funciones hiperbólicas

En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero definidas mediante la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sin t ) forman un círculo de radio unitario , los puntos (cosh t , sinh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . De manera similar a como las derivadas de sin( t ) y cos( t ) son cos( t ) y –sin( t ) , las derivadas de sinh( t ) y cosh( t ) son cosh( t ) y sinh( t ) .

Las funciones hiperbólicas se utilizan para expresar el ángulo de paralelismo en geometría hiperbólica . En relatividad especial, se emplean para expresar transformaciones de Lorentz como rotaciones hiperbólicas . También aparecen en las soluciones de numerosas ecuaciones diferenciales lineales (como la ecuación que define una catenaria ), ecuaciones cúbicas y la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas . Las ecuaciones de Laplace son importantes en diversas áreas de la física , como la teoría electromagnética , la transferencia de calor y la dinámica de fluidos .

Las funciones hiperbólicas básicas son: ^{[ 1 ]}

• seno hiperbólico " sinh " ( / ˈ s ɪ ŋ , ˈ s ɪ n tʃ , ˈ ʃ aɪ n / ), ^{[ 2 ]}
• coseno hiperbólico " cosh " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ), ^{[ 3 ]}

de los cuales se derivan: ^{[ 4 ]}

• tangente hiperbólica " tanh " ( / ˈ t æ ŋ , ˈ t æ n tʃ , ˈ θ æ n / ), ^{[ 5 ]}
• cotangente hiperbólica " coth " ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / ), ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• secante hiperbólica " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ), ^{[ 8 ]}
• cosecante hiperbólica " csch " o " cosech " ( / ˈ k oʊ s ɛ tʃ , ˈ k oʊ ʃ ɛ k / ^{[ 3 ]} )

correspondientes a las funciones trigonométricas derivadas.

Las funciones hiperbólicas inversas son:

• seno hiperbólico inverso " arsinh " (también denotado " sinh ⁻¹ ", " asinh " o a veces " arcsinh ") ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• coseno hiperbólico inverso " arcosh " (también denotado " cosh ⁻¹ ", " acosh " o a veces " arccosh ")
• tangente hiperbólica inversa " artanh " (también denotada " tanh ⁻¹ ", " atanh " o a veces " arctanh ")
• cotangente hiperbólica inversa " arcoth " (también denotada " coth ⁻¹ ", " acoth " o a veces " arccoth ")
• secante hiperbólica inversa " arsech " (también denotada " sech ⁻¹ ", " asech " o a veces " arcsech ")
• cosecante hiperbólica inversa " arcsch " (también denotada " arcosech ", " csch ⁻¹ ", " cosech ⁻¹ ", " acsch ", " acosech ", o a veces " arccsch " o " arccosech ")

Las funciones hiperbólicas toman como argumento un ángulo hiperbólico . La magnitud de un ángulo hiperbólico es el área de su sector hiperbólico en xy = 1. Las funciones hiperbólicas pueden definirse en términos de los catetos de un triángulo rectángulo que cubre este sector.

En análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen al aplicar las funciones seno y coseno ordinarias a un ángulo imaginario. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones enteras . Por consiguiente, las demás funciones hiperbólicas son meromorfas en todo el plano complejo.

Según el teorema de Lindemann-Weierstrass , las funciones hiperbólicas tienen un valor trascendental para cada valor algebraico distinto de cero del argumento. ^{[ 12 ]}

El primer cálculo conocido de un problema de trigonometría hiperbólica se atribuye a Gerardus Mercator al publicar la proyección cartográfica de Mercator alrededor de 1566. Requiere tabular soluciones a una ecuación trascendental que involucra funciones hiperbólicas. ^{[ 13 ]}

El primero en sugerir una similitud entre el sector del círculo y el de la hipérbola fue Isaac Newton en su Principia Mathematica de 1687. ^{[ 14 ]}

Roger Cotes sugirió modificar las funciones trigonométricas utilizando la unidad imaginaria.${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$para obtener un esferoide oblato a partir de uno prolato. ^{[ 14 ]}

Las funciones hiperbólicas fueron introducidas formalmente en 1757 por Vincenzo Riccati . ^{[ 14 ] [ 13 ] [ 15 ]} Riccati usó Sc. y Cc. ( seno/coseno circular ) para referirse a las funciones circulares y Sh. y Ch. ( seno/coseno hiperbólico ) para referirse a las funciones hiperbólicas. ^{[ 14 ]} Ya en 1759, Daviet de Foncenex demostró la intercambiabilidad de las funciones trigonométricas e hiperbólicas usando la unidad imaginaria y extendió la fórmula de de Moivre a las funciones hiperbólicas. ^{[ 15 ] [ 14 ]}

Durante la década de 1760, Johann Heinrich Lambert sistematizó el uso de funciones y proporcionó expresiones exponenciales en diversas publicaciones. ^{[ 14 ] [ 15 ]} Lambert reconoció a Riccati la terminología y los nombres de las funciones, pero modificó las abreviaturas a las que se usan actualmente. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

Con un ángulo hiperbólico u , las funciones hiperbólicas sinh y cosh se pueden definir con la función exponencial e ^u . ^{[ 1 ] [ 4 ]} En la figura ${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ ​​B=(e^{u},\ e^{-u}),\ ​​OA+OB=OC}$.

