secuencia de Fibonacci

La secuencia de Fibonacci aparece en las matemáticas indias , en relación con la prosodia sánscrita . ^{[ 4 ] [ 11 ] [ 12 ]} En la tradición poética sánscrita, existía interés en enumerar todos los patrones de sílabas largas (L) de 2 unidades de duración, yuxtapuestas con sílabas cortas (S) de 1 unidad de duración. Contando los diferentes patrones de L y S sucesivas con una duración total dada se obtienen los números de Fibonacci: el número de patrones de duración m unidades es F _{m +1} . ^{[ 5 ]}

El conocimiento de la secuencia de Fibonacci se expresó ya en Pingala ( c.  450  a. C.–200  a. C.). Singh cita la fórmula críptica de Pingala misrau cha ("los dos están mezclados") y a los eruditos que la interpretan en contexto como diciendo que el número de patrones para m tiempos ( F _{m +1} ) se obtiene añadiendo un [S] a los casos F _m y un [L] a los casos F _{m −1 .} ^{[ 13 ]} Bharata Muni también expresa conocimiento de la secuencia en el Natya Shastra ( c.  100  a. C.–c. 350 d . C.). ^{[ 3 ] [ 4 ]} Sin embargo, la exposición más clara de la secuencia surge en la obra de Virahanka ( c. 700 d. C.), cuya propia obra se ha perdido, pero está disponible en una cita de Gopala ( c. 1135): ^{[ 12 ]}     

Variaciones de dos metros anteriores [es la variación]  ... Por ejemplo, para [un metro de longitud] cuatro, al mezclarse variaciones de metros de dos [y] tres, se obtiene cinco. [resuelve los ejemplos 8, 13, 21]  ... De esta manera, el proceso debe seguirse en todas las mātrā-vṛttas [combinaciones prosódicas]. ^{[ a ]}

A Hemachandra ( c.  1150) también se le atribuye el conocimiento de la secuencia, ^{[ 3 ]} escribiendo que "la suma del último y el anterior es el número  ... del siguiente mātrā-vṛtta". ^{[ 15 ] [ 16 ]}

La secuencia de Fibonacci aparece por primera vez en el libro Liber Abaci ( El Libro de Cálculos , 1202) de Fibonacci , ^{[ 17 ] [ 18 ]} donde se utiliza para calcular el crecimiento de poblaciones de conejos. ^{[ 19 ]} Fibonacci considera el crecimiento de una población de conejos idealizada ( biológicamente irreal) , asumiendo que: una pareja reproductora recién nacida se coloca en un campo; cada pareja reproductora se aparea a la edad de un mes, y al final de su segundo mes siempre producen otra pareja de conejos; y los conejos nunca mueren, sino que continúan reproduciéndose para siempre. Fibonacci planteó el problema matemático del conejo : ¿cuántas parejas habrá en un año?

• Al final del primer mes, se aparean, pero sigue habiendo solo una pareja.
• Al final del segundo mes, producen una nueva pareja, por lo que hay 2 parejas en el campo.
• Al final del tercer mes, la pareja original produce una segunda pareja, pero esta segunda pareja solo se aparea para gestar durante un mes, por lo que hay 3 parejas en total.
• Al final del cuarto mes, la pareja original ha producido otra nueva pareja, y la pareja nacida hace dos meses también produce su primera pareja, con lo que suma 5 parejas.

Al final del n -ésimo mes, el número de parejas de conejos es igual al número de parejas maduras (es decir, el número de parejas en el mes n – 2 ) más el número de parejas vivas el mes anterior (mes n – 1 ). El número en el n -ésimo mes es el n -ésimo número de Fibonacci. ^{[ 20 ]}

El nombre "secuencia de Fibonacci" fue utilizado por primera vez por el teórico de números del siglo XIX Édouard Lucas . ^{[ 21 ]}

Como toda secuencia definida por una recurrencia lineal homogénea con coeficientes constantes , los números de Fibonacci tienen una expresión de forma cerrada . ^{[ 22 ]} Se la conoce como la fórmula de Binet , llamada así en honor al matemático francés Jacques Philippe Marie Binet , aunque ya era conocida por Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli : ^{[ 23 ]}

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

donde​${\displaystyle \varphi }$⁠ ( phi ) es la proporción áurea y ⁠${\displaystyle \psi }$⁠ ( psi ) es su conjugado , ^{[ 24 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}}$$

Los números${\displaystyle \varphi }$y​​${\displaystyle \psi }$son las dos soluciones de la ecuación cuadrática${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$⁠ , es decir, ⁠${\displaystyle (x-\varphi )(x-\psi )=x^{2}-x-1}$⁠ , y por lo tanto satisfacen las identidades ⁠${\displaystyle \varphi +\psi =1}$y​​${\displaystyle \varphi \psi =-1}$⁠ .

