funciones pares e impares

Una función real f es par si, para cada x en su dominio, − x también está en su dominio y ^{[ 1 ] : p. 11}$${\displaystyle f(-x)=f(x)}$$ o equivalentemente $${\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}$$

Geométricamente, la gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje y , lo que significa que su gráfica permanece inalterada después de una reflexión con respecto al eje y .

Ejemplos de funciones pares son:

• El valor absoluto${\displaystyle x\mapsto |x|,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$para cualquier número entero par${\displaystyle n,}$
• coseno${\displaystyle \cos ,}$
• coseno hiperbólico${\displaystyle \cosh ,}$
• función gaussiana${\displaystyle x\mapsto \exp(-x^{2}).}$

Una función real f es impar si, para cada x en su dominio, − x también está en su dominio y ^{[ 1 ] : p. 72}$${\displaystyle f(-x)=-f(x)}$$ o equivalentemente $${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}$$

Geométricamente, la gráfica de una función impar tiene simetría rotacional con respecto al origen , lo que significa que su gráfica permanece inalterada después de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

Si${\displaystyle x=0}$está en el dominio de una función impar${\displaystyle f(x)}$, entonces${\displaystyle f(0)=0}$.

Ejemplos de funciones impares son:

• La función signo${\displaystyle x\mapsto \operatorname {sgn}(x),}$
• La función identidad${\displaystyle x\mapsto x,}$
• ${\displaystyle x\mapsto x^{n}}$para cualquier número entero impar${\displaystyle n,}$
• ${\displaystyle x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}}$para cualquier entero positivo impar${\displaystyle n,}$
• seno${\displaystyle \sin ,}$
• seno hiperbólico${\displaystyle \sinh ,}$
• La función de error${\displaystyle \operatorname {erf}.}$

• Si una función es par e impar a la vez, es igual a 0 en todos los lugares donde está definida.
• Si una función es impar, el valor absoluto de esa función es una función par.

• La suma de dos funciones pares es par.
• La suma de dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones impares es impar.
• La diferencia entre dos funciones pares es par.
• La suma de una función par y una función impar no es par ni impar, a menos que una de las funciones sea igual a cero en el dominio dado .

• El producto y el cociente de dos funciones pares es una función par.
  • Esto implica que el producto de cualquier número de funciones pares también es par.
  • Esto implica que el recíproco de una función par también es par.
• El producto y el cociente de dos funciones impares es una función par.
• El producto y los cocientes de una función par y una función impar es una función impar.
  • Esto implica que el recíproco de una función impar es impar.

• La composición de dos funciones pares es par.
• La composición de dos funciones impares es impar.
• La composición de una función par y una función impar es par.
• La composición de cualquier función con una función par es par (pero no al revés).

• Si una función impar es invertible , entonces su inversa también es impar.

• La derivada de una función par es impar.
• La derivada de una función impar es par.
• Si una función impar es integrable sobre un intervalo simétrico acotado${\displaystyle [-A,A]}$, la integral sobre ese intervalo es cero; es decir ^{[ 2 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=0}$.

  • Esto implica que el valor principal de Cauchy de una función impar en toda la recta real es cero.
• Si una función par es integrable sobre un intervalo simétrico acotado${\displaystyle [-A,A]}$, la integral sobre ese intervalo es el doble de la integral de 0 a A ; es decir ^{[ 3 ]}

  ${\displaystyle \int _{-A}^{A}f(x)\,dx=2\int _{0}^{A}f(x)\,dx}$.

  • Esta propiedad también es cierta para la integral impropia cuando${\displaystyle A=\infty }$, proporcionó la integral de 0 a${\displaystyle \infty }$converge.

• La serie de Maclaurin de una función par incluye solo potencias pares.
• La serie de Maclaurin de una función impar incluye solo potencias impares.
• La serie de Fourier de una función par periódica incluye únicamente términos de coseno .
• La serie de Fourier de una función periódica impar incluye solo términos sinusoidales .
• La transformada de Fourier de una función par con valores puramente reales es real y par. (Véase Análisis de Fourier §  Propiedades de simetría ).
• La transformada de Fourier de una función impar de valores puramente reales es imaginaria e impar. (Véase Análisis de Fourier §  Propiedades de simetría ).

Simetría uniforme:

Una función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$Se denomina par simétrico si:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Simetría extraña:

Una función${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$Se denomina simétrica impar si:

${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=-f(-x_{1},-x_{2},\ldots ,-x_{n})\quad {\text{for all }}x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} }$

Las definiciones de simetría par e impar para funciones de valor complejo con argumento real son similares al caso real. En el procesamiento de señales , a veces se considera una simetría similar, que implica la conjugación compleja . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Simetría conjugada:

Una función de valor complejo de un argumento real.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$se llama simétrico conjugado si

${\displaystyle f(x)={\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Una función de valor complejo es simétrica conjugada si y solo si su parte real es una función par y su parte imaginaria es una función impar.

Un ejemplo típico de una función simétrica conjugada es la función cis.

${\displaystyle x\to e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Antisimetría conjugada:

Una función de valor complejo de un argumento real.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$Se denomina antisimétrica conjugada si:

${\displaystyle f(x)=-{\overline {f(-x)}}\quad {\text{for all }}x\in \mathbb {R} }$

Una función de valor complejo es antisimétrica conjugada si y solo si su parte real es una función impar y su parte imaginaria es una función par.

Las definiciones de simetría par e impar se extienden a secuencias de N puntos (es decir, funciones de la forma${\displaystyle f:\left\{0,1,\ldots ,N-1\right\}\to \mathbb {R} }$) de la siguiente manera: ^{[ 6 ] : pág. 411}

Simetría uniforme:

Una secuencia de N puntos se denomina simétrica conjugada si

${\displaystyle f(n)=f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Dicha secuencia se denomina a menudo secuencia palindrómica ; véase también polinomio palindrómico .

Simetría extraña:

Una secuencia de N puntos se denomina antisimétrica conjugada si

${\displaystyle f(n)=-f(N-n)\quad {\text{for all }}n\in \left\{1,\ldots ,N-1\right\}.}$

Dicha secuencia se denomina a veces secuencia antipalindrómica ; véase también polinomio antipalindrómico .