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Serie Taylor

A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se aproxima a la función correcta. Esta imagen muestra sin x y sus aproximaciones de Taylor mediante polinomios de grado 1...

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A medida que aumenta el grado del polinomio de Taylor, se aproxima a la función correcta. Esta imagen muestra sin x y sus aproximaciones de Taylor mediante polinomios de grado 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 y 13 en x = 0 .

En análisis matemático , la serie de Taylor o desarrollo de Taylor de una función es una suma infinita de términos expresados ​​en términos de las derivadas de la función en un punto determinado. Para la mayoría de las funciones comunes, la función y la suma de su serie de Taylor son iguales cerca de este punto. Las series de Taylor reciben su nombre de Brook Taylor , quien las introdujo en 1715. Una serie de Taylor también se denomina serie de Maclaurin cuando 0 es el punto donde se consideran las derivadas, en honor a Colin Maclaurin , quien hizo un uso extensivo de este caso particular de las series de Taylor en el siglo XVIII.

La suma parcial formada por los primeros n + 1 términos de una serie de Taylor es un polinomio de grado n que se denomina polinomio de Taylor n -ésimo de la función. Los polinomios de Taylor son aproximaciones de una función, que generalmente se vuelven más precisas a medida que n aumenta. El teorema de Taylor proporciona estimaciones cuantitativas del error introducido por el uso de dichas aproximaciones. Si la serie de Taylor de una función es convergente , su suma es el límite de la sucesión infinita de los polinomios de Taylor. Una función puede diferir de la suma de su serie de Taylor, incluso si esta es convergente. Una función es analítica en un punto x si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto (o disco abierto en el plano complejo ) que contiene a x . Esto implica que la función es analítica en cada punto del intervalo (o disco).

Definición

La serie de Taylor de una función f ( x ) de valor real o complejo , que es infinitamente diferenciable en un número real o complejo a , es la serie de potencias.F(a)+F′(a)1¡(incógnita−a)+F″(a)2¡(incógnita−a)2+⋯=∑norte=0∞F(norte)(a)norte¡(incógnita−a)norte.{\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}.} Aquí, n ! denota el factorial de n . La función f ( n ) ( a ) denota la n -ésima derivada de f evaluada en el punto a . La derivada de orden cero de f se define como f misma y ( x − a ) 0 y 0! se definen como 1.  Esta serie se puede escribir usando la notación sigma , como en la fórmula del lado derecho. [ 1 ] El polinomio de Taylor correspondiente de grado n es Tnorte(incógnita)=∑k=0norteF(k)(a)k¡(incógnita−a)k.{\displaystyle T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}.} Con a = 0 , la serie de Maclaurin toma la forma: [ 2 ]F(0)+F′(0)1¡incógnita+F″(0)2¡incógnita2+⋯=∑norte=0∞F(norte)(0)norte¡incógnitanorte.{\displaystyle f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.}

Propiedades básicas

Las series de Taylor heredan las propiedades básicas de las series de potencias . Las series de Taylor también se pueden combinar algebraicamente. Las sumas, diferencias, productos y múltiplos escalares de las series de Taylor se obtienen mediante las operaciones correspondientes en series de potencias. En particular, la serie de Taylor deF(incógnita)gramo(incógnita){\displaystyle f(x)g(x)}alrededor de un puntoincógnita=a{\displaystyle x=a}es el producto de Cauchy de la serie de Taylor deF(incógnita){\displaystyle f(x)}ygramo(incógnita){\displaystyle g(x)}acerca deincógnita=a{\displaystyle x=a}. [ 3 ] Las composiciones de funciones que tienen series de Taylor también tienen series de Taylor, obtenidas al sustituir una serie de potencias convergente en otra cuando la sustitución es válida. [ 4 ]

Una serie de Taylor puede diferenciarse e integrarse término por término. Por lo tanto, ddincógnita∑norte=0∞donorte(incógnita−a)norte=∑norte=1∞nortedonorte(incógnita−a)norte−1,{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(xa)^{n-1},} y ∫∑norte=0∞donorte(incógnita−a)nortedincógnita=do+∑norte=0∞donortenorte+1(incógnita−a)norte+1.{\displaystyle \int \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}\,dx=C+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n+1}}(xa)^{n+1}.} Las series diferenciadas e integradas tienen el mismo radio de convergencia que la serie de potencias original, aunque el comportamiento de convergencia en el límite puede ser diferente. [ 5 ] [ 6 ]

Estas propiedades a veces permiten que la serie de Taylor de funciones, como la arcotangente, se calcule en términos de series más simples, como la serie geométrica. [ 3 ]

Cálculo de la serie de Taylor

Se pueden utilizar varios métodos para calcular series de Taylor. Se puede aplicar la definición directamente, aunque esto a menudo requiere identificar primero una fórmula general para las derivadas o los coeficientes. [ 7 ] En muchos casos, las series de Taylor también se pueden obtener a partir de expansiones conocidas mediante manipulaciones algebraicas de series de potencias, como sustitución, multiplicación, división, suma o resta, así como diferenciación término a término e integración de series de Taylor conocidas. [ 8 ] En algunos casos, también se pueden derivar mediante integración repetida por partes . En la práctica, las series de Taylor se calculan a menudo con la ayuda de sistemas de álgebra computacional . [ 9 ] [ 10 ]

Varias series de Maclaurin estándar se utilizan frecuentemente como punto de partida para calcular otras series de Taylor. A continuación se enumeran algunos ejemplos fundamentales; una lista más completa aparece más adelante en el artículo.

