subálgebra difusa

La teoría de subálgebras difusas es un capítulo de la teoría de conjuntos difusos . Se obtiene a partir de una interpretación en una lógica multivaluada de axiomas que generalmente expresan la noción de subálgebra de una estructura algebraica dada .

Consideremos un lenguaje de primer orden para estructuras algebraicas con un símbolo de predicado monádico S. Entonces, una subálgebra difusa es un modelo difuso de una teoría que contiene, para cualquier operación n -aria h, los axiomas

${\displaystyle \forall x_{1},...,\forall x_{n}(S(x_{1})\land .....\land S(x_{n})\rightarrow S(h(x_{1},...,x_{n}))}$

y, para cualquier constante c, S(c).

El primer axioma expresa el cierre de S con respecto a la operación h, y el segundo expresa el hecho de que c es un elemento en S. Como ejemplo, supongamos que la estructura de valoración está definida en [0,1] y denotemos por${\displaystyle \odot }$la operación en [0,1] se utiliza para interpretar la conjunción. Entonces, una subálgebra difusa de una estructura algebraica cuyo dominio es D se define mediante un subconjunto difuso s  : D → [0,1] de D tal que, para cada d ₁ ,...,d _n en D, si h es la interpretación del símbolo de operación n-aria h, entonces

• ${\displaystyle s(d_{1})\odot ...\odot s(d_{n})\leq s(\mathbf {h} (d_{1},...,d_{n}))}$

Además, si c es la interpretación de una constante c tal que s( c ) = 1.

Una clase de subálgebras difusas ampliamente estudiada es aquella en la que la operación${\displaystyle \odot }$coincide con el mínimo. En tal caso, es inmediato demostrar la siguiente proposición.

Proposición. Un subconjunto difuso s de una estructura algebraica define una subálgebra difusa si y solo si para cada λ en [0,1], el corte cerrado {x ∈ D  : s(x)≥ λ} de s es una subálgebra.

Los subgrupos difusos y los submonoides difusos son clases particularmente interesantes de subálgebras difusas. En tal caso, un subconjunto difuso s de un monoide (M,•, u ) es un submonoide difuso si y solo si

1. ${\displaystyle s(\mathbf {u} )=1}$
2. ${\displaystyle s(x)\odot s(y)\leq s(x\cdot y)}$

donde u es el elemento neutro en A.

Dado un grupo G, un subgrupo difuso de G es un submonoide difuso s de G tal que

• s(x) ≤ s(x ⁻¹ ).

Es posible demostrar que la noción de subgrupo difuso está estrictamente relacionada con las nociones de equivalencia difusa . De hecho, supongamos que S es un conjunto, G un grupo de transformaciones en S y (G,s) un subgrupo difuso de G. Entonces, al establecer

• e(x,y) = Sup{s(h)  : h es un elemento en G tal que h(x) = y}

obtenemos una equivalencia difusa. Recíprocamente, sea e una equivalencia difusa en S y, para cada transformación h de S, definamos

• s(h)= Inf{e(x,h(x)): x∈S}.

Entonces, s define un subgrupo difuso de transformación en S. De manera similar, podemos relacionar los submonoides difusos con los órdenes difusos.

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