Desde${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$La fórmula de Binet también se puede escribir como

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

Para ver la relación entre la secuencia y estas constantes, ^{[ 25 ]} observe que${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle \psi }$son también raíces de${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$así que los poderes de${\displaystyle \varphi }$y${\displaystyle \psi }$Satisfacer la recurrencia de Fibonacci. En otras palabras,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

De ello se deduce que para cualesquiera valores a y b , la secuencia definida por

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

satisface la misma recurrencia. Si a y b se eligen de modo que U ₀ = 0 y U ₁ = 1 , entonces la secuencia resultante U _n debe ser la secuencia de Fibonacci. Esto es lo mismo que exigir que a y b satisfagan el sistema de ecuaciones:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}}$$

que tiene solución

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

produciendo la fórmula requerida.

Tomando los valores iniciales U ₀ y U ₁ como constantes arbitrarias y resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene la solución general. $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$ En particular, elegir a = 1 hace que el n -ésimo elemento de la secuencia se aproxime mucho a la n -ésima potencia de ⁠${\displaystyle \varphi }$para valores suficientemente grandes de n . Esto ocurre cuando U ₀ = 2 y U ₁ = 1 , lo que produce la secuencia de números de Lucas .

Desde ${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$para todo n ≥ 0 , el número F _n es el entero más cercano a${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$Por lo tanto, se puede encontrar redondeando , utilizando la función de entero más cercano: $${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

De hecho, el error de redondeo se vuelve muy pequeño rápidamente a medida que n crece, siendo menor que 0,1 para n ≥ 4 y menor que 0,01 para n ≥ 8. Esta fórmula se puede invertir fácilmente para hallar un índice de un número de Fibonacci F : $${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

En cambio, usar la función piso da el índice más grande de un número de Fibonacci que no es mayor que F : $${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$ dónde${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$,${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$, ^{[ 26 ]} y${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$. ^{[ 27 ]}

Dado que F _n es asintótica a${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$, el número de dígitos en F _n es asintótico a${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$. En consecuencia, para cada entero d > 1 hay 4 o 5 números de Fibonacci con d dígitos decimales.

De forma más general, en la representación en base b , el número de dígitos en F _n es asintótico a${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

Johannes Kepler observó que la razón entre números de Fibonacci consecutivos converge . Escribió que "como 5 es a 8, así es 8 a 13, prácticamente, y como 8 es a 13, así es 13 a 21 casi", y concluyó que estas razones se aproximan a la razón áurea .${\displaystyle \varphi }$: ^{[ 28 ] [ 29 ]}​$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

Esta convergencia se mantiene independientemente de los valores iniciales.${\displaystyle U_{0}}$y${\displaystyle U_{1}}$, a menos que${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$Esto se puede verificar utilizando la fórmula de Binet . Por ejemplo, los valores iniciales 3 y 2 generan la secuencia 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555, ... La razón entre elementos consecutivos en esta secuencia muestra la misma convergencia hacia la proporción áurea.

En general,${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$, porque las razones entre números de Fibonacci consecutivos se aproximan${\displaystyle \varphi }$.