Ejemplos

Diferenciación término por término

Dentro de la región de convergencia, una serie de Taylor puede diferenciarse término a término. Por ejemplo, diferenciando la serie geométrica 11−incógnita=1+incógnita+incógnita2+incógnita3+⋯,|incógnita|<1,{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\quad |x|<1,} uno consigue ddincógnita11−incógnita=1(1−incógnita)2=0+1+2incógnita+3incógnita2+⋯,|incógnita|<1.{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}=0+1+2x+3x^{2}+\cdots ,\quad |x|<1.} De este modo 1(1−incógnita)2=∑norte=1∞norteincógnitanorte−1,|incógnita|<1.{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1},\quad |x|<1.} Este proceso puede repetirse, dando como resultado 1(1−incógnita)3=∑norte=2∞norte(norte−1)incógnitanorte−2,|incógnita|<1.{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2},\quad |x|<1.}1(1−incógnita)4=∑norte=3∞norte(norte−1)(norte−2)incógnitanorte−3,|incógnita|<1.{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3},\quad |x|<1.} y así sucesivamente. [ 11 ]

Integración término por término

Dentro de la región de convergencia, una serie de Taylor puede integrarse término a término. Por ejemplo, integrando la serie geométrica 11−t=1+t+t2+t3+⋯,|t|<1,{\displaystyle {\frac {1}{1-t}}=1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots ,\quad |t|<1,} uno consigue −registro⁡(1−incógnita)=∫0incógnitadt1−t=incógnita+incógnita22+incógnita33+incógnita44+⋯,|incógnita|<1.{\displaystyle -\log(1-x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1-t}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ,\quad |x|<1.} Esto da como resultado la serie de Maclaurin [ 11 ].registro⁡(1−incógnita)=−∑norte=1∞incógnitanortenorte,{\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},} válido para|incógnita|<1{\displaystyle |x|<1}.

Sustitución

Las series de Taylor se pueden componer, por ejemplo, si la serie de Taylor deF(t){\displaystyle f(t)}Se sabe, entonces la serie de Taylor deF(incógnitanorte){\displaystyle f(x^{n})}se obtiene evaluando ent=incógnitanorte{\displaystyle t=x^{n}}término por término. Por ejemplo, la serie geométrica1/(1−t)=1+t+t2+⋯{\displaystyle 1/(1-t)=1+t+t^{2}+\cdots }evaluado ent=−incógnita2{\displaystyle t=-x^{2}}da 11+incógnita2=1−incógnita2+incógnita4−incógnita6+⋯=∑norte=0∞(−1)norteincógnita2norte.{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}.} Esta última serie se puede integrar término por término para dar [ 11 ]arctan⁡incógnita=∫0incógnitadt1+t2=∑norte=0∞(−1)norte2norte+1incógnita2norte+1,{\displaystyle \arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},} para|incógnita|<1{\displaystyle |x|<1}.

Composición

Para calcular el polinomio de Maclaurin de séptimo grado para la función F(incógnita)=ln⁡(porque⁡incógnita),incógnita∈(−π2,π2),{\displaystyle f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},} uno puede primero reescribir la función como F(incógnita)=ln(1+(porque⁡incógnita−1)),{\displaystyle f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},} la composición de dos funciones x ↦ ln(1 + x ) y x ↦ cos x − 1 . La serie de Taylor para el logaritmo natural es (usando la notación O grande ) ln⁡(1+incógnita)=incógnita−incógnita22+incógnita33+O(incógnita4){\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}} y para la función coseno porque⁡incógnita−1=−incógnita22+incógnita424−incógnita6720+O(incógnita8).{\displaystyle \cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.}

Los primeros términos de la segunda serie se pueden sustituir en cada término de la primera serie. Como el primer término de la segunda serie tiene grado 2, tres términos de la primera serie son suficientes para dar un polinomio de grado 7: [ 12 ]F(incógnita)=ln⁡(1+(porque⁡incógnita−1))=(porque⁡incógnita−1)−12(porque⁡incógnita−1)2+13(porque⁡incógnita−1)3+O((porque⁡incógnita−1)4)=−incógnita22−incógnita412−incógnita645+O(incógnita8).{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}}

Dado que el coseno es una función par , los coeficientes de todas las potencias impares son cero.

