / x :

${\displaystyle \left({\frac {W_{0}(x)}{x}}\right)^{r}=e^{-rW_{0}(x)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {r\left(n+r\right)^{n-1}}{n!}}\left(-x\right)^{n},}$

lo cual es válido para cualquier r ∈ C y | x | < ⁠1/mi⁠ .

Se conocen varios límites no asintóticos para la función de Lambert.

Hoorfar y Hassani ^[10] demostraron que el siguiente límite se cumple para x ≥ e :

${\displaystyle \ln x-\ln \ln x+{\frac {\ln \ln x}{2\ln x}}\leq W_{0}(x)\leq \ln x-\ln \ln x+{\frac {e}{e-1}}{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}.}$

También mostraron el límite general

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x+y}{1+\ln(y)}}\right),}$

para cada y , con igualdad solo para . El límite permite realizar muchos otros límites, como tomar que da el límite ${\displaystyle y>1/e}$${\displaystyle x\geq -1/e}$${\displaystyle x=y\ln(y)}$${\displaystyle y=x+1}$

${\displaystyle W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {2x+1}{1+\ln(x+1)}}\right).}$

En 2013 se demostró ^[11] que la rama W ₋₁ se puede acotar de la siguiente manera:

${\displaystyle -1-{\sqrt {2u}}-u<W_{-1}\left(-e^{-u-1}\right)<-1-{\sqrt {2u}}-{\tfrac {2}{3}}u\quad {\text{for }}u>0.}$

Roberto Iacono y John P. Boyd ^[12] ampliaron los límites de la siguiente manera:

${\displaystyle \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-{\frac {\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\leq W_{0}(x)\leq \ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)-\ln \left(\left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)\left(1-{\frac {\ln \left(1-{\frac {\ln \ln x}{\ln x}}\right)}{1+\ln \left({\frac {x}{\ln x}}\right)}}\right)\right).}$

De la definición se desprenden algunas identidades:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\geq -1,\\W_{-1}(xe^{x})&=x&{\text{for }}x&\leq -1.\end{aligned}}}$

Nótese que, dado que f ( x ) = xe ^x no es inyectiva , no siempre se cumple que W ( f ( x )) = x , de forma muy similar a lo que ocurre con las funciones trigonométricas inversas . Para x < 0 fijo y x ≠ −1 , la ecuación xe ^x = ye ^y tiene dos soluciones reales en y , una de las cuales es, por supuesto, y = x . Entonces, para i = 0 y x < −1 , así como para i = −1 y x ∈ (−1, 0) , y = W _i ( xe ^x ) es la otra solución.

Algunas otras identidades: ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)e^{W(x)}=x,\quad {\text{therefore:}}\\[5pt]&e^{W(x)}={\frac {x}{W(x)}},\qquad e^{-W(x)}={\frac {W(x)}{x}},\qquad e^{nW(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln W_{0}(x)=\ln x-W_{0}(x)\quad {\text{for }}x>0.}$^[14]

${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{0}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}{\frac {1}{e}}\leq x.}$

${\displaystyle W_{-1}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad {\text{and}}\quad e^{W_{-1}\left(x\ln x\right)}=x\quad {\text{for }}0<x\leq {\frac {1}{e}}.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(x)=\ln {\frac {x}{W(x)}}&&{\text{for }}x\geq -{\frac {1}{e}},\\[5pt]&W\left({\frac {nx^{n}}{W\left(x\right)^{n-1}}}\right)=nW(x)&&{\text{for }}n,x>0\end{aligned}}}$

(que puede extenderse a otros n y x si se elige la rama correcta).

