Ángulo dorado

En geometría , el ángulo áureo es el menor de los dos ángulos que se forman al dividir la circunferencia de un círculo según la proporción áurea ; es decir, en dos arcos tales que la relación entre la longitud del arco menor y la longitud del arco mayor sea la misma que la relación entre la longitud del arco mayor y la circunferencia completa del círculo.

Algebraicamente, sea a+b la circunferencia de un círculo , dividido en un arco más largo de longitud a y un arco más pequeño de longitud b tal que

${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}}$

El ángulo áureo es entonces el ángulo subtendido por el arco menor de longitud b . Mide aproximadamente137.507 764 050 037 854 646 3487 ...° OEIS : A096627  o en radianes2.399 963 229 728 653 32 ... OEIS : A131988  .

El nombre proviene de la conexión del ángulo áureo con la proporción áurea φ ; el valor exacto del ángulo áureo es

${\displaystyle 360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ grados}}}$

o

${\displaystyle 2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radianes}},}$

donde las equivalencias se derivan de propiedades algebraicas bien conocidas de la proporción áurea.

Como su seno y coseno son números trascendentales , el ángulo áureo no se puede construir utilizando una regla y un compás . ^{[ 1 ]}

La proporción áurea es igual a φ  = a / b dadas las condiciones anteriores. 

Sea ƒ la fracción de la circunferencia subtendida por el ángulo áureo, o equivalentemente, el ángulo áureo dividido por la medida angular del círculo.

${\displaystyle f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.}$

Pero desde

${\displaystyle {1+\varphi }=\varphi ^{2},}$

resulta que

${\displaystyle f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}}$

Esto equivale a decir que φ