Dado que la proporción áurea satisface la ecuación $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

Esta expresión se puede utilizar para descomponer potencias superiores.${\displaystyle \varphi ^{n}}$como una función lineal de potencias más bajas, que a su vez se puede descomponer hasta llegar a una combinación lineal de${\displaystyle \varphi }$y 1. Las relaciones de recurrencia resultantes producen números de Fibonacci como coeficientes lineales : $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$ Esta ecuación se puede demostrar por inducción sobre n ≥ 1 : $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}}$$ Para${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$, también es cierto que${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$y también es cierto que $${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

Estas expresiones también son válidas para n < 1 si la secuencia de Fibonacci F _n se extiende a enteros negativos utilizando la regla de Fibonacci.${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

La fórmula de Binet proporciona una prueba de que un entero positivo x es un número de Fibonacci si y solo si al menos uno de${\displaystyle 5x^{2}+4}$o${\displaystyle 5x^{2}-4}$es un cuadrado perfecto . ^{[ 30 ]} Esto se debe a que la fórmula de Binet, que se puede escribir como${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$, se puede multiplicar por${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$y resuelta como una ecuación cuadrática en${\displaystyle \varphi ^{n}}$mediante la fórmula cuadrática :

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4{(-1)}^{n}}}}{2}}.}$$

Comparando esto con${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$De ello se deduce que

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

En particular, el lado izquierdo es un cuadrado perfecto.

La mayoría de las identidades que involucran números de Fibonacci se pueden probar usando argumentos combinatorios usando el hecho de que${\displaystyle F_{n}}$puede interpretarse como el número de secuencias (posiblemente vacías) de  1s y  2s cuya suma es${\displaystyle n-1}$Esto puede tomarse como la definición de${\displaystyle F_{n}}$con las convenciones${\displaystyle F_{0}=0}$, lo que significa que no existe tal secuencia cuya suma sea  −1, y${\displaystyle F_{1}=1}$, lo que significa que la secuencia vacía "suma" 0. A continuación,${\displaystyle |{...}|}$es la cardinalidad de un conjunto :

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

De esta manera se establece la relación de recurrencia. $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ puede entenderse dividiendo el${\displaystyle F_{n}}$secuencias en dos conjuntos que no se superponen, donde todas las secuencias comienzan con 1 o 2: $${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$ Excluyendo el primer elemento, los términos restantes en cada secuencia suman${\displaystyle n-2}$o${\displaystyle n-3}$y la cardinalidad de cada conjunto es${\displaystyle F_{n-1}}$o${\displaystyle F_{n-2}}$dando un total de${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$secuencias, mostrando que esto es igual a${\displaystyle F_{n}}$.

De manera similar se puede demostrar que la suma de los primeros números de Fibonacci hasta el n -ésimo es igual al ( n + 2) -ésimo número de Fibonacci menos  1. ^{[ 33 ]} En símbolos: $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

Esto se puede observar dividiendo todas las secuencias que suman${\displaystyle n+1}$basado en la ubicación de los dos primeros. Específicamente, cada conjunto consta de aquellas secuencias que comienzan${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$hasta los dos últimos sets${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$cada uno con cardinalidad 1.

Siguiendo la misma lógica que antes, al sumar la cardinalidad de cada conjunto vemos que

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

... donde los dos últimos términos tienen el valor${\displaystyle F_{1}=1}$De esto se deduce que${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$.

Un argumento similar, agrupando las sumas por la posición del primer  1 en lugar del primer  2, da dos identidades más: $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$ y $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$ En palabras, la suma de los primeros números de Fibonacci con índice impar hasta${\displaystyle F_{2n-1}}$es el (2 n ) -ésimo número de Fibonacci, y la suma de los primeros números de Fibonacci con índice par hasta${\displaystyle F_{2n}}$es el (2 n + 1) -ésimo número de Fibonacci menos  1. ^{[ 34 ]}

Se puede utilizar otro truco para demostrarlo. $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ o en palabras, la suma de los cuadrados de los primeros números de Fibonacci hasta${\displaystyle F_{n}}$es el producto de los números de Fibonacci n -ésimo y ( n + 1) -ésimo. Para ver esto, comencemos con un rectángulo de Fibonacci de tamaño${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$y descomponerlo en cuadrados de tamaño${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$; a partir de esto, la identidad se deduce comparando áreas:

Las identidades de Fibonacci a menudo se pueden demostrar fácilmente utilizando la inducción matemática .

Por ejemplo, reconsiderar $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$ Agregar${\displaystyle F_{n+1}}$a ambas partes da

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

y así tenemos la fórmula para${\displaystyle n+1}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

De manera similar, agregue${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$a ambos lados de $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ dar $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

La fórmula de Binet es $${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$ Esto puede utilizarse para demostrar identidades de Fibonacci.