División

Dado que la serie de Taylor en 0 de la función g ( x ) = ⁠ e x / cos x ⁠ . La serie de Taylor para la función exponencial es miincógnita=1+incógnita+incógnita22¡+incógnita33¡+incógnita44¡+⋯,{\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,} y la serie para el coseno es porque⁡incógnita=1−incógnita22¡+incógnita44¡−⋯.{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .}

Supongamos que la serie para su cociente es miincógnitaporque⁡incógnita=do0+do1incógnita+do2incógnita2+do3incógnita3+do4incógnita4+⋯{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots } Multiplicando ambos lados por el denominador cos x y luego desarrollándolo como una serie se obtiene: miincógnita=(do0+do1incógnita+do2incógnita2+do3incógnita3+do4incógnita4+⋯)(1−incógnita22¡+incógnita44¡−⋯)=do0+do1incógnita+(do2−do02¡)incógnita2+(do3−do12¡)incógnita3+(do4−do22¡+do04¡)incógnita4+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2!}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2!}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2!}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}}

Comparando los coeficientes de g ( x ) cos x con los coeficientes de e x , do0=1,  do1=1,  do2−12do0=12,  do3−12do1=16,  do4−12do2+124do0=124, ….{\displaystyle c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .}

Los coeficientes c i de la serie para g ( x ) se pueden calcular así uno a uno, lo que equivale a una división larga de la serie para e x y cos x : miincógnitaporque⁡incógnita=1+incógnita+incógnita2+23incógnita3+12incógnita4+⋯.{\displaystyle {\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .}

Integrales no elementales

La integración término a término de la serie de Taylor se puede utilizar para encontrar la serie de Taylor de integrales no elementales. Por ejemplo, la integral de Fresnel es S(incógnita)=∫0incógnitapecado⁡(t2)dt{\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt} yS(incógnita){\displaystyle S(x)}no puede expresarse en términos de funciones elementales . Su serie de Maclaurin puede determinarse mediante la integración término a término de la serie. pecado⁡(t2)=∑norte=0∞(−1)norte(2norte+1)¡t4norte+2,{\displaystyle \sin(t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{4n+2},} dando [ 13 ]S(incógnita)=∑norte=0∞(−1)norte(4norte+3)(2norte+1)¡incógnita4norte+3.{\displaystyle S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(4n+3)(2n+1)!}}x^{4n+3}.}

Ecuaciones diferenciales

Las series de Taylor también pueden utilizarse para resolver algunas ecuaciones diferenciales ordinarias . El método consiste en suponer que la solución tiene un desarrollo en serie de potencias, derivar la serie término a término, sustituir la serie resultante en la ecuación diferencial y, a continuación, determinar los coeficientes igualando las potencias semejantes de la variable. [ 14 ]

Por ejemplo, para resolver y″−y=0,{\displaystyle y''-y=0,} supongamos que y=∑norte=0∞anorteincógnitanorte.{\displaystyle y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.} Entonces y″=∑norte=2∞norte(norte−1)anorteincógnitanorte−2=∑norte=0∞(norte+2)(norte+1)anorte+2incógnitanorte.{\displaystyle y''=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.} Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene ∑norte=0∞((norte+2)(norte+1)anorte+2−anorte)incógnitanorte=0.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n}{\bigr )}x^{n}=0.} Dado que las expansiones en series de potencias son únicas, cada coeficiente debe anularse, por lo que anorte+2=anorte(norte+2)(norte+1).{\displaystyle a_{n+2}={\frac {a_{n}}{(n+2)(n+1)}}.} Por lo tanto, los coeficientes pares e impares se determinan por separado mediante constantes arbitrarias.a0{\displaystyle a_{0}}ya1{\displaystyle a_{1}}: y=a0(1+incógnita22¡+incógnita44¡+⋯)+a1(incógnita+incógnita33¡+incógnita55¡+⋯).{\displaystyle y=a_{0}\left(1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \right)+a_{1}\left(x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right).} De este modo y=a0aporrear⁡incógnita+a1sinh⁡incógnita,{\displaystyle y=a_{0}\cosh x+a_{1}\sinh x,} o equivalentementey=do1miincógnita+do2mi−incógnita{\displaystyle y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}}.

Error de aproximación y teorema de Taylor

En la imagen se muestra una aproximación precisa de sen x alrededor del punto x = 0. La curva rosa es un polinomio de grado siete.pecado⁡incógnita≈incógnita−incógnita33¡+incógnita55¡−incógnita77¡.{\displaystyle \sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.}

El error en esta aproximación no es mayor que | x | 9 / 9! . Para un ciclo completo centrado en el origen ( −π < x < π ), el error es menor que 0,08215. En particular, para −1 < x < 1 , el error es menor que  0,000003.

En contraste, también se muestra una representación gráfica de la función logaritmo natural ln(1 + x ) y algunos de sus polinomios de Taylor alrededor de a = 0. Estas aproximaciones convergen a la función únicamente en la región −1 < x ≤ 1. Fuera de esta región, los polinomios de Taylor de mayor grado son peores aproximaciones para la función.

El error que se produce al aproximar una función mediante su polinomio de Taylor de grado n se denomina resto y se denota por la función R n ( x ) . El teorema de Taylor puede utilizarse para obtener una cota para el tamaño del resto . [ 15 ]

En particular, el teorema de Taylor escribe una función, donde se satisfacen las hipótesis del teorema, en la forma F(incógnita)=∑k=0norteF(k)(a)k¡(incógnita−a)k+Rnorte(incógnita).{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x).} El comportamiento del resto cuando n tiende a infinito determina si la serie de Taylor representa la función original, que son cuestiones de convergencia y analiticidad .

