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Los números enteros dispuestos en una recta numérica Un número entero es el número cero ( 0 ), un número natural positivo (1, 2, 3, ...), o la negación de un número natural posi...

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Los números enteros dispuestos en una recta numérica

Un número entero es el número cero ( 0 ), un número natural positivo (1, 2, 3, ...), o la negación de un número natural positivo ( −1 , −2, −3, ...). [ 1 ] Las negaciones o inversos aditivos de los números naturales positivos se denominan enteros negativos . [ 2 ] El conjunto de todos los enteros se suele denotar con la letra Z en negrita o en negrita de pizarra .Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ . [ 3 ] [ 4 ]

El conjunto de los números naturalesnorte{\displaystyle \mathbb {N} }es un subconjunto de​Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ , que a su vez es un subconjunto del conjunto de todos los números racionales ⁠Q{\displaystyle \mathbb {Q} }, en sí mismo un subconjunto de los números realesR{\displaystyle \mathbb {R} }⁠ . [ a ] ​​Al igual que el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }es infinitamente numerable . Un número entero puede considerarse un número real que se puede escribir sin una parte fraccionaria . Por ejemplo, 21, 4, 0 y −2048 son números enteros, mientras que 9,75, 5 + 1/2 , 5/4 y la raíz cuadrada de 2 no lo son . [ 7 ]

Los números enteros forman el grupo más pequeño y el anillo más pequeño que contiene los números naturales . En teoría algebraica de números , a veces se les llama enteros racionales para distinguirlos de los enteros algebraicos , que son más generales . De hecho, los enteros (racionales) son enteros algebraicos que también son números racionales .

Historia

La palabra entero proviene del latín integer , que significa "entero" o (literalmente) "intacto", de in ("no") más tangere ("tocar"). " Entero " deriva del mismo origen a través de la palabra francesa entier , que significa tanto entero como completo . [ 8 ] Históricamente, el término se usaba para un número que era múltiplo de 1, [ 9 ] [ 10 ] o para la parte completa de un número mixto . [ 11 ] [ 12 ] Solo se consideraban los enteros positivos, lo que hacía que el término fuera sinónimo de los números naturales . La definición de entero se amplió con el tiempo para incluir los números negativos a medida que se reconoció su utilidad. [ 13 ] Por ejemplo, Leonhard Euler, en sus Elementos de Álgebra de 1765 , definió los enteros para incluir tanto los números positivos como los negativos. [ 14 ]

La expresión «el conjunto de los enteros» no se utilizó antes de finales del siglo XIX, cuando Georg Cantor introdujo el concepto de conjuntos infinitos y la teoría de conjuntos . El uso de la letra Z para denotar el conjunto de los enteros proviene de la palabra alemana Zahlen («números») [ 3 ] [ 4 ] y se ha atribuido a David Hilbert . [ 15 ] El primer uso conocido de esta notación en un libro de texto aparece en Algèbre , escrito por el colectivo Nicolas Bourbaki , que data de 1947. [ 3 ] [ 16 ] La notación no se adoptó de inmediato. Por ejemplo, otro libro de texto utilizó la letra J, [ 17 ] y un artículo de 1960 utilizó la Z para denotar los enteros no negativos. [ 18 ] Pero en 1961, la Z se utilizaba generalmente en los textos de álgebra modernos para denotar los enteros positivos y negativos. [ 19 ]

El símboloZ{\displaystyle \mathbb {Z} }A menudo se utiliza la anotación para denotar varios conjuntos, con un uso variable entre diferentes autores :Z+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}},​​Z+{\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}, o​Z>{\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}Para los enteros positivos ,Z0+{\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}o​​Z≥{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}para enteros no negativos, yZ≠{\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}para enteros distintos de cero. Algunos autores utilizanZ∗{\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}⁠ para enteros distintos de cero, mientras que otros lo usan para enteros no negativos, o para {−1,1} (el grupo de unidades de ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }) . Además ,Zpag{\displaystyle \mathbb {Z} _ {p}}⁠ se utiliza para denotar el conjunto de enteros módulo p (es decir, el conjunto de clases de congruencia de enteros), o el conjunto de enteros p -ádicos . [ 20 ] [ 21 ]