${\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {1}{W(x)}}+{\frac {1}{W(y)}}\right)\right)\quad {\text{for }}x,y>0.}$

Sustituyendo −ln x en la definición: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}0&<x\leq e,\\[5pt]W_{-1}\left(-{\frac {\ln x}{x}}\right)&=-\ln x&{\text{for }}x&>e.\end{aligned}}}$

Con la exponencial iterada h ( x ) de Euler :

${\displaystyle {\begin{aligned}h(x)&=e^{-W(-\ln x)}\\&={\frac {W(-\ln x)}{-\ln x}}\quad {\text{for }}x\neq 1.\end{aligned}}}$

Los siguientes son valores especiales de la rama principal: $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(-{\frac {1}{e}}\right)=-1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(2\ln 2\right)=\ln 2}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x\ln x\right)=\ln x\quad \left(x\geqslant {\tfrac {1}{e}}\approx 0.36788\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(x^{x+1}\ln x\right)=x\ln x\quad \left(x>0\right)}$$ $${\displaystyle W_{0}(0)=0}$$

${\displaystyle W_{0}(1)=\Omega =\left(\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\left(e^{t}-t\right)^{2}+\pi ^{2}}}\right)^{\!-1}\!\!\!\!-\,1\approx 0.56714329\quad }$(la constante omega )

$${\displaystyle W_{0}(1)=e^{-W_{0}(1)}=\ln {\frac {1}{W_{0}(1)}}=-\ln W_{0}(1)}$$ $${\displaystyle W_{0}(e)=1}$$ $${\displaystyle W_{0}\left(e^{1+e}\right)=e}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt {e}}{2}}\right)={\frac {1}{2}}}$$ $${\displaystyle W_{0}\left({\frac {\sqrt[{n}]{e}}{n}}\right)={\frac {1}{n}}}$$ $${\displaystyle W_{0}(-1)\approx -0.31813+1.33723i}$$

Valores especiales de la rama W ₋₁ : $${\displaystyle W_{-1}\left(-{\frac {\ln 2}{2}}\right)=-\ln 4}$$

La rama principal de la función de Lambert se puede representar mediante una integral propia, debida a Poisson: ^[16]

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}W_{0}(-x)=\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)-xe^{\cos t}\sin \left({\tfrac {5}{2}}t-\sin t\right)}{1-2xe^{\cos t}\cos(t-\sin t)+x^{2}e^{2\cos t}}}\sin \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\,dt\quad {\text{for }}|x|<{\frac {1}{e}}.}$

Kalugin–Jeffrey–Corless encontró otra representación de la rama principal: ^[17]

${\displaystyle W_{0}(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\ln \left(1+x{\frac {\sin t}{t}}e^{t\cot t}\right)dt.}$

La siguiente representación de fracción continua también es válida para la rama principal: ^[18]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{2+{\cfrac {5x}{3+{\cfrac {17x}{10+{\cfrac {133x}{17+{\cfrac {1927x}{190+{\cfrac {13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

Además, si | W ₀ ( x ) | < 1 : ^[19]

${\displaystyle W_{0}(x)={\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\exp {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

A su vez, si | W ₀ ( x ) | > e , entonces

${\displaystyle W_{0}(x)=\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ln {\cfrac {x}{\ddots }}}}}}.}$

Hay varias fórmulas integrales definidas útiles que involucran la rama principal de la función W , incluidas las siguientes:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{0}^{\pi }W_{0}\left(2\cot ^{2}x\right)\sec ^{2}x\,dx=4{\sqrt {\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx=2{\sqrt {2\pi }}.\\[5pt]&\int _{0}^{\infty }W_{0}\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx={\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La primera identidad se puede encontrar escribiendo la integral gaussiana en coordenadas polares .

