Conjunto difuso

Para cualquier conjunto difuso${\displaystyle A=(U,m)}$y${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$Se definen los siguientes conjuntos clásicos:

• ${\displaystyle A^{\geq \alpha }=A_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)\geq \alpha \}}$se denomina su corte α (también conocido como conjunto de nivel α )
• ${\displaystyle A^{>\alpha }=A'_{\alpha }=\{x\in U\mid m(x)>\alpha \}}$se denomina su corte α fuerte (también conocido como conjunto de nivel α fuerte )
• ${\displaystyle S(A)=\operatorname {Supp} (A)=A^{>0}=\{x\in U\mid m(x)>0\}}$se llama su apoyo
• ${\displaystyle C(A)=\operatorname {Core} (A)=A^{=1}=\{x\in U\mid m(x)=1\}}$se le llama su núcleo (o a veces kernel)${\displaystyle \operatorname {Kern} (A)}$).

Tenga en cuenta que algunos autores entienden "núcleo" de una manera diferente; véase más abajo.

• Un conjunto difuso${\displaystyle A=(U,m)}$está vacío (${\displaystyle A=\varnothing }$) si y solo si

${\displaystyle \forall }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)=m(x)=0}$

• Dos conjuntos difusos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$son iguales (${\displaystyle A=B}$) si y solo si

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$

• Un conjunto difuso${\displaystyle A}$está incluido en un conjunto difuso${\displaystyle B}$(${\displaystyle A\subseteq B}$) si y solo si

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)\leq \mu _{B}(x)}$

• Para cualquier conjunto difuso${\displaystyle A}$cualquier elemento${\displaystyle x\in U}$que satisface

${\displaystyle \mu _{A}(x)=0.5}$

Se denomina punto de cruce .

• Dado un conjunto difuso${\displaystyle A}$, cualquier${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$, para el cual${\displaystyle A^{=\alpha }=\{x\in U\mid \mu _{A}(x)=\alpha \}}$no está vacío, se llama nivel A.
• El conjunto de niveles de A es el conjunto de todos los niveles.${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$representando cortes distintos. Es la imagen de${\displaystyle \mu _{A}}$:

${\displaystyle \Lambda _{A}=\{\alpha \in [0,1]:A^{=\alpha }\neq \varnothing \}=\{\alpha \in [0,1]:{}}$${\displaystyle \exists }$${\displaystyle x\in U(\mu _{A}(x)=\alpha )\}=\mu _{A}(U)}$

• Para un conjunto difuso${\displaystyle A}$, su altura viene dada por

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=\sup\{\mu _{A}(x)\mid x\in U\}=\sup(\mu _{A}(U))}$

dónde${\displaystyle \sup }$denota el supremo , que existe porque${\displaystyle \mu _{A}(U)}$es no vacío y está acotado superiormente por 1. Si U es finito, podemos simplemente reemplazar el supremo por el máximo.

• Un conjunto difuso${\displaystyle A}$Se dice que está normalizado si y solo si

${\displaystyle \operatorname {Hgt} (A)=1}$

En el caso finito, donde el supremo es un máximo, esto significa que al menos un elemento del conjunto difuso tiene pertenencia completa. Un conjunto difuso no vacío${\displaystyle A}$puede normalizarse con el resultado${\displaystyle {\tilde {A}}}$dividiendo la función de pertenencia del conjunto difuso por su altura:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\tilde {A}}(x)=\mu _{A}(x)/\operatorname {Hgt} (A)}$

Además de las similitudes, esto difiere de la normalización habitual en que la constante de normalización no es una suma.

• Para conjuntos difusos${\displaystyle A}$de números reales${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} )}$con soporte limitado , el ancho se define como

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\sup(\operatorname {Supp} (A))-\inf(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso de que${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$es un conjunto finito, o más generalmente un conjunto cerrado , el ancho es simplemente

${\displaystyle \operatorname {Width} (A)=\max(\operatorname {Supp} (A))-\min(\operatorname {Supp} (A))}$

En el caso n -dimensional${\displaystyle (U\subseteq \mathbb {R} ^{n})}$lo anterior puede ser reemplazado por el volumen n -dimensional de${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$.

