óptica gaussiana

La óptica gaussiana es una técnica de óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman ángulos pequeños con el eje óptico del sistema. ^{[ 1 ]} En esta aproximación, las relaciones trigonométricas que rigen la propagación y la refracción se linealizan, de modo que se pueden obtener fórmulas sencillas para cantidades como la distancia focal , la posición de la imagen, la magnificación y el brillo.

La óptica gaussiana recibe su nombre del matemático y físico Carl Friedrich Gauss , quien demostró que un sistema óptico centrado puede caracterizarse mediante un conjunto de puntos cardinales , a partir de los cuales se pueden determinar sus propiedades ópticas de primer orden . ^{[ 2 ]} En términos modernos, la óptica gaussiana puede considerarse como la linealización de la dinámica hamiltoniana de los rayos de luz cerca del eje óptico.

La óptica gaussiana puede interpretarse como una aproximación lineal a la dinámica de los rayos de luz en un espacio de fase de posición y dirección, transversal al eje. ^{[ 3 ]} Trabajando en un modelo bidimensional simple, un rayo cerca del eje óptico puede especificarse por su altura${\displaystyle q}$y el ángulo${\displaystyle \theta }$Se forma con el paralelo al eje. Una variable${\displaystyle p=n\theta }$desempeña el papel de momento conjugado , donde${\displaystyle n}$es el índice de refracción del medio óptico. El par${\displaystyle (q,p)}$luego sirven como coordenadas en un espacio de fase bidimensional .

La propagación de rayos a través de un medio se describe, en primera aproximación, mediante una transformación lineal.

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{2}\\p_{2}\end{pmatrix}}=M{\begin{pmatrix}q_{1}\\p_{1}\end{pmatrix}},}$$

dónde${\displaystyle M}$es un${\displaystyle 2\times 2}$matriz. Para sistemas en la aproximación paraxial, esta matriz conserva la forma canónica.${\displaystyle dq\wedge dp}$y, por lo tanto, es una matriz simpléctica . En una dirección transversal, esto es equivalente a${\displaystyle \det M=1}$.

Por ejemplo, la propagación en un medio de índice de refracción${\displaystyle n}$, a través de una longitud geométrica${\displaystyle L}$, con refracción generada por una lente delgada de distancia focal${\displaystyle f}$está representada por la matriz $${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&L/n\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1/f&1\end{pmatrix}}.}$$ La primera matriz es donde la aproximación paraxial es más visible: un rayo paraxial libre satisface${\displaystyle q_{2}=q_{1}+L\tan \theta _{1}\approx q_{1}+L\theta _{1}=q_{1}+Lp_{1}/n.}$El efecto de la segunda matriz se puede entender tomando${\displaystyle L=0}$y${\displaystyle (q_{1},p_{1})=(f,1)}$, de modo que la altura inicial es${\displaystyle f}$y el ángulo inicial es${\displaystyle \theta _{1}=1/n}$. Entonces la altura de salida es la misma (no se recorre ninguna distancia desde la lente), y${\displaystyle p_{2}=0}$. Entonces${\displaystyle \theta _{2}=0}$y el efecto de la lente es enderezar este rayo en particular.

Un sistema con múltiples lentes se puede modelar multiplicando, en orden, matrices que representan las lentes y los espacios entre ellas. Una lente gruesa se puede modelar multiplicando una matriz que representa la refracción en la primera superficie de la lente, una matriz que representa la propagación a través del vidrio y una matriz que representa la refracción en la segunda superficie.