La segunda identidad se puede derivar haciendo la sustitución u = W ₀ ( x ) , lo que da

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=ue^{u},\\[5pt]{\frac {dx}{du}}&=(u+1)e^{u}.\end{aligned}}}$

De este modo

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {W_{0}(x)}{x{\sqrt {x}}}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u}{ue^{u}{\sqrt {ue^{u}}}}}(u+1)e^{u}\,du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {ue^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {u+1}{\sqrt {u}}}{\frac {1}{\sqrt {e^{u}}}}du\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }u^{\tfrac {1}{2}}e^{-{\frac {u}{2}}}du+\int _{0}^{\infty }u^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-{\frac {u}{2}}}du\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }(2w)^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+2\int _{0}^{\infty }(2w)^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw&&\quad (u=2w)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{\tfrac {1}{2}}e^{-w}\,dw+{\sqrt {2}}\int _{0}^{\infty }w^{-{\tfrac {1}{2}}}e^{-w}\,dw\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)+{\sqrt {2}}\cdot \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2}}\left({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\right)+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {\pi }}\right)\\[5pt]&=2{\sqrt {2\pi }}.\end{aligned}}}$

La tercera identidad puede derivarse de la segunda haciendo la sustitución u = x ⁻² y la primera también puede derivarse de la tercera mediante la sustitución z = ⁠1/√ 2⁠ tan x .

A excepción de z a lo largo del corte de la rama (−∞, − ⁠1/mi⁠ ] (donde la integral no converge), la rama principal de la función W de Lambert se puede calcular mediante la siguiente integral: ^[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}(z)&={\frac {z}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu \\[5pt]&={\frac {z}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\frac {\left(1-\nu \cot \nu \right)^{2}+\nu ^{2}}{z+\nu \csc \nu e^{-\nu \cot \nu }}}\,d\nu ,\end{aligned}}}$

donde las dos expresiones integrales son equivalentes debido a la simetría del integrando.

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x}}\,dx\;=\;{\frac {W(x)^{2}}{2}}+W(x)+C}$$

$${\displaystyle \int W\left(Ae^{Bx}\right)\,dx\;=\;{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)^{2}}{2B}}+{\frac {W\left(Ae^{Bx}\right)}{B}}+C}$$

$${\displaystyle \int {\frac {W(x)}{x^{2}}}\,dx\;=\;\operatorname {Ei} \left(-W(x)\right)-e^{-W(x)}+C}$$

La función W de Lambert se utiliza para resolver ecuaciones en las que la cantidad desconocida se encuentra tanto en la base como en el exponente, o tanto dentro como fuera de un logaritmo. La estrategia consiste en convertir dicha ecuación en una ecuación de la forma ze ^z = w y luego resolver z utilizando la función W.

Por ejemplo, la ecuación

${\displaystyle 3^{x}=2x+2}$

(donde x es un número real desconocido) se puede resolver reescribiéndolo como

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x+1)\ 3^{-x}={\frac {1}{2}}&({\mbox{multiply by }}3^{-x}/2)\\\Leftrightarrow \ &(-x-1)\ 3^{-x-1}=-{\frac {1}{6}}&({\mbox{multiply by }}{-}1/3)\\\Leftrightarrow \ &(\ln 3)(-x-1)\ e^{(\ln 3)(-x-1)}=-{\frac {\ln 3}{6}}&({\mbox{multiply by }}\ln 3)\end{aligned}}}$

Esta última ecuación tiene la forma deseada y las soluciones para x real son:

${\displaystyle (\ln 3)(-x-1)=W_{0}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)\ \ \ {\textrm {or}}\ \ \ (\ln 3)(-x-1)=W_{-1}\left({\frac {-\ln 3}{6}}\right)}$

y por lo tanto:

${\displaystyle x=-1-{\frac {W_{0}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=-0.79011\ldots \ \ {\textrm {or}}\ \ x=-1-{\frac {W_{-1}\left(-{\frac {\ln 3}{6}}\right)}{\ln 3}}=1.44456\ldots }$

Generalmente, la solución a

${\displaystyle x=a+b\,e^{cx}}$

es:

${\displaystyle x=a-{\frac {1}{c}}W(-bc\,e^{ac})}$

donde a , b y c son constantes complejas, donde b y c no son iguales a cero, y la función W es de cualquier orden entero.