Por ejemplo, para demostrar que${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ tenga en cuenta que el lado izquierdo multiplicado por${\displaystyle {\sqrt {5}}}$se convierte $${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$ según sea necesario, utilizando los hechos.${\textstyle \varphi \psi =-1}$y${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$para simplificar las ecuaciones.

La identidad de Cassini afirma que $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$ La identidad catalana es una generalización: $${\displaystyle F_{n}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}}$$

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$$${\displaystyle F_{2n}=F_{n+1}^{2}-F_{n-1}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$ donde L _n es el n - ésimo número de Lucas . El último es una identidad para duplicar n ; otras identidades de este tipo son $${\displaystyle F_{3n}=2F_{n}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5F_{n}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$ por la identidad de Cassini.

$${\displaystyle F_{3n+1}=F_{n+1}^{3}+3F_{n+1}F_{n}^{2}-F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}^{2}F_{n}+F_{n}^{3}}$$$${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left(F_{n+1}^{2}+2F_{n}^{2}\right)-3F_{n}^{2}\left(F_{n}^{2}+2F_{n+1}^{2}\right)}$$ Estos se pueden encontrar experimentalmente mediante la reducción de retículos y son útiles para configurar el tamiz de campo numérico especial para factorizar un número de Fibonacci.

En términos más generales, ^{[ 35 ]}

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c-i}F_{n}^{i}F_{n+1}^{k-i}.}$$

o alternativamente

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c+i}F_{n}^{i}F_{n-1}^{k-i}.}$$

Sustituyendo k = 2 en esta fórmula, se obtienen de nuevo las fórmulas del final de la sección anterior Forma matricial .

La función generadora ordinaria de la secuencia de Fibonacci es la serie de potencias.

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+5z^{5}+\cdots .}$$

Esta serie es convergente para cualquier número complejo.${\displaystyle z}$satisfactorio${\displaystyle |z|<1/\varphi \approx 0.618,}$y su suma tiene una forma cerrada simple: ^{[ 36 ]}

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

Esto se puede demostrar multiplicando por${\textstyle (1-z-z^{2})}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$ donde todos los términos que involucran${\displaystyle z^{k}}$para${\displaystyle k\geq 2}$se cancelan debido a la relación de recurrencia de Fibonacci que los define.

Usando${\displaystyle z={10}^{-n}}$presenta los números de Fibonacci hasta el penúltimo número con${\displaystyle n}$dígitos en la expansión decimal de${\displaystyle s(z)}$. Por ejemplo,$${\displaystyle s(10^{-3})={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=000.\,001\,001\,002\,003\,005\,008\,013\,\ldots .}$$

La descomposición en fracciones parciales viene dada por $${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$ dónde${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$es la proporción áurea y${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$es su conjugado .

La función generadora exponencial de la secuencia de Fibonacci también puede derivarse de la relación de recurrencia, dando como resultado una ecuación diferencial lineal homogénea : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+2}{\frac {x^{k}}{k!}}={}&\sum _{k=0}^{\infty }F_{k+1}{\frac {x^{k}}{k!}}+\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}\\F^{\prime \prime }(x)={}&F^{\prime }(x)+F(x)\end{aligned}}}$$ El polinomio característico de esta ecuación es${\textstyle r^{2}=r+1}$, cuyas soluciones son exactamente la proporción áurea.${\textstyle \varphi }$y su conjugado${\textstyle \psi }$. Combinado con los valores iniciales${\textstyle F_{0}=F(0)=0}$y${\textstyle F_{1}=F^{\prime }(0)=1}$La función generadora exponencial de los números de Fibonacci viene dada por la función completa.$${\displaystyle F(x)={\frac {e^{\varphi x}-e^{\psi x}}{\sqrt {5}}}}$$ Evaluar las derivadas de la función generadora exponencial en${\textstyle x=0}$da la fórmula de Binet : $${\displaystyle F^{(n)}(0)=F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$$

Cada tercer número de la secuencia es par (un múltiplo de ⁠${\displaystyle F_{3}=2}$) y, más generalmente, cada${\displaystyle k}$El -ésimonúmero de la secuencia es un múltiplo de${\displaystyle F_{k}}$⁠ . Por lo tanto, la sucesión de Fibonacci es un ejemplo de una sucesión divisible . De hecho, la sucesión de Fibonacci satisface la propiedad de divisibilidad más fuerte ^{[ 41 ] [ 42 ]}$${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$ donde mcd es la función máximo común divisor . (Esta relación es diferente si se utiliza una convención de indexación diferente, como la que comienza la secuencia con ⁠${\displaystyle F_{0}=1}$y​​${\displaystyle F_{1}=1}$. )

En particular, cualesquiera tres números de Fibonacci consecutivos son coprimos dos a dos porque ambos${\displaystyle F_{1}=1}$y​${\displaystyle F_{2}=1}$⁠ . Es decir, $${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$$ para cada n .