Los números enteros eran sinónimo de números naturales hasta principios de la década de 1950. [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] A finales de la década de 1950, como parte del movimiento de las Nuevas Matemáticas , [ 25 ] los maestros de primaria estadounidenses comenzaron a enseñar que los números enteros se referían a los números naturales , excluyendo los números negativos, mientras que los números naturales incluían los números negativos. [ 26 ] [ 27 ] Los números enteros siguen siendo ambiguos hasta el día de hoy. [ 28 ]

Propiedades algebraicas

Los números enteros pueden considerarse como puntos discretos e igualmente espaciados en una recta numérica infinitamente larga . En la imagen anterior, los números enteros no negativos se muestran en azul y los números enteros negativos en rojo.

Al igual que los números naturales ,Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ es cerrado bajo las operaciones de suma y multiplicación , es decir, la suma y el producto de dos enteros cualesquiera es un entero. Sin embargo, con la inclusión de los números naturales negativos (y, lo que es importante, el 0 ), ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ , a diferencia de los números naturales, también es cerrado bajo la resta . [ 29 ]

Los números enteros forman un anillo que es el más básico, en el siguiente sentido: para cualquier anillo, existe un homomorfismo de anillos único de los números enteros a este anillo. Esta propiedad universal , a saber, ser un objeto inicial en la categoría de anillos , caracteriza al anillo . Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Este homomorfismo único es inyectivo si y solo si la característica del anillo es cero. De ello se deduce que todo anillo de característica cero contiene un subanillo isomorfo aZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ , que es su subanillo más pequeño.

⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Los números naturales no son cerrados bajo la división , ya que el cociente de dos enteros (por ejemplo, 1 dividido entre 2) no tiene por qué ser un entero. Si bien los números naturales son cerrados bajo la exponenciación , los enteros no lo son (ya que el resultado puede ser una fracción cuando el exponente es negativo).

La siguiente tabla enumera algunas de las propiedades básicas de la suma y la multiplicación para cualesquiera números enteros a , b y c :

Las primeras cinco propiedades enumeradas anteriormente para la adición dicen queZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ , bajo la suma, es un grupo abeliano . También es un grupo cíclico , ya que todo entero distinto de cero puede escribirse como una suma finita 1 + 1 + ... + 1 o (−1) + (−1) + ... + (−1) . De hecho, ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ bajo la adición es el único grupo cíclico infinito, en el sentido de que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ .

Las primeras cuatro propiedades enumeradas anteriormente para la multiplicación dicen queZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ bajo la multiplicación es un monoide conmutativo . Sin embargo, no todos los enteros tienen un inverso multiplicativo (como es el caso del número 2), lo que significa que ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ bajo la multiplicación no es un grupo.

Todas las reglas de la tabla de propiedades anterior (excepto la última), tomadas en conjunto, dicen que :Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ junto con la suma y la multiplicación es un anillo conmutativo con unidad . Es el prototipo de todos los objetos de tal estructura algebraica . Solo aquellas igualdades de expresiones son verdaderas en ⁠ Z{\displaystyle \mathbb {Z} }Para todos los valores de las variables, que son verdaderos en cualquier anillo conmutativo unitario. Ciertos enteros distintos de cero se corresponden con cero en ciertos anillos.

La falta de divisores de cero en los enteros (última propiedad de la tabla) significa que el anillo conmutativo Z{\displaystyle \mathbb {Z} }es un dominio integral .