Los frentes y depósitos de flujo granular y de escombros, y los frentes de fluidos viscosos en eventos naturales y en experimentos de laboratorio se pueden describir utilizando la función omega de Lambert-Euler de la siguiente manera:

${\displaystyle H(x)=1+W\left((H(0)-1)e^{(H(0)-1)-{\frac {x}{L}}}\right),}$

where H(x) is the debris flow height, x is the channel downstream position, L is the unified model parameter consisting of several physical and geometrical parameters of the flow, flow height and the hydraulic pressure gradient.

In pipe flow, the Lambert W function is part of the explicit formulation of the Colebrook equation for finding the Darcy friction factor. This factor is used to determine the pressure drop through a straight run of pipe when the flow is turbulent.^[21]

The principal branch of the Lambert W function is employed in the field of mechanical engineering, in the study of time dependent transfer of Newtonian fluids between two reservoirs with varying free surface levels, using centrifugal pumps.^[22] The Lambert W function provided an exact solution to the flow rate of fluid in both the laminar and turbulent regimes: $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{\text{turb}}&={\frac {Q_{i}}{\zeta _{i}}}W_{0}\left[\zeta _{i}\,e^{(\zeta _{i}+\beta t/b)}\right]\\Q_{\text{lam}}&={\frac {Q_{i}}{\xi _{i}}}W_{0}\left[\xi _{i}\,e^{\left(\xi _{i}+\beta t/(b-\Gamma _{1})\right)}\right]\end{aligned}}}$$ where ${\displaystyle Q_{i}}$ is the initial flow rate and ${\displaystyle t}$ is time.

The Lambert W function is employed in the field of neuroimaging for linking cerebral blood flow and oxygen consumption changes within a brain voxel, to the corresponding blood oxygenation level dependent (BOLD) signal.^[23]

The Lambert W function is employed in the field of chemical engineering for modeling the porous electrode film thickness in a glassy carbon based supercapacitor for electrochemical energy storage. The Lambert W function provides an exact solution for a gas phase thermal activation process where growth of carbon film and combustion of the same film compete with each other.^[24][25]

In the crystal growth, the negative principal of the Lambert W-function can be used to calculate the distribution coefficient, ${\textstyle k}$, and solute concentration in the melt, ${\textstyle C_{L}}$,^[26][27] from the Scheil equation:

${\displaystyle {\begin{aligned}&k={\frac {W_{0}(Z)}{\ln(1-fs)}}\\&C_{L}={\frac {C_{0}}{(1-fs)}}e^{W_{0}(Z)}\\&Z={\frac {C_{S}}{C_{0}}}(1-fs)\ln(1-fs)\end{aligned}}}$

The Lambert W function is employed in the field of epitaxial film growth for the determination of the critical dislocation onset film thickness. This is the calculated thickness of an epitaxial film, where due to thermodynamic principles the film will develop crystallographic dislocations in order to minimise the elastic energy stored in the films. Prior to application of Lambert W for this problem, the critical thickness had to be determined via solving an implicit equation. Lambert W turns it in an explicit equation for analytical handling with ease.^[28]

The Lambert W function has been employed in the field of fluid flow in porous media to model the tilt of an interface separating two gravitationally segregated fluids in a homogeneous tilted porous bed of constant dip and thickness where the heavier fluid, injected at the bottom end, displaces the lighter fluid that is produced at the same rate from the top end. The principal branch of the solution corresponds to stable displacements while the −1 branch applies if the displacement is unstable with the heavier fluid running underneath the lighter fluid.^[29]

The equation (linked with the generating functions of Bernoulli numbers and Todd genus):

${\displaystyle Y={\frac {X}{1-e^{X}}}}$

can be solved by means of the two real branches W₀ and W₋₁:

${\displaystyle X(Y)={\begin{cases}W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{0}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}Y<-1,\\W_{0}\left(Ye^{Y}\right)-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)=Y-W_{-1}\left(Ye^{Y}\right)&{\text{for }}-1<Y<0.\end{cases}}}$