Definiciones exponenciales

• Seno hiperbólico: la parte impar de la función exponencial, es decir,$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}.}$$
• Coseno hiperbólico: la parte par de la función exponencial, es decir,$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}.}$$

• Tangente hiperbólica:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0 ,$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• secante hiperbólica:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• Cosecante hiperbólica: para x ≠ 0 ,$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas ellas similares en forma a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn ^{[ 20 ]} (llamada así por George Osborn ) establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica (hasta pero sin incluir los senos hiperbólicos o los senos hiperbólicos implícitos de cuarto grado) para${\displaystyle \theta }$,${\displaystyle 2\theta }$,${\displaystyle 3\theta }$o${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \varphi }$en una identidad hiperbólica, por:

1. expandiéndolo completamente en términos de potencias enteras de senos y cosenos,
2. cambiar seno a sinh y coseno a cosh, y
3. cambiando el signo de cada término que contiene un producto de dos sinh.

Funciones pares e impares : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

Recíprocos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

Análogo a la fórmula de Euler :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}$$

Análogo a la identidad trigonométrica pitagórica :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\\1-\tanh ^{2}x&=\operatorname {sech} ^{2}x\\\coth ^{2}x-1&=\operatorname {csch} ^{2}x\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

Cada una de las funciones sinh y cosh es igual a su segunda derivada , es decir: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de sinh y cosh , en particular las funciones exponenciales.${\displaystyle e^{x}}$y${\displaystyle e^{-x}}$. ^{[ 22 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

Las siguientes integrales se pueden demostrar utilizando la sustitución hiperbólica : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

donde C es la constante de integración .

Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ Esta serie converge para cada valor complejo de x . Dado que la función sinh x es impar , solo aparecen exponentes impares para x en su serie de Taylor.

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$ Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Dado que la función cosh x es par , solo aparecen exponentes pares para x en su serie de Taylor.

La suma de las series sinh y cosh es la expresión en serie infinita de la función exponencial .

Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

dónde:

• ${\displaystyle B_{n}}$es el n- ésimo número de Bernoulli
• ${\displaystyle E_{n}}$es el n- ésimo número de Euler

Las siguientes expansiones son válidas en todo el plano complejo:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

Las funciones hiperbólicas representan una extensión de la trigonometría más allá de las funciones circulares . Ambos tipos dependen de un argumento , ya sea un ángulo circular o un ángulo hiperbólico .

Dado que el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r²u ^/ 2 , será igual a u cuando r = √2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1, 1) . El sector amarillo representa un área y una magnitud de ángulo. De manera similar, las regiones amarilla y roja juntas representan un sector hiperbólico cuyo área corresponde a una magnitud de ángulo hiperbólico.

Los catetos de los dos triángulos rectángulos con la hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud de √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.

El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. ^{[ 23 ]}

La función de Gudermann establece una relación directa entre las funciones circulares y las funciones hiperbólicas que no involucra números complejos.

La gráfica de la función${\displaystyle a\cosh(x/a)}$⁠ es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible uniforme que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo una gravedad uniforme.

La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$ y $${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ Combinado con la fórmula de Euler$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ esto da $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$ para la función exponencial compleja general .

Además, $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

Dado que la función exponencial puede definirse para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomorfas .

Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias vienen dadas por la fórmula de Euler para números complejos: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$ entonces: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(x+iy)&={\frac {\tanh(x)+i\tan(y)}{1+i\tanh(x)\tan(y)}}\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto a la componente imaginaria, con período${\displaystyle 2\pi i}$(${\displaystyle \pi i}$para la tangente hiperbólica y la cotangente).

• e (constante matemática)
• Teorema de los círculos inscritos iguales , basado en sinh
• funciones hiperbolásticas
• Crecimiento hiperbólico
• Funciones hiperbólicas inversas
• Lista de integrales de funciones hiperbólicas
• Espirales de Poinsot
• función sigmoide
• funciones trigonométricas

• "Funciones hiperbólicas" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Funciones hiperbólicas en PlanetMath
• GonioLab : Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas ( Java Web Start )
• Calculadora web de funciones hiperbólicas