Todo número primo p divide a un número de Fibonacci que se puede determinar por el valor de p módulo  5. Si p es congruente con 1 o 4 módulo 5, entonces p divide a F _{p −1} , y si p es congruente con 2 o 3 módulo 5, entonces p divide a F _{p +1} . El caso restante es que p = 5 , y en este caso p divide a F _p .

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

Estos casos se pueden combinar en una única fórmula no segmentada , utilizando el símbolo de Legendre : ^{[ 43 ]}$${\displaystyle p\mid F_{p\,-~\!\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

La fórmula anterior puede utilizarse como prueba de primalidad en el sentido de que si $${\displaystyle n\mid F_{n\,-~\!\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$ donde el símbolo de Legendre ha sido reemplazado por el símbolo de Jacobi , entonces esto es evidencia de que n es primo, y si no se cumple, entonces n definitivamente no es primo. Si n es compuesto y satisface la fórmula, entonces n es un pseudoprimo de Fibonacci . Cuando m es grande , digamos un número de 500 bits , entonces podemos calcular F _m (mod n ) de manera eficiente usando la forma matricial. Por lo tanto  

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$ Aquí la potencia de la matriz A ^m se calcula utilizando la exponenciación modular , que puede adaptarse a matrices . ^{[ 44 ]}

Un primo de Fibonacci es un número de Fibonacci que es primo . Los primeros son: ^{[ 45 ]}

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229, ...

Se han encontrado números primos de Fibonacci con miles de dígitos, pero se desconoce si existen infinitos. ^{[ 46 ]}

F _kn es divisible por F _n , por lo que, salvo F ₄ = 3 , cualquier primo de Fibonacci debe tener un índice primo. Como existen secuencias arbitrariamente largas de números compuestos , también existen secuencias arbitrariamente largas de números compuestos de Fibonacci.

Ningún número de Fibonacci mayor que F ₆ = 8 es uno mayor o uno menor que un número primo. ^{[ 47 ]}

El único número de Fibonacci cuadrado no trivial es 144. ^{[ 48 ]} Attila Pethő demostró en 2001 que solo existe un número finito de números de Fibonacci que son potencias perfectas . ^{[ 49 ]} En 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte y S. Siksek demostraron que 8 y 144 son las únicas potencias perfectas no triviales de este tipo. ^{[ 50 ]}

Los únicos números de Fibonacci triangulares son 1, 3, 21 y 55, lo cual fue conjeturado por Vern Hoggatt y demostrado por Luo Ming. ^{[ 51 ]}

Ningún número de Fibonacci puede ser un número perfecto . ^{[ 52 ]} De manera más general, ningún número de Fibonacci distinto de 1 puede ser multiplicativamente perfecto , ^{[ 53 ]} y ninguna razón de dos números de Fibonacci puede ser perfecta. ^{[ 54 ]}

Con las excepciones de 1, 8 y 144 ( _F₁ = F₂ , F₆ y F₁₂ _{) ,} cada número de Fibonacci tiene un factor primo que no es factor de ningún número de Fibonacci menor ( teorema _de Carmichael ). ^{[ 55 ]} Como resultado, 8 y 144 ( F₆ y F₁₂ ) son los únicos números _de Fibonacci que son producto de otros números de Fibonacci _. ^{[ 56 ]}

La divisibilidad de los números de Fibonacci por un número primo p está relacionada con el símbolo de Legendre.${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}}$que se evalúa de la siguiente manera: $${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}p=5\\1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$$

Si p es un número primo entonces $${\displaystyle F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}\quad {\text{and}}\quad F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}.}$$^{[ 57 ] [ 58 ]}