En general, esto se puede definir dada cualquier medida en U , por ejemplo mediante la integración (por ejemplo, la integración de Lebesgue ) de${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$.

• Un conjunto realmente difuso${\displaystyle A(U\subseteq \mathbb {R} )}$Se dice que es convexo (en el sentido difuso, que no debe confundirse con un conjunto convexo nítido ), si y solo si

${\displaystyle \forall x,y\in U,\forall \lambda \in [0,1]:\mu _{A}(\lambda {x}+(1-\lambda )y)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Sin pérdida de generalidad, podemos tomar x ≤ y , lo que da la formulación equivalente.

${\displaystyle \forall z\in [x,y]:\mu _{A}(z)\geq \min(\mu _{A}(x),\mu _{A}(y))}$.

Esta definición puede extenderse a una para un espacio topológico general U : decimos que es el conjunto difuso.${\displaystyle A}$es convexo cuando, para cualquier subconjunto Z de U , la condición

${\displaystyle \forall z\in Z:\mu _{A}(z)\geq \inf(\mu _{A}(\partial Z))}$

sostiene, donde${\displaystyle \partial Z}$denota el límite de Z y${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$denota la imagen de un conjunto X (aquí${\displaystyle \partial Z}$) bajo una función f (aquí${\displaystyle \mu _{A}}$).

Si bien el complemento de un conjunto difuso tiene una única definición más común, las otras operaciones principales, la unión y la intersección, presentan cierta ambigüedad.

• Para un conjunto difuso dado${\displaystyle A}$, su complemento${\displaystyle \neg {A}}$(a veces se denota como${\displaystyle A^{c}}$o${\displaystyle cA}$) se define mediante la siguiente función de pertenencia:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$.

• Sea t una t-norma y s la s-norma correspondiente (también conocida como t-conorma). Dado un par de conjuntos difusos${\displaystyle A,B}$su intersección${\displaystyle A\cap {B}}$se define por:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cap {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

y su unión${\displaystyle A\cup {B}}$se define por:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=s(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

Por definición de la t-norma, vemos que la unión y la intersección son conmutativas , monótonas , asociativas y tienen un elemento nulo y un elemento identidad . Para la intersección, estos son ∅ y U , respectivamente, mientras que para la unión, se invierten. Sin embargo, la unión de un conjunto difuso y su complemento puede no resultar en el universo completo U , y la intersección de ambos puede no dar el conjunto vacío ∅. Dado que la intersección y la unión son asociativas, es natural definir la intersección y la unión de una familia finita de conjuntos difusos de forma recursiva. Cabe destacar que los operadores estándar generalmente aceptados para la unión y la intersección de conjuntos difusos son los operadores máximo y mínimo.

• ${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\cup {B}}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$y${\displaystyle \mu _{A\cap {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$. ^{[ 6 ]}
• Si el negador estándar${\displaystyle n(\alpha )=1-\alpha ,\alpha \in [0,1]}$es reemplazado por otro negador fuerte , la diferencia de conjunto difuso (definida a continuación) puede generalizarse por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{\neg {A}}(x)=n(\mu _{A}(x)).}$

• La terna formada por la intersección, la unión y el complemento difusos constituye una terna de De Morgan . Es decir, las leyes de De Morgan se extienden a esta terna.

Se pueden obtener ejemplos de pares de intersección/unión difusos con negador estándar a partir de las muestras proporcionadas en el artículo sobre t-normas .

La intersección difusa no es idempotente en general, ya que la norma t estándar min es la única que posee esta propiedad. De hecho, si se utiliza la multiplicación aritmética como norma t, la operación de intersección difusa resultante no es idempotente. Es decir, calcular iterativamente la intersección de un conjunto difuso consigo mismo no es trivial. En cambio, define la m -ésima potencia de un conjunto difuso, que puede generalizarse canónicamente para exponentes no enteros de la siguiente manera:

• Para cualquier conjunto difuso${\displaystyle A}$y${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} ^{+}}$la n -ésima potencia de${\displaystyle A}$se define mediante la función de pertenencia:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A^{\nu }}(x)=\mu _{A}(x)^{\nu }.}$

El caso del exponente dos es lo suficientemente especial como para tener un nombre.