Generalización en diferencias finitas

Una forma de la fórmula de interpolación de Gregory-Newton se puede escribir como F(incógnita)=∑k=0∞Δk[F](a)k¡(incógnita−a)k{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}} que interpola un polinomioF{\displaystyle f}en términos de sus diferencias finitas evaluadas en un solo puntoa{\displaystyle a}y dónde(incógnita−a)k{\displaystyle (x-a)_{k}}es el factorial descendente . Para un polinomio, esta serie termina y da el polinomio exactamente; más generalmente, una función admite un desarrollo de Gregory-Newton bajo hipótesis analíticas adecuadas, formuladas clásicamente por Niels Erik Nørlund en términos de holomorfía en un semiplano junto con una condición de crecimiento de tipo exponencial . [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]

Una generalización de la serie de Taylor que converge al valor de la función misma para cualquier función continua acotada en (0, ∞) , y esto se puede hacer utilizando el cálculo de diferencias finitas . Específicamente, el siguiente teorema, debido a Einar Hille , que para cualquier t > 0 , [ 19 ]límiteh→0+∑norte=0∞tnortenorte¡ΔhnorteF(a)hnorte=F(a+t).{\displaystyle \lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).} Aquí, Δ n h es el n -ésimo operador de diferencias finitas con paso h . La serie es precisamente la serie de Taylor, salvo que aparecen diferencias divididas en lugar de la diferenciación. Cuando la función f es analítica en a , los términos de la serie convergen a los términos de la serie de Taylor, y en este sentido generaliza la serie de Taylor usual.

En general, para cualquier secuencia infinita a i , se cumple la siguiente identidad de serie de potencias: [ 20 ]∑norte=0∞túnortenorte¡Δnorteai=mi−tú∑j=0∞tújj¡ai+j.{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.} Así que en particular, [ 20 ]F(a+t)=límiteh→0+mi−t/h∑j=0∞F(a+jh)(t/h)jj¡.{\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.}

La serie de la derecha es el valor esperado de f ( a + X ) , donde X es una variable aleatoria con distribución de Poisson que toma el valor jh con probabilidad e − t / h · ⁠ ( t / h ) j / j ! ⁠ . Por lo tanto, [ 21 ]F(a+t)=límiteh→0+∫−∞∞F(a+incógnita)dPAGt/h,h(incógnita).{\displaystyle f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).}

La ley de los grandes números implica que la identidad se cumple. [ 20 ]

Convergencia y analiticidad

Una serie de Taylor se forma a partir de los valores de todas las derivadas de una función en un punto determinado, pero esto no implica necesariamente que la serie converja a la función original. En general, una serie de Taylor puede no converger o puede converger a una función distinta de la original.

Por ejemplo, la función F(incógnita)={mi−1/incógnita2si incógnita≠0,0si incógnita=0{\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0,\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}} es infinitamente diferenciable enincógnita=0{\displaystyle x=0}y todos sus derivados en0{\displaystyle 0}son iguales a cero. Su serie de Taylor en0{\displaystyle 0}es, por lo tanto, la serie cero, aunque la función en sí no sea idénticamente cero. Esto proporciona un ejemplo estándar de una función suave no analítica . [ 22 ]

La función e (−1/ x 2 ) no es analítica en x = 0 : la serie de Taylor es idénticamente 0 , aunque la función no lo sea.

De forma más general, la serie de Taylor de una función representa la función en un puntoincógnita{\displaystyle x}precisamente cuando los términos restantes en el teorema de Taylor tienden a cero en ese punto. Si F(incógnita)=∑k=0norteF(k)(a)k¡(incógnita−a)k+Rnorte(incógnita),{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x),} entonces la serie de Taylor converge aF(incógnita){\displaystyle f(x)}exactamente cuando límitenorte→∞Rnorte(incógnita)=0.{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0.}

Una función se denomina analítica en un punto si es igual a la suma de su serie de Taylor en algún intervalo abierto alrededor de ese punto, o, en el caso complejo, en algún disco abierto. De forma equivalente, una función es analítica en una región si está dada localmente por una serie de potencias convergente. Por lo tanto, si F(incógnita)=∑norte=0∞anorte(incógnita−b)norte{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}} cercab{\displaystyle b}, luego diferenciando la serie término por término y estableciendoincógnita=b{\displaystyle x=b}da anorte=F(norte)(b)norte¡.{\displaystyle a_{n}={\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}.} Así, la expansión en serie de potencias de una función analítica es su serie de Taylor. [ 23 ] [ 24 ]

En análisis real, la diferenciabilidad infinita no implica analiticidad, como muestra el ejemplo anterior. El lema de Borel implica que toda serie de potencias es la serie de Taylor de alguna función suave. Sin embargo, en análisis complejo, toda función holomorfa es analítica. [ 25 ] Una función cuya serie de Taylor converge a la función en todo el plano complejo se denomina función entera . Los polinomios, la función exponencial y las funciones seno y coseno son funciones enteras. [ 26 ]

Radio de convergencia

Para cualquier serie de potencias ∑norte=0∞donorte(incógnita−a)norte,{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},} hay un númeroR{\displaystyle R}, llamado radio de convergencia , de tal manera que la serie converge absolutamente para|incógnita−a|<R{\displaystyle |x-a|<R}y diverge para|incógnita−a|>R{\displaystyle |x-a|>R}[ 27 ] [ 28 ] El radio puede ser cero, finito y positivo, o infinito. Viene dado por la fórmula de Cauchy-Hadamard .1R=límite superiornorte→∞|donorte|1/norte,{\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n},} con las convenciones habituales paraR=0{\displaystyle R=0}yR=∞{\displaystyle R=\infty }Cuando existe el límite, la prueba de la razón a menudo da R=límitenorte→∞|donortedonorte+1|.{\displaystyle R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.}