This application shows that the branch difference of the W function can be employed in order to solve other transcendental equations.^[30]

The centroid of a set of histograms defined with respect to the symmetrized Kullback–Leibler divergence (also called the Jeffreys divergence ^[31]) has a closed form using the Lambert W function.^[32]

Solving for the optimal group size to pool tests so that at least one individual is infected involves the Lambert W function.^[33][34][35]

The Lambert W function appears in a quantum-mechanical potential, which affords the fifth – next to those of the harmonic oscillator plus centrifugal, the Coulomb plus inverse square, the Morse, and the inverse square root potential – exact solution to the stationary one-dimensional Schrödinger equation in terms of the confluent hypergeometric functions. The potential is given as

${\displaystyle V={\frac {V_{0}}{1+W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right)}}.}$

A peculiarity of the solution is that each of the two fundamental solutions that compose the general solution of the Schrödinger equation is given by a combination of two confluent hypergeometric functions of an argument proportional to^[36]

${\displaystyle z=W\left(e^{-{\frac {x}{\sigma }}}\right).}$

The Lambert W function also appears in the exact solution for the bound state energy of the one dimensional Schrödinger equation with a Double Delta Potential.

In Quantum chromodynamics, the quantum field theory of the Strong interaction, the coupling constant ${\displaystyle \alpha _{\text{s}}}$ is computed perturbatively, the order n corresponding to Feynman diagrams including n quantum loops.^[37] The first order, n=1, solution is exact (at that order) and analytical. At higher orders, n>1, there is no exact and analytical solution and one typically uses an iterative method to furnish an approximate solution. However, for second order, n=2, the Lambert function provides an exact (if non-analytical) solution.^[37]

In the Schwarzschild metric solution of the Einstein vacuum equations, the W function is needed to go from the Eddington–Finkelstein coordinates to the Schwarzschild coordinates. For this reason, it also appears in the construction of the Kruskal–Szekeres coordinates.

The s-wave resonances of the delta-shell potential can be written exactly in terms of the Lambert W function.^[38]

If a reaction involves reactants and products having heat capacities that are constant with temperature then the equilibrium constant K obeys

${\displaystyle \ln K={\frac {a}{T}}+b+c\ln T}$

for some constants a, b, and c. When c (equal to ⁠ΔC_p/R⁠) is not zero the value or values of T can be found where K equals a given value as follows, where L can be used for ln T.

${\displaystyle {\begin{aligned}-a&=(b-\ln K)T+cT\ln T\\&=(b-\ln K)e^{L}+cLe^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}&=\left({\frac {b-\ln K}{c}}+L\right)e^{L}\\[5pt]-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}&=\left(L+{\frac {b-\ln K}{c}}\right)e^{L+{\frac {b-\ln K}{c}}}\\[5pt]L&=W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\\[5pt]T&=\exp \left(W\left(-{\frac {a}{c}}e^{\frac {b-\ln K}{c}}\right)+{\frac {\ln K-b}{c}}\right).\end{aligned}}}$

If a and c have the same sign there will be either two solutions or none (or one if the argument of W is exactly −⁠1/e⁠). (The upper solution may not be relevant.) If they have opposite signs, there will be one solution.

