cis (matemáticas)

En matemáticas , cis es una función definida por cis x = cos x + i sin x , ^{[ nb 1 ]} donde cos es la función coseno , i es la unidad imaginaria y sin es la función seno . x es el argumento del número complejo (ángulo entre la línea que une un punto y el eje x en forma polar ). Es matemáticamente equivalente a la fórmula de Euler , e ^ix , que ofrece una notación aún más corta para cos x + i sin x , pero cis(x)se usa ampliamente como nombre para esta función en bibliotecas de software .

La notación cis es una forma abreviada de representar la combinación de funciones en el lado derecho de la fórmula de Euler :

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$

donde i ² = −1 . Entonces,

${\displaystyle \operatorname {cis} x=\cos x+i\sin x,}$^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

es decir, " cis " es un acrónimo de " cos i sin ".

Conecta las funciones trigonométricas con las funciones exponenciales en el plano complejo mediante la fórmula de Euler. Si bien el dominio de definición suele ser${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$valores complejos${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$También son posibles:

${\displaystyle \operatorname {cis} z=\cos z+i\sin z,}$

por lo que la función cis puede usarse para extender la fórmula de Euler a una versión compleja más general . ^{[ 5 ]}

La función se utiliza principalmente como una notación abreviada conveniente para simplificar algunas expresiones, ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} por ejemplo en conjunto con las transformadas de Fourier y Hartley , ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} o cuando las funciones exponenciales no deben usarse por alguna razón en la enseñanza de las matemáticas.

En tecnología de la información, la función cuenta con soporte dedicado en varias bibliotecas matemáticas de alto rendimiento (como la Biblioteca de Núcleo Matemático (MKL) de Intel ^{[ 12 ]} o MathCW ^{[ 13 ]} ), disponibles para muchos compiladores y lenguajes de programación (incluidos C , C++ , ^{[ 14 ]} Common Lisp , ^{[ 15 ] [ 16 ]} D , ^{[ 17 ]} Haskell , ^{[ 18 ]} Julia , ^{[ 19 ]} y Rust ^{[ 20 ]} ). Dependiendo de la plataforma, la operación fusionada es aproximadamente el doble de rápida que llamar a las funciones seno y coseno individualmente. ^{[ 17 ] [ 3 ]}

La notación cis fue acuñada por primera vez por William Rowan Hamilton en Elements of Quaternions (1866) ^{[ 23 ] [ 24 ]} y posteriormente utilizada por Irving Stringham (quien también la llamó " sector de x ") en obras como Uniplanar Algebra (1893), ^{[ 25 ] [ 26 ]} James Harkness y Frank Morley en su Introduction to the Theory of Analytic Functions (1898), ^{[ 26 ] [ 27 ]} o por George Ashley Campbell (quien también se refirió a ella como "oscilación cisoidal") en sus obras sobre líneas de transmisión (1901 ) e integrales de Fourier (1928). ^{[ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]}

En 1942, inspirado por la notación cis , Ralph VL Hartley introdujo la función cas (por coseno y seno ) para el núcleo de Hartley de valor real , un atajo ya establecido en conjunto con las transformaciones de Hartley : ^{[ 31 ] [ 32 ]}

${\displaystyle \operatorname {cas} x=\cos x+\sin x.}$

La notación cis se utiliza a veces para enfatizar un método de visualización y resolución de un problema sobre otro. ^{[ 33 ]} Las matemáticas de la trigonometría y las exponenciales están relacionadas, pero no son exactamente iguales; la notación exponencial enfatiza el todo, mientras que las notaciones cis x y cos x + i sin x enfatizan las partes. Esto puede ser útil retóricamente para matemáticos e ingenieros al hablar de esta función, y además sirve como regla mnemotécnica (para cos + i sin ). ^{[ 30 ]}

La notación cis es conveniente para los estudiantes de matemáticas cuyo conocimiento de trigonometría y números complejos les permite usar esta notación, pero cuya comprensión conceptual aún no les permite usar la notación e ^ix . La demostración habitual de que cis x = e ^ix requiere cálculo , que el estudiante puede no haber estudiado antes de encontrarse con la expresión cos x + i sin x .

Esta notación era más común cuando se utilizaban máquinas de escribir para transmitir expresiones matemáticas.

• Número complejo
• La fórmula de De Moivre
• Fórmula de Euler
• Fasor
• El teorema de Ptolomeo
• Versor