• Para cualquier conjunto difuso${\displaystyle A}$la concentración${\displaystyle CON(A)=A^{2}}$se define

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{CON(A)}(x)=\mu _{A^{2}}(x)=\mu _{A}(x)^{2}.}$

Tomando${\displaystyle 0^{0}=1}$, tenemos${\displaystyle A^{0}=U}$y${\displaystyle A^{1}=A.}$

• Dados conjuntos difusos${\displaystyle A,B}$, la diferencia del conjunto difuso${\displaystyle A\setminus B}$, también denotado${\displaystyle A-B}$, puede definirse directamente mediante la función de pertenencia:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=t(\mu _{A}(x),n(\mu _{B}(x))),}$

lo que significa${\displaystyle A\setminus B=A\cap \neg {B}}$, p.ej:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\setminus {B}}(x)=\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

Otra propuesta para una diferencia de conjunto podría ser:

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A-{B}}(x)=\mu _{A}(x)-t(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x)).}$^{[ 7 ]}

• Dubois y Prade (1980) hicieron propuestas para diferencias de conjuntos difusos simétricos, ya sea tomando el valor absoluto , dando

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|,}$

o mediante el uso de una combinación de solo max , min y negación estándar, dando como resultado

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A\triangle B}(x)=\max(\min(\mu _{A}(x),1-\mu _{B}(x)),\min(\mu _{B}(x),1-\mu _{A}(x))).}$^{[ 7 ]}

Vemur et al. (2014) propusieron axiomas para la definición de diferencias simétricas generalizadas análogas a las de las t-normas, t-conormas y negadores, con precedentes de Alsina et al. (2005) y Bedregal et al. (2009). ^{[ 7 ]}

• A diferencia de los conjuntos clásicos, también se pueden definir operaciones de promediado para conjuntos difusos.

A diferencia de la ambigüedad general de las operaciones de intersección y unión, existe claridad para los conjuntos difusos disjuntos: Dos conjuntos difusos${\displaystyle A,B}$son disjuntos si y solo si

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)=0\lor \mu _{B}(x)=0}$

lo cual es equivalente a

${\displaystyle \nexists }$${\displaystyle x\in U:\mu _{A}(x)>0\land \mu _{B}(x)>0}$

y también equivalente a

${\displaystyle \forall x\in U:\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))=0}$

Tenemos en cuenta que min / max es un par at/s-norm, y cualquier otro también funcionará aquí.

Los conjuntos difusos son disjuntos si y solo si sus soportes son disjuntos según la definición estándar de conjuntos clásicos.

Para conjuntos difusos disjuntos${\displaystyle A,B}$cualquier intersección dará ∅, y cualquier unión dará el mismo resultado, que se denota como

${\displaystyle A\,{\dot {\cup }}\,B=A\cup B}$

con su función de pertenencia dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A{\dot {\cup }}B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)}$

Nótese que solo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para conjuntos difusos disjuntos${\displaystyle A,B}$Lo siguiente es cierto:

${\displaystyle \operatorname {Supp} (A\,{\dot {\cup }}\,B)=\operatorname {Supp} (A)\cup \operatorname {Supp} (B)}$

Esto se puede generalizar a familias finitas de conjuntos difusos de la siguiente manera: Dada una familia${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$de conjuntos difusos con conjunto de índices I (por ejemplo, I = {1,2,3,..., n }). Esta familia es disjunta (por pares) si y solo si

${\displaystyle {\text{for all }}x\in U{\text{ there exists at most one }}i\in I{\text{ such that }}\mu _{A_{i}}(x)>0.}$

Una familia de conjuntos difusos${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$es disjunto, si y solo si la familia de soportes subyacentes${\displaystyle \operatorname {Supp} \circ A=(\operatorname {Supp} (A_{i}))_{i\in I}}$es disjunto en el sentido estándar para familias de conjuntos nítidos.