In the calculation of the phase diagram of thermodynamically incompatible polymer mixtures according to the Edmond-Ogston model, the solutions for binodal and tie-lines are formulated in terms of Lambert W functions.^[39]

Wien's displacement law is expressed as ${\displaystyle \nu _{\max }/T=\alpha =\mathrm {const} }$. With ${\displaystyle x=h\nu _{\max }/k_{\mathrm {B} }T}$ and ${\displaystyle d\rho _{T}\left(x\right)/dx=0}$, where ${\displaystyle \rho _{T}}$ is the spectral energy energy density, one finds ${\displaystyle e^{-x}=1-{\frac {x}{D}}}$, where ${\displaystyle D}$ is the number of degrees of freedom for spatial translation. The solution ${\displaystyle x=D+W\left(-De^{-D}\right)}$ shows that the spectral energy density is dependent on the dimensionality of the universe.^[40]

The classical finite-size corrections to the dispersion relations of giant magnons, single spikes and GKP strings can be expressed in terms of the Lambert W function.^[41][42]

In the t → ∞ limit of the SIR model, the proportion of susceptible and recovered individuals has a solution in terms of the Lambert W function.^[43]

The total time of the journey of a projectile which experiences air resistance proportional to its velocity can be determined in exact form by using the Lambert W function.

The transcendental equation that appears in the determination of the propagation wave number of an electromagnetic axially symmetric surface wave (a low-attenuation single TM01 mode) propagating in a cylindrical metallic wire gives rise to an equation like u ln u = v (where u and v clump together the geometrical and physical factors of the problem), which is solved by the Lambert W function. The first solution to this problem, due to Sommerfeld circa 1898, already contained an iterative method to determine the value of the Lambert W function.^[44]

The family of ellipses ${\displaystyle x^{2}+(1-\varepsilon ^{2})y^{2}=\varepsilon ^{2}}$ centered at ${\displaystyle (0,0)}$ is parameterized by eccentricity ${\displaystyle \varepsilon }$. The orthogonal trajectories of this family are given by the differential equation ${\displaystyle \left({\frac {1}{y}}+y\right)dy=\left({\frac {1}{x}}-x\right)dx}$ whose general solution is the family ${\displaystyle y^{2}=}$${\displaystyle W_{0}(x^{2}\exp(-2C-x^{2}))}$.

The standard Lambert W function expresses exact solutions to transcendental algebraic equations (in x) of the form:

where a₀, c and r are real constants. The solution is $${\displaystyle x=r+{\frac {1}{c}}W\left({\frac {c\,e^{-cr}}{a_{0}}}\right).}$$ Generalizations of the Lambert W function^[45][46][47] include:

• An application to general relativity and quantum mechanics (quantum gravity) in lower dimensions, in fact a link (unknown prior to 2007^[48]) between these two areas, where the right-hand side of (1) is replaced by a quadratic polynomial in x:

  where r₁ and r₂ are real distinct constants, the roots of the quadratic polynomial. Here, the solution is a function which has a single argument x but the terms like r_i and a₀ are parameters of that function. In this respect, the generalization resembles the hypergeometric function and the Meijer G function but it belongs to a different class of functions. When r₁ = r₂, both sides of (2) can be factored and reduced to (1) and thus the solution reduces to that of the standard W function. Equation (2) expresses the equation governing the dilaton field, from which is derived the metric of the R = T or lineal two-body gravity problem in 1 + 1 dimensions (one spatial dimension and one time dimension) for the case of unequal rest masses, as well as the eigenenergies of the quantum-mechanical double-well Dirac delta function model for unequal charges in one dimension.

• Analytical solutions of the eigenenergies of a special case of the quantum mechanical three-body problem, namely the (three-dimensional) hydrogen molecule-ion.^[49] Here the right-hand side of (1) is replaced by a ratio of infinite order polynomials in x:

  where r_i and s_i are distinct real constants and x is a function of the eigenenergy and the internuclear distance R. Equation (3) with its specialized cases expressed in (1) and (2) is related to a large class of delay differential equations. G. H. Hardy's notion of a "false derivative" provides exact multiple roots to special cases of (3).^[50]

Applications of the Lambert W function in fundamental physical problems are not exhausted even for the standard case expressed in (1) as seen recently in the area of atomic, molecular, and optical physics.^[51]

• Plots of the Lambert W function on the complex plane
• 
  z = Re(W₀(x + iy))
• 
  z = Im(W₀(x + iy))
• 
  z = |W₀(x + iy)|
• 
  Superimposition of the previous three plots

The W function may be approximated using Newton's method, with successive approximations to w = W(z) (so z = we^w) being

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}+w_{j}e^{w_{j}}}}.}$

The W function may also be approximated using Halley's method,

${\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}\left(w_{j}+1\right)-{\dfrac {\left(w_{j}+2\right)\left(w_{j}e^{w_{j}}-z\right)}{2w_{j}+2}}}}}$

given in Corless et al.^[3] to compute W.