Así, cuando una serie de Taylor converge, lo hace en un intervalo abierto centrado ena{\displaystyle a}en el caso real, o en un disco abierto centrado ena{\displaystyle a}en el caso complejo. El comportamiento en los puntos límite puede variar: la serie puede converger en algunos, en todos o en ninguno de ellos. [ 29 ]

Para una función analítica compleja, el radio de convergencia de la serie de Taylor ena{\displaystyle a}es la distancia desdea{\displaystyle a}al punto más cercano donde la función no puede continuarse holomorfamente. En muchos ejemplos comunes, esta es la distancia a la singularidad más cercana en el plano complejo. [ 30 ]

Esto explica los diferentes radios de convergencia para las series de Taylor conocidas. La serie paramiincógnita{\displaystyle e^{x}},pecado⁡incógnita{\displaystyle \sin x}, yporque⁡incógnita{\displaystyle \cos x}tienen radio de convergencia infinito porque estas funciones son enteras. Por el contrario, la serie de Taylor pararegistro⁡(1+incógnita){\displaystyle \log(1+x)}enincógnita=0{\displaystyle x=0}tiene radio de convergencia1{\displaystyle 1}, porque la singularidad más cercana está enincógnita=−1{\displaystyle x=-1}. [ 31 ]

Las singularidades complejas pueden determinar el radio de convergencia incluso para funciones que son suaves en la recta real. Por ejemplo, 11+incógnita2{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}} es suave para cada realincógnita{\displaystyle x}, pero su serie Taylor en0{\displaystyle 0}tiene radio de convergencia1{\displaystyle 1}, porque la función compleja correspondiente tiene singularidades enincógnita=i{\displaystyle x=i}yincógnita=−i{\displaystyle x=-i}. [ 30 ]

El radio de convergencia no debe confundirse con la calidad de la aproximación mediante un polinomio de Taylor de bajo grado. Un polinomio de Taylor puede aproximar una función con precisión cerca del centro, incluso si la serie de Taylor completa tiene un radio de convergencia pequeño. Por el contrario, cerca del límite del intervalo o disco de convergencia, la serie de Taylor puede converger lentamente. Fuera del radio de convergencia, la serie de Taylor no representa la función. [ 27 ] [ 32 ]

Generalizaciones cerca de singularidades

Una serie de Taylor no puede centrarse en un punto donde la función no sea analítica. Algunas singularidades, concretamente los polos , pueden explicarse mediante una serie de Laurent . SiF{\displaystyle f}tiene un polo de ordenk{\displaystyle k}enz=a{\displaystyle z=a}, luego cercaa{\displaystyle a}tiene una serie Laurent de la forma ∑norte=−k∞anorte(z−a)norte.{\displaystyle \sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.} Una función meromorfa es una función que es analítica excepto en polos aislados; cerca de cada polo tiene una serie de Laurent con solo un número finito de términos de potencia negativa. [ 33 ]

De forma más general, una función analítica en un anillor<|z−a|<R{\displaystyle r<|z-a|<R} tiene una serie convergente de Laurent de la forma ∑norte=−∞∞anorte(z−a)norte{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}} en ese anillo. [ 34 ]

Otros tipos de singularidades, a saber, los puntos de ramificación , pueden ocurrir para funciones algebraicas . SiF(z){\displaystyle f(z)}es una función algebraica de una variable complejaz{\displaystyle z}yz=a{\displaystyle z=a}es un punto de ramificación, entoncesF(z){\displaystyle f(z)}no es necesario tener una serie Taylor con sede enz=a{\displaystyle z=a}Sin embargo, después de un cambio de variables z−a=tmi,{\displaystyle z-a=t^{e},} dóndemi{\displaystyle e}es un entero positivo llamado índice de ramificación , una rama de la función se vuelve analítica como función det{\displaystyle t}. La expansión resultante en potencias fraccionarias dez−a{\displaystyle z-a}se conoce como una serie Puiseux . [ 35 ]

Series de Taylor en múltiples variables

La serie de Taylor también puede generalizarse a funciones de más de una variable con [ 36 ].T(incógnita1,…,incógnitad)=∑norte1=0∞⋯∑norted=0∞(incógnita1−a1)norte1⋯(incógnitad−ad)nortednorte1¡⋯norted¡(∂norte1+⋯+nortedF∂incógnita1norte1⋯∂incógnitadnorted)(a1,…,ad)=F(a1,…,ad)+∑j=1d∂F(a1,…,ad)∂incógnitaj(incógnitaj−aj)+12¡∑j=1d∑k=1d∂2F(a1,…,ad)∂incógnitaj∂incógnitak(incógnitaj−aj)(incógnitak−ak)+13¡∑j=1d∑k=1d∑l=1d∂3F(a1,…,ad)∂incógnitaj∂incógnitak∂incógnital(incógnitaj−aj)(incógnitak−ak)(incógnital−al)+⋯,=∑|α|≥0(incógnita−a)αα¡(∂αF)(a).{\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots ,\\&=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha !}}\left({\mathrm {\partial } ^{\alpha }}f\right)(\mathbf {a} ).\end{aligned}}} La última expresión es la serie de Taylor multivariada en términos de notación de índice múltiple con una analogía completa al caso de una sola variable.