Independientemente del par de normas t/s, la intersección de una familia disjunta de conjuntos difusos dará ∅ de nuevo, mientras que la unión no tiene ambigüedad:

${\displaystyle {\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}=\bigcup _{i\in I}A_{i}}$

con su función de pertenencia dada por

${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{{\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}A_{i}}(x)=\sum _{i\in I}\mu _{A_{i}}(x)}$

Nuevamente, solo uno de los sumandos es mayor que cero.

Para familias disjuntas de conjuntos difusos${\displaystyle A=(A_{i})_{i\in I}}$Lo siguiente es cierto:

${\displaystyle \operatorname {Supp} \left({\dot {\bigcup \limits _{i\in I}}}\,A_{i}\right)=\bigcup \limits _{i\in I}\operatorname {Supp} (A_{i})}$

Para un conjunto difuso${\displaystyle A}$con soporte finito${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$(es decir, un "conjunto difuso finito"), su cardinalidad (también conocida como cardinalidad escalar o recuento sigma ) viene dada por

${\displaystyle \operatorname {Card} (A)=\operatorname {sc} (A)=|A|=\sum _{x\in U}\mu _{A}(x)}$.

En el caso de que U sea un conjunto finito, la cardinalidad relativa viene dada por

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A)=\|A\|=\operatorname {sc} (A)/|U|=|A|/|U|}$.

Esto se puede generalizar para que el divisor sea un conjunto difuso no vacío: Para conjuntos difusos${\displaystyle A,G}$Con G ≠ ∅, podemos definir la cardinalidad relativa mediante:

${\displaystyle \operatorname {RelCard} (A,G)=\operatorname {sc} (A|G)=\operatorname {sc} (A\cap {G})/\operatorname {sc} (G)}$,

que se parece mucho a la expresión de probabilidad condicional . Nota:

• ${\displaystyle \operatorname {sc} (G)>0}$aquí.
• El resultado puede depender de la intersección específica (norma t) elegida.
• Para${\displaystyle G=U}$El resultado es inequívoco y se asemeja a la definición anterior.

Para cualquier conjunto difuso${\displaystyle A}$la función de membresía${\displaystyle \mu _{A}:U\to [0,1]}$puede ser considerado como una familia${\displaystyle \mu _{A}=(\mu _{A}(x))_{x\in U}\in [0,1]^{U}}$Este último es un espacio métrico con varias métricas .${\displaystyle d}$Conocido. Se puede derivar una métrica a partir de una norma (norma vectorial).${\displaystyle \|\,\|}$a través de

${\displaystyle d(\alpha ,\beta )=\|\alpha -\beta \|}$.

Por ejemplo, si${\displaystyle U}$es finito, es decir${\displaystyle U=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}}$, dicha métrica puede definirse mediante:

${\displaystyle d(\alpha ,\beta ):=\max\{|\alpha (x_{i})-\beta (x_{i})|:i=1,...,n\}}$dónde${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$son secuencias de números reales entre 0 y 1.

Para infinito${\displaystyle U}$El máximo puede ser reemplazado por un supremo. Dado que los conjuntos difusos se definen inequívocamente por su función de pertenencia, esta métrica puede utilizarse para medir distancias entre conjuntos difusos en el mismo universo:

${\displaystyle d(A,B):=d(\mu _{A},\mu _{B})}$,

que se convierte en el ejemplo anterior:

${\displaystyle d(A,B)=\max\{|\mu _{A}(x_{i})-\mu _{B}(x_{i})|:i=1,...,n\}}$.

De nuevo por infinito${\displaystyle U}$el máximo debe ser reemplazado por un supremo. Otras distancias (como la norma 2 canónica) pueden divergir, si los conjuntos difusos infinitos son demasiado diferentes, por ejemplo,${\displaystyle \varnothing }$y${\displaystyle U}$.