For real ${\displaystyle x\geq -1/e}$, it may be approximated by the quadratic-rate recursive formula of R. Iacono and J.P. Boyd:^[12]

${\displaystyle w_{n+1}(x)={\frac {w_{n}(x)}{1+w_{n}(x)}}\left(1+\log \left({\frac {x}{w_{n}(x)}}\right)\right).}$

Lajos Lóczi proves^[52] that by using this iteration with an appropriate starting value ${\displaystyle w_{0}(x)}$,

• For the principal branch ${\displaystyle W_{0}:}$
  • if ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$: ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(x)-\log(\log(x)),}$
  • if ${\displaystyle x\in (0,e):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=x/e,}$
  • if ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)={\frac {ex\log(1+{\sqrt {1+ex}})}{1+ex+{\sqrt {1+ex}}}},}$
• For the branch ${\displaystyle W_{-1}:}$
  • if ${\displaystyle x\in (-1/4,0):}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=\log(-x)-\log(-\log(-x)),}$
  • if ${\displaystyle x\in (-1/e,-1/4]:}$ ${\displaystyle w_{0}(x)=-1-{\sqrt {2}}{\sqrt {1+ex}},}$

one can determine the maximum number of iteration steps in advance for any precision:

• if ${\displaystyle x\in (e,\infty )}$ (Theorem 2.4): ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<\left(\log(1+1/e)\right)^{2^{n}},}$
• if ${\displaystyle x\in (0,e)}$ (Theorem 2.9): ${\displaystyle 0<W_{0}(x)-w_{n}(x)<{\frac {\left(1-1/e\right)^{2^{n}-1}}{5}},}$
• if ${\displaystyle x\in (-1/e,0):}$
  • for the principal branch ${\displaystyle W_{0}}$ (Theorem 2.17): ${\displaystyle 0<w_{n}(x)-W_{0}(x)<\left(1/10\right)^{2^{n}},}$
  • for the branch ${\displaystyle W_{-1}}$(Theorem 2.23): ${\displaystyle 0<W_{-1}(x)-w_{n}(x)<\left(1/2\right)^{2^{n}}.}$

Toshio Fukushima has presented a fast method for approximating the real valued parts of the principal and secondary branches of the W function without using any iteration.^[53] In this method the W function is evaluated as a conditional switch of rational functions on transformed varibles: $${\displaystyle W_{0}(z)={\begin{cases}X_{k}(x),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=1,2,\ldots ,17),\\U_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=18,19),\end{cases}}}$$ $${\displaystyle W_{-1}(z)={\begin{cases}Y_{k}(y),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-1,-2,\ldots ,-7),\\V_{k}(u),&(z_{k-1}<=z<z_{k},\quad k=-8,-9,-10),\end{cases}}}$$ where x, u, y and v are transformations of z:

${\displaystyle x={\sqrt {z+1/e}},\quad u=\ln {z},\quad y=-z/(x+1/{\sqrt {e}}),\quad v=\ln(-z)}$.

Here ${\displaystyle X_{k}(x)}$, ${\displaystyle U_{k}(u)}$, ${\displaystyle Y_{k}(y)}$, and ${\displaystyle V_{k}(v)}$ are rational functions whose coefficients for different k-values are listed in the referenced paper together with the ${\displaystyle z_{k}}$ values that determine the subdomains. With higher degree polynomials in these rational functions the method can approximate the W function more accurately.

