Constante de Fibonacci recíproca

La constante de Fibonacci recíproca ψ es la suma de los recíprocos de los números de Fibonacci :

$${\displaystyle \psi =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{21}}+\cdots .}$$

Debido a que la razón de términos sucesivos tiende al recíproco de la razón áurea , que es menor que 1, la prueba de la razón muestra que la suma converge .

El valor de ψ es aproximadamente

$${\displaystyle \psi =3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots }$$(secuencia A079586 en el OEIS ) .

Con k términos, la serie da O( k ) dígitos de precisión. Bill Gosper derivó una serie acelerada que proporciona O( ^{k²) dígitos. [1} ] ψ es ^{irracional , como} conjeturaron Paul Erdős , Ronald Graham y Leonard Carlitz , y como demostró Richard André-Jeannin en 1989. ^{[ 2 ]}

Su representación simple en fracción continua es:

$${\displaystyle \psi =[3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2,\dots ]\!\,}$$(secuencia A079587 en el OEIS ) .

De forma análoga a la función zeta de Riemann , definimos la función zeta de Fibonacci como $${\displaystyle \zeta _{F}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(F_{n})^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\cdots }$$para números complejos s con Re( s ) > 0 , y su continuación analítica en otros casos. En particular ^, la función dada es igual a ψ cuando s = 1. [ ^{3 ]}

Se demostró que:

• El valor de ζ _F (2 s ) es trascendental para cualquier entero positivo s , lo cual es similar al caso de las constantes zeta de Riemann de índice par ζ (2 s ) . ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Las constantes ζ _F (2) , ζ _F (4) y ζ _F (6) son algebraicamente independientes . ^{[ 3 ] [ 4 ]}
• Excepto para ζ _F (1) , que se demostró que es irracional, las propiedades de teoría de números de ζ _F (2 s + 1) (siempre que s sea un entero no negativo ) son en su mayoría desconocidas. ^{[ 3 ]}

• Lista de sumas de recíprocos
• Lista de constantes matemáticas

• Weisstein, Eric W. "Constante de Fibonacci recíproca" . MathWorld .