Medidas de similitud (aquí denotadas por${\displaystyle S}$) puede derivarse entonces de la distancia, por ejemplo, siguiendo una propuesta de Koczy:

${\displaystyle S=1/(1+d(A,B))}$si${\displaystyle d(A,B)}$es finito,${\displaystyle 0}$demás,

o después de Williams y Steele:

${\displaystyle S=\exp(-\alpha {d(A,B)})}$si${\displaystyle d(A,B)}$es finito,${\displaystyle 0}$demás

dónde${\displaystyle \alpha >0}$es un parámetro de pendiente y${\displaystyle \exp(x)=e^{x}}$.

En ocasiones, se utilizan variantes más generales de la noción de conjunto difuso, con funciones de pertenencia que toman valores en un álgebra o estructura (fija o variable).${\displaystyle L}$de un tipo determinado; por lo general se requiere que${\displaystyle L}$ser al menos un poset o retículo . Estos se denominan habitualmente conjuntos L -difusos , para distinguirlos de aquellos valorados sobre el intervalo unitario. Las funciones de pertenencia usuales con valores en [0, 1] se denominan entonces funciones de pertenencia con valores en [0, 1]. Este tipo de generalizaciones fueron consideradas por primera vez en 1967 por Joseph Goguen , alumno de Zadeh. ^{[ 8 ]} Un corolario clásico puede ser indicar los valores de verdad y pertenencia mediante {f, t} en lugar de {0, 1}.

Atanassov proporcionó una extensión de los conjuntos difusos . Un conjunto difuso intuicionista (IFS)${\displaystyle A}$Se caracteriza por dos funciones:

1.${\displaystyle \mu _{A}(x)}$– grado de pertenencia a x

2.${\displaystyle \nu _{A}(x)}$– grado de no pertenencia a x

con funciones${\displaystyle \mu _{A},\nu _{A}:U\to [0,1]}$con${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$.

Esto se asemeja a una situación como la de alguna persona designada por${\displaystyle x}$votación

• para una propuesta${\displaystyle A}$: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=1,\nu _{A}(x)=0}$),
• en contra de ello: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=0,\nu _{A}(x)=1}$),
• o abstenerse de votar: (${\displaystyle \mu _{A}(x)=\nu _{A}(x)=0}$).

Al fin y al cabo, tenemos un porcentaje de aprobaciones, un porcentaje de denegaciones y un porcentaje de abstenciones.

Para esta situación, se pueden definir negadores "intuitivos difusos" especiales, normas t y s. Con${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta )\in [0,1]^{2}:\alpha +\beta =1\}}$y combinando ambas funciones para${\displaystyle (\mu _{A},\nu _{A}):U\to D^{*}}$Esta situación se asemeja a un tipo especial de conjuntos L -difusos.

Una vez más, esto se ha ampliado definiendo conjuntos difusos de imágenes (PFS) de la siguiente manera: Un PFS A se caracteriza por tres funciones que asignan U a [0, 1]:${\displaystyle \mu _{A},\eta _{A},\nu _{A}}$, "grado de pertenencia positiva", "grado de pertenencia neutral" y "grado de pertenencia negativa" respectivamente y condición adicional${\displaystyle \forall x\in U:\mu _{A}(x)+\eta _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$ Esto amplía la muestra de votación anterior con una posibilidad adicional de "negativa a votar".

Con${\displaystyle D^{*}=\{(\alpha ,\beta ,\gamma )\in [0,1]^{3}:\alpha +\beta +\gamma =1\}}$y negadores especiales "borrosos de imagen", normas t y s, esto se asemeja a otro tipo de conjuntos L -borrosos. ^{[ 9 ]}

Una extensión de los conjuntos difusos intuicionistas (IFS) son los conocidos como conjuntos difusos pitagóricos. Dichos conjuntos satisfacen la restricción${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$, lo cual recuerda al teorema de Pitágoras. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} Los conjuntos difusos pitagóricos pueden aplicarse a aplicaciones de la vida real en las que la condición previa de${\displaystyle \mu _{A}(x)+\nu _{A}(x)\leq 1}$no es válido. Sin embargo, la condición menos restrictiva de${\displaystyle \mu _{A}(x)^{2}+\nu _{A}(x)^{2}\leq 1}$puede ser adecuado en más dominios. ^{[ 13 ] [ 14 ]}