La falta de inversos multiplicativos, lo cual es equivalente al hecho de queZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ no está cerrado bajo división, significa que ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ no esun cuerpo . El cuerpo más pequeño que contiene los enteros como un subanillo es el cuerpo de los números racionales . El proceso de construcción de los racionales a partir de los enteros se puede imitar para formar el cuerpo de fracciones de cualquier dominio entero. Y de vuelta, partiendo de un cuerpo de números algebraicos (una extensión de los números racionales), se puede extraer su anillo de enteros , que incluye ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }como su subanillo .

Aunque la división ordinaria no está definida enZ{\displaystyle \mathbb {Z} }La división "con resto" se define sobre ellos. Se llama división euclidiana y posee la siguiente propiedad importante: dados dos enteros a y b con b ≠ 0 , existen enteros únicos q y r tales que a = q × b + r y 0 ≤ r < | b | , donde | b | denota el valor absoluto de b . El entero q se llama cociente y r se llama resto de la división de a entre b . El algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor funciona mediante una secuencia de divisiones euclidianas.

Lo anterior dice queZ{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ es un dominio euclidiano . Esto implica que ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ es un dominio ideal principal , y cualquier entero positivo puede escribirse como productos de primos de una manera esencialmente única . [ 30 ] Este es el teorema fundamental de la aritmética .

Propiedades de la teoría del orden

⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ es un conjunto totalmente ordenado sin límite superior ni inferior . El ordenamiento de ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }⁠ viene dado por:

⋯<−3<−2<−1<0<1<2<3<⋯.{\displaystyle \cdots <-3<-2<-1<0<1<2<3<\cdots .}

Un número entero es positivo si es mayor que cero y negativo si es menor que cero. El cero se define como un valor que no es ni negativo ni positivo.

El ordenamiento de los números enteros es compatible con las operaciones algebraicas de la siguiente manera:

  1. Si a < b y c < d , entonces a + c < b + d
  2. Si a < b y 0 < c , entonces ac < bc

Por lo tanto, se deduce queZ{\displaystyle \mathbb {Z} }Junto con el ordenamiento anterior, se obtiene un anillo ordenado .

Los enteros son el único grupo abeliano totalmente ordenado no trivial cuyos elementos positivos están bien ordenados . [ 31 ] Esto es equivalente a la afirmación de que cualquier anillo de valuación noetheriano es un cuerpo o un anillo de valuación discreto .

Construcción

Desarrollo tradicional

En la enseñanza de la escuela primaria, los enteros a menudo se definen intuitivamente como la unión de los números naturales (positivos), el cero y las negaciones de los números naturales. Esto se puede formalizar de la siguiente manera. [ 32 ] Primero construimos el conjunto de los números naturales según los axiomas de Peano , llamémoslo ⁠PAG{\displaystyle P}⁠ . Luego, construye un conjunto ⁠PAG−{\displaystyle P^{-}}que es disjunto de​PAG{\displaystyle P}y en correspondencia individual conPAG{\displaystyle P}a través de una funciónψ{\displaystyle \psi }⁠ . Por ejemplo, tome ⁠PAG−{\displaystyle P^{-}}ser los pares ordenados(1,norte){\displaystyle (1,n)}con el mapeoψ=norte↦(1,norte){\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}⁠ . Finalmente, sea 0 algún objeto que no esté en ⁠PAG{\displaystyle P}o​​PAG−{\displaystyle P^{-}}⁠ , por ejemplo el par ordenado (0,0). Entonces los enteros se definen como la unión ⁠PAG∪PAG−∪{0}{\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}⁠ .

Las operaciones aritméticas tradicionales se pueden definir entonces sobre los números enteros de forma segmentada , para cada uno de los números positivos, negativos y el cero. Por ejemplo, la negación se define de la siguiente manera:

−incógnita={ψ(incógnita),si incógnita∈PAGψ−1(incógnita),si incógnita∈PAG−0,si incógnita=0{\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}

El estilo tradicional de definición conduce a muchos casos diferentes (cada operación aritmética necesita definirse en cada combinación de tipos de enteros) y hace que sea tedioso demostrar que los enteros obedecen las diversas leyes de la aritmética. [ 33 ]

Clases de equivalencia de pares ordenados

Representación de clases de equivalencia para los números de −5 a 5
Los puntos rojos representan pares ordenados de números naturales . Los puntos rojos enlazados son clases de equivalencia que representan los números enteros azules al final de la línea.

En las matemáticas modernas de teoría de conjuntos, a menudo se utiliza una construcción más abstracta [ 34 ] [ 35 ] que permite definir operaciones aritméticas sin distinción de casos. [ 36 ] Los enteros pueden construirse formalmente como clases de equivalencia de pares ordenados de números naturales ( a , b ) . [ 37 ]

La intuición es que ( a , b ) representa el resultado de restar b de a . [ 37 ] Para confirmar nuestra expectativa de que 1 − 2 y 4 − 5 denotan el mismo número, definimos una relación de equivalencia ~ en estos pares con la siguiente regla:

(a,b)∼(do,d){\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}

precisamente cuando

a+d=b+do{\displaystyle a+d=b+c}.

La suma y la multiplicación de enteros se pueden definir en términos de las operaciones equivalentes sobre los números naturales; [ 37 ] utilizando [( a , b )] para denotar la clase de equivalencia que tiene a ( a , b ) como miembro, se tiene:

[(a,b)]+[(do,d)]:=[(a+do,b+d)]{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]}.
[(a,b)]⋅[(do,d)]:=[(ado+bd,ad+bdo)]{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]}.

La negación (o inverso aditivo) de un número entero se obtiene invirtiendo el orden del par:

−[(a,b)]:=[(b,a)]{\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)]}.

Por lo tanto, la resta puede definirse como la suma del inverso aditivo:

[(a,b)]−[(do,d)]:=[(a+d,b+do)]{\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]}.

El orden estándar de los números enteros viene dado por:

[(a,b)]<[(do,d)]{\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}si y solo sia+d<b+do{\displaystyle a+d<b+c}.

Se puede comprobar fácilmente que estas definiciones son independientes de la elección de los representantes de las clases de equivalencia.

Cada clase de equivalencia tiene un miembro único que es de la forma ( n ,0) o (0, n ) (o ambos a la vez). El número natural n se identifica con la clase [( n ,0)] (es decir, los números naturales se incrustan en los enteros mediante un mapa que envía n a [( n ,0)] ), y la clase [(0, n )] se denota − n (esto cubre todas las clases restantes y da la clase [(0,0)] por segunda vez ya que −0  =  0.

Así, [( a , b )] se denota por

{a−b,si a≥b−(b−a),si a<b{\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b\end{cases}}}

Si los números naturales se identifican con los enteros correspondientes (utilizando la incrustación mencionada anteriormente), esta convención no crea ambigüedad.

Esta notación recupera la representación familiar de los enteros como {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...} .

Algunos ejemplos son:

0=[(0,0)]=[(1,1)]= ⋯ =[(k,k)],1=[(1,0)]=[(2,1)]= ⋯ =[(k+1,k)],−1=[(0,1)]=[(1,2)]= ⋯ =[(k,k+1)],2=[(2,0)]=[(3,1)]= ⋯ =[(k+2,k)],−2=[(0,2)]=[(1,3)]= ⋯ =[(k,k+2)].{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}0&=[(0,0)]&&=[(1,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k)],\\1&=[(1,0)]&&=[(2,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k+1,k)],\\-1&=[(0,1)]&&=[(1,2)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k+1)],\\2&=[(2,0)]&&=[(3,1)]&&=\ \cdots \ &&=[(k+2,k)],\\-2&=[(0,2)]&&=[(1,3)]&&=\ \cdots \ &&=[(k,k+2)].\end{alignedat}}}

Otros enfoques

En la informática teórica, los demostradores automáticos de teoremas y los motores de reescritura de términos utilizan otros enfoques para la construcción de números enteros . Los números enteros se representan como términos algebraicos construidos mediante unas pocas operaciones básicas (por ejemplo, cero , succ , pred ) y utilizando números naturales , que se supone que ya están construidos (utilizando el enfoque de Peano ).

Existen al menos diez construcciones de enteros con signo. [ 38 ] Estas construcciones difieren en varios aspectos: el número de operaciones básicas utilizadas para la construcción, el número (generalmente, entre 0 y 2) y los tipos de argumentos aceptados por estas operaciones; la presencia o ausencia de números naturales como argumentos de algunas de estas operaciones, y el hecho de que estas operaciones sean constructores libres o no, es decir, que el mismo entero pueda representarse utilizando solo uno o muchos términos algebraicos.

La técnica para la construcción de enteros presentada en la sección anterior corresponde al caso particular en el que existe un único par de operaciones básicas.(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}que toma como argumentos dos números naturalesincógnita{\displaystyle x}y​​y{\displaystyle y}⁠ , y devuelve un número entero (igual a ⁠incógnita−y{\displaystyle x-y}Esta operación no es gratuita , ya que el entero 0 puede escribirse como par (0,0), par (1,1), par (2,2), etc. Esta técnica de construcción la utiliza el asistente de pruebas Isabelle ; sin embargo, muchas otras herramientas utilizan técnicas de construcción alternativas, en particular las basadas en constructores libres, que son más sencillas y pueden implementarse de forma más eficiente en ordenadores.

Ciencias de la Computación

Un entero suele ser un tipo de dato primitivo en los lenguajes de programación . Sin embargo, los tipos de datos enteros solo pueden representar un subconjunto de todos los enteros, ya que las computadoras prácticas tienen una capacidad finita. Además, en la representación común de complemento a dos , la definición inherente de signo distingue entre "negativo" y "no negativo" en lugar de "negativo, positivo y  cero". (No obstante, es posible que una computadora determine si un valor entero es realmente positivo). Los tipos de datos de aproximación de enteros de longitud fija (o subconjuntos) se denotan como int o Integer en varios lenguajes de programación (como Algol68 , C , Java , Delphi , etc.).

Las representaciones de enteros de longitud variable, como los números grandes (bignums ), pueden almacenar cualquier entero que quepa en la memoria del ordenador. Otros tipos de datos enteros se implementan con un tamaño fijo, normalmente un número de bits que es una potencia de  2 (4, 8, 16, etc.) o un número de dígitos decimales fácil de recordar (por ejemplo, 9 o  10).

Cardinalidad

El conjunto de los enteros es infinito numerable , lo que significa que es posible emparejar cada entero con un número natural único. Un ejemplo de dicho emparejamiento es

(0, 1), (1, 2), (−1, 3), (2, 4), (−2, 5), (3, 6), . . . ,(1 − k , 2 k − 1), ( k , 2 k ), . . .

Más técnicamente , la cardinalidad deZ{\displaystyle \mathbb {Z} }Se dice que ⁠ es igual a ℵ 0 ( aleph-nulo ). El emparejamiento entre elementos de ⁠Z{\displaystyle \mathbb {Z} }y​​norte{\displaystyle \mathbb {N} }Se denomina biyección .

Véase también

ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ ⊊ ℂ
Inclusiones de conjuntos entre los números naturales (norte{\displaystyle \mathbb {N} }), los enteros (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }), los números racionales (Q{\displaystyle \mathbb {Q} }), los números reales (R{\displaystyle \mathbb {R} }), y los números complejos (do{\displaystyle \mathbb {C} })

Notas a pie de página

  1. ↑ Más precisamente, cada sistema está incrustado en el siguiente, mapeado isomórficamente a un subconjunto. [ 5 ] La contención conjuntista comúnmente asumida puede obtenerse construyendo los números reales, descartando cualquier construcción anterior y definiendo los demás conjuntos como subconjuntos de los números reales. [ 6 ]

Referencias

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Fuentes

Este artículo incorpora material de Integer en PlanetMath , que está bajo la licencia Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

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