For example, when ${\displaystyle -1/e\leq z\leq 2.0082178115844727}$, ${\displaystyle W_{0}(z)}$ can be approximated to 24 bits of accuracy on 64-bit floating point values as ${\displaystyle W_{0}(z)\approx X_{1}(x)={\frac {\sum _{i}^{4}P_{i}x^{i}}{\sum _{i}^{3}Q_{i}x^{i}}}}$ where x is defined with the transformation above and the coefficients ${\displaystyle P_{i}}$ and ${\displaystyle Q_{i}}$ are given in the table below.

Fukushima also offers an approximation with 50 bits of accuracy on 64-bit floats that uses 8th and 7th degree polynomials.

The Lambert W function is implemented in many programming languages. Some of them are listed below:

C++ code for all the branches of the complex Lambert W function is also available on the homepage of István Mező.^[65]

• Wright omega function
• Lambert's trinomial equation
• Lagrange inversion theorem
• Experimental mathematics
• Holstein–Herring method
• R = T model
• Ross' π lemma

• Corless, R.; Gonnet, G.; Hare, D.; Jeffrey, D.; Knuth, Donald (1996). "On the Lambert W function" (PDF). Advances in Computational Mathematics. 5: 329–359. doi:10.1007/BF02124750. ISSN 1019-7168. S2CID 29028411. Archived from the original (PDF) on 2010-12-14. Retrieved 2007-03-10.
• Chapeau-Blondeau, F.; Monir, A. (2002). "Evaluation of the Lambert W Function and Application to Generation of Generalized Gaussian Noise With Exponent 1/2" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 50 (9). doi:10.1109/TSP.2002.801912. Archived from the original (PDF) on 2012-03-28. Retrieved 2004-03-10.
• Francis; et al. (2000). "Quantitative General Theory for Periodic Breathing". Circulation. 102 (18): 2214–21. CiteSeerX 10.1.1.505.7194. doi:10.1161/01.cir.102.18.2214. PMID 11056095. S2CID 14410926.(La función de Lambert se utiliza para resolver la dinámica diferencial de retardo en enfermedades humanas).
• Hayes, B. (2005). "¿Por qué W?" (PDF) . American Scientist . 93 (2): 104–108. doi :10.1511/2005.2.104. Archivado (PDF) desde el original el 10 de octubre de 2022.
• Roy, R.; Olver, FWJ (2010), "Función W de Lambert", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual del NIST de funciones matemáticas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, Sr.  2723248.
• Stewart, Seán M. (2005). "¿Una nueva función elemental para nuestros currículos?" (PDF) . Revista australiana de matemáticas para estudiantes de último año . 19 (2): 8–26. ISSN  0819-4564. Archivado (PDF) desde el original el 10 de octubre de 2022.
• Veberic, D., "Divirtiéndose con la función W(x) de Lambert" arXiv:1003.1628 (2010); Veberic, D. (2012). " Función W de Lambert para aplicaciones en física". Computer Physics Communications . 183 (12): 2622–2628. arXiv : 1209.0735 . Bibcode :2012CoPhC.183.2622V. doi :10.1016/j.cpc.2012.07.008. S2CID  315088.
• Chatzigeorgiou, I. (2013). "Límites de la función Lambert y su aplicación al análisis de interrupciones de la cooperación del usuario". IEEE Communications Letters . 17 (8): 1505–1508. arXiv : 1601.04895 . doi :10.1109/LCOMM.2013.070113.130972. S2CID  10062685.

• Biblioteca digital del Instituto Nacional de Ciencia y Tecnología – Lambert W
• MathWorld – Función W de Lambert
• Cálculo de la función W de Lambert
• Corless et al. Notas sobre la investigación de Lambert W.
• Implementación de C++ GPL con iteración de Halley y Fritsch.
• Funciones especiales de la biblioteca científica GNU – GSL
• [3]