Por ejemplo, para una función f ( x , y ) que depende de dos variables, x e y , la serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto ( a , b ) es F(a,b)+(incógnita−a)Fincógnita(a,b)+(y−b)Fy(a,b)+12¡((incógnita−a)2Fincógnitaincógnita(a,b)+2(incógnita−a)(y−b)Fincógnitay(a,b)+(y−b)2Fyy(a,b)){\displaystyle f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}} donde los subíndices denotan las respectivas derivadas parciales .

Series de Taylor de segundo orden en varias variables

Una expansión en serie de Taylor de segundo orden de una función escalar de más de una variable se puede escribir de forma compacta como T(incógnita)=F(a)+(incógnita−a)TDF(a)+12¡(incógnita−a)T{D2F(a)}(incógnita−a)+⋯,{\displaystyle T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,} donde D f ( a ) es el gradiente de f evaluado en x = a y D 2 f ( a ) es la matriz hessiana .

Ejemplo

Aproximación de la serie de Taylor de segundo orden (en naranja) de una función f ( x , y ) = e x ln(1 + y ) alrededor del origen.

Para calcular una expansión en serie de Taylor de segundo orden alrededor del punto ( a , b ) = (0, 0) de la función F(incógnita,y)=miincógnitaln⁡(1+y),{\displaystyle f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),} Primero se calculan todas las derivadas parciales necesarias: Fincógnita=miincógnitaln⁡(1+y),Fy=miincógnita1+y,Fincógnitaincógnita=miincógnitaln⁡(1+y),Fyy=−miincógnita(1+y)2,Fincógnitay=Fyincógnita=miincógnita1+y.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}},\\f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}},\\f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}}

La evaluación de estas derivadas en el origen proporciona los coeficientes de Taylor. Fincógnita(0,0)=0,Fy(0,0)=1,Fincógnitaincógnita(0,0)=0,Fyy(0,0)=−1,Fincógnitay(0,0)=1.{\displaystyle {\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0,&f_{y}(0,0)&=1,\\f_{xx}(0,0)&=0,&f_{yy}(0,0)&=-1,\\f_{xy}(0,0)&=1.\end{aligned}}}

Sustituyendo estos valores en la fórmula general T(incógnita,y)=F(a,b)+(incógnita−a)Fincógnita(a,b)+(y−b)Fy(a,b)+12¡((incógnita−a)2Fincógnitaincógnita(a,b)+2(incógnita−a)(y−b)Fincógnitay(a,b)+(y−b)2Fyy(a,b))+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&\qquad {}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}} produce T(incógnita,y)=0+0(incógnita−0)+1(y−0)+12(0(incógnita−0)2+2(incógnita−0)(y−0)+(−1)(y−0)2)+⋯=y+incógnitay−12y2+⋯{\displaystyle {\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}}

Dado que ln(1 + y ) es analítica en | y | < 1 , tenemos miincógnitaln⁡(1+y)=y+incógnitay−12y2+⋯,|y|<1.{\displaystyle e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.}

Aplicaciones

Los polinomios de Taylor se utilizan para aproximar funciones cerca de un punto. Conservar solo los primeros términos distintos de cero suele dar un modelo más simple de una expresión más compleja. Por ejemplo, la aproximación de ángulo pequeño. pecado⁡incógnita≈incógnita{\displaystyle \sin x\approx x} Proviene del primer término de la serie de Taylor para el seno, y las aproximaciones de orden superior se obtienen conservando más términos. Esta aproximación se utiliza ampliamente: por ejemplo, en óptica gaussiana , donde se estudia el comportamiento de los rayos de luz que forman pequeños ángulos con un eje, reemplazando la función seno por su aproximación lineal.

Estas aproximaciones se utilizan en matemáticas, física e ingeniería. En la teoría de perturbaciones , una cantidad compleja se suele expandir en potencias de un parámetro pequeño, y los primeros términos se utilizan como solución aproximada. Las expansiones de Taylor también aparecen en el análisis del péndulo simple y en métodos numéricos para aproximar funciones. [ 37 ] [ 38 ]

Historia

El antiguo filósofo griego Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para obtener un resultado finito, pero lo rechazó por imposibilidad; el resultado fue la paradoja de Zenón . [ 39 ] Posteriormente, Aristóteles propuso una solución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático aparentemente permaneció sin resolver hasta que Arquímedes lo abordó , como ya lo había hecho antes que Aristóteles el atomista presocrático Demócrito . Fue mediante el método de agotamiento de Arquímedes que se pudo realizar un número infinito de subdivisiones progresivas para obtener un resultado finito. [ 40 ] Liu Hui empleó de forma independiente un método similar unos siglos después. [ 41 ]

En el siglo XIV, el matemático indio Madhava de Sangamagrama dio los primeros ejemplos de series de Taylor específicas (pero no del método general) . [ 42 ] Aunque no se conserva ningún registro de su trabajo, los escritos de sus seguidores en la escuela de astronomía y matemáticas de Kerala sugieren que halló la serie de Taylor para las funciones trigonométricas de seno , coseno y arcotangente ; véase la serie de Madhava . Durante los dos siglos siguientes, sus seguidores desarrollaron expansiones en serie y aproximaciones racionales adicionales. [ 43 ]

A finales de 1670, James Gregory recibió una carta de John Collins donde se le mostraban varias series de Maclaurin ( sin x , cos x , arcsin x y x cot x ) derivadas por Isaac Newton , y se le informaba que Newton había desarrollado un método general para expandir funciones en series. En realidad, Newton había utilizado un método engorroso que implicaba la división larga de series y la integración término a término, pero Gregory lo desconocía y se propuso descubrir por sí mismo un método general. A principios de 1671 , Gregory descubrió algo parecido a la serie general de Maclaurin y envió una carta a Collins que incluía series para arctan x, tan x, sec x, ln sec x (la integral de tan), ln tan 1/2 (1/2 π + x ) ( la integral de sec , la función inversa de Gudermann ) , arcsec ( √2 e x ) y 2 arctan e x − 1/2 π ( la función de Gudermann ) . Sin embargo , pensando que simplemente había reformulado un método de Newton, Gregory nunca describió cómo obtuvo estas series, y solo se puede inferir que comprendió el método general examinando los bocetos que había garabateado en el reverso de otra carta de 1671. [ 44 ]

En 1691-1692, Newton escribió una formulación explícita de las series de Taylor y Maclaurin en una versión inédita de su obra De Quadratura Curvarum . Fue la primera formulación explícita de la serie general de Taylor. [ 45 ] Sin embargo, esta obra de Newton nunca se completó y las secciones relevantes se omitieron de las partes publicadas en 1704 bajo el título Tractatus de Quadratura Curvarum . [ 46 ]

No fue hasta 1715 que Brook Taylor publicó finalmente un método general para construir estas series para todas las funciones para las que existen , de quien ahora reciben su nombre. [ 47 ]

La serie de Maclaurin recibió su nombre de Colin Maclaurin , un matemático escocés que publicó un caso especial del resultado de Taylor a mediados del siglo XVIII. [ 48 ]

Lista de la serie de Maclaurin de algunas funciones comunes

A continuación se presentan varias expansiones importantes en series de Maclaurin. Todas estas expansiones son válidas para argumentos complejos x . Para funciones complejas multivaluadas, como logaritmos, potencias fraccionarias y funciones trigonométricas inversas, se entiende una rama principal .

Función exponencial

La función exponencial eˣ (en azul) y la suma de los primeros n + 1 términos de su serie de Taylor en 0 (en rojo) .

La función exponencial e x (con base e ) tiene una serie de Maclaurin [ 49 ]miincógnita=∑norte=0∞incógnitanortenorte¡=1+incógnita+incógnita22¡+incógnita33¡+⋯.{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .} Converge para todo x .

La función generadora exponencial de los números de Bell es la función exponencial del predecesor de la función exponencial: exp⁡(exp⁡incógnita−1)=∑norte=0∞Bnortenorte¡incógnitanorte{\displaystyle \exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}}

logaritmo natural

El logaritmo natural (con base e ) tiene una serie de Maclaurin [ 50 ].ln⁡(1−incógnita)=−∑norte=1∞incógnitanortenorte=−incógnita−incógnita22−incógnita33−⋯,ln⁡(1+incógnita)=∑norte=1∞(−1)norte+1incógnitanortenorte=incógnita−incógnita22+incógnita33−⋯.{\displaystyle {\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}}

La última serie se conoce como serie de Mercator , llamada así en honor a Nicholas Mercator, ya que fue publicada en su tratado Logarithmotechnia de 1668. [ 51 ] Ambas series convergen para | x | < 1 . Además, la serie para ln(1 − x ) converge para x = −1 , y la serie para ln(1 + x ) converge para x = 1 . [ 50 ]

Series geométricas

La serie geométrica y sus derivadas tienen series de Maclaurin. 11−incógnita=∑norte=0∞incógnitanorte1(1−incógnita)2=∑norte=1∞norteincógnitanorte−11(1−incógnita)3=∑norte=2∞(norte−1)norte2incógnitanorte−2.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}}

Todas convergen para | x | < 1 . Estos son casos especiales de las series binomiales que se presentan en la siguiente sección.

Serie binomial

La serie binomial es la serie de potencias

(1+incógnita)α=∑norte=0∞(αnorte)incógnitanorte{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}}

cuyos coeficientes son los coeficientes binomiales generalizados [ 52 ]

(αnorte)=∏k=1norteα−k+1k=α(α−1)⋯(α−norte+1)norte¡.{\displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.}

(Si n = 0 , este producto es un producto vacío y tiene valor 1 ). Converge para | x | < 1 para cualquier número real o complejo α .

Cuando α = −1 , se trata esencialmente de la serie geométrica infinita mencionada en la sección anterior. Los casos especiales α = ⁠ 1 / 2 ⁠ y α = − ⁠ 1 / 2 ⁠ dan la función raíz cuadrada y su inversa : [ 53 ](1+incógnita)12=1+12incógnita−18incógnita2+116incógnita3−5128incógnita4+7256incógnita5−⋯=∑norte=0∞(−1)norte−1(2norte)¡4norte(norte¡)2(2norte−1)incógnitanorte,(1+incógnita)−12=1−12incógnita+38incógnita2−516incógnita3+35128incógnita4−63256incógnita5+⋯=∑norte=0∞(−1)norte(2norte)¡4norte(norte¡)2incógnitanorte.{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}}

Cuando solo se conserva el término lineal , esto se simplifica a la aproximación binomial .

funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas usuales y sus inversas tienen la siguiente serie de Maclaurin: [ 54 ]pecado⁡incógnita=∑norte=0∞(−1)norte(2norte+1)¡incógnita2norte+1=incógnita−incógnita33¡+incógnita55¡−⋯a pesar de incógnitaporque⁡incógnita=∑norte=0∞(−1)norte(2norte)¡incógnita2norte=1−incógnita22¡+incógnita44¡−⋯a pesar de incógnitabroncearse⁡incógnita=∑norte=1∞B2norte(−4)norte(1−4norte)(2norte)¡incógnita2norte−1=incógnita+incógnita33+2incógnita515+⋯para |incógnita|<π2segundo⁡incógnita=∑norte=0∞(−1)nortemi2norte(2norte)¡incógnita2norte=1+incógnita22+5incógnita424+⋯para |incógnita|<π2arcoseno⁡incógnita=∑norte=0∞(2norte)¡4norte(norte¡)2(2norte+1)incógnita2norte+1=incógnita+incógnita36+3incógnita540+⋯para |incógnita|≤1arcos⁡incógnita=π2−arcoseno⁡incógnita=π2−incógnita−incógnita36−3incógnita540−⋯para |incógnita|≤1arctan⁡incógnita=∑norte=0∞(−1)norte2norte+1incógnita2norte+1=incógnita−incógnita33+incógnita55−⋯para |incógnita|≤1, incógnita≠±i{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}}

Todos los ángulos se expresan en radianes . Los números B k que aparecen en las expansiones de tan x son los números de Bernoulli . Los E k en la expansión de sec x son los números de Euler . [ 55 ]

funciones hiperbólicas

Las funciones hiperbólicas tienen series de Maclaurin estrechamente relacionadas con las series de las funciones trigonométricas correspondientes: [ 56 ]sinh⁡incógnita=∑norte=0∞incógnita2norte+1(2norte+1)¡=incógnita+incógnita33¡+incógnita55¡+⋯a pesar de incógnitaaporrear⁡incógnita=∑norte=0∞incógnita2norte(2norte)¡=1+incógnita22¡+incógnita44¡+⋯a pesar de incógnitatanh⁡incógnita=∑norte=1∞B2norte4norte(4norte−1)(2norte)¡incógnita2norte−1=incógnita−incógnita33+2incógnita515−17incógnita7315+⋯para |incógnita|<π2arsinh⁡incógnita=∑norte=0∞(−1)norte(2norte)¡4norte(norte¡)2(2norte+1)incógnita2norte+1=incógnita−incógnita36+3incógnita540−⋯para |incógnita|≤1artanh⁡incógnita=∑norte=0∞incógnita2norte+12norte+1=incógnita+incógnita33+incógnita55+⋯para |incógnita|≤1, incógnita≠±1{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}}

Los números B k que aparecen en la serie para tanh x son los números de Bernoulli . [ 56 ]

funciones polilogarítmicas

Los polilogaritmos tienen estas identidades definitorias: Li2(incógnita)=∑norte=1∞1norte2incógnitanorteLi3(incógnita)=∑norte=1∞1norte3incógnitanorte{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}}

Las funciones chi de Legendre se definen de la siguiente manera: χ2(incógnita)=∑norte=0∞1(2norte+1)2incógnita2norte+1χ3(incógnita)=∑norte=0∞1(2norte+1)3incógnita2norte+1{\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}

Y las fórmulas que se presentan a continuación se denominan integrales tangentes inversas : Ti2(incógnita)=∑norte=0∞(−1)norte(2norte+1)2incógnita2norte+1Ti3(incógnita)=∑norte=0∞(−1)norte(2norte+1)3incógnita2norte+1{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}}

Estas fórmulas aparecen en mecánica estadística . Las integrales que se encuentran en las estadísticas de Bose-Einstein y Fermi-Dirac se pueden expresar en términos de polilogaritmos. [ 57 ] El valor de la integral de la tangente inversaTi2(1/3){\displaystyle {\text{Ti}}_{2}(1/{\sqrt {3}})}aparece en la entropía por sitio de árboles de expansión en una gran red triangular . [ 58 ]

Funciones elípticas

Las integrales elípticas completas de primera especie K y de segunda especie E se pueden definir de la siguiente manera: 2πK(incógnita)=∑norte=0∞[(2norte)¡]216norte(norte¡)4incógnita2norte2πmi(incógnita)=∑norte=0∞[(2norte)¡]2(1−2norte)16norte(norte¡)4incógnita2norte{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}}

Las funciones theta de Jacobi describen el mundo de las funciones modulares elípticas y poseen estas series de Taylor: ϑ00(incógnita)=1+2∑norte=1∞incógnitanorte2ϑ01(incógnita)=1+2∑norte=1∞(−1)norteincógnitanorte2{\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}}

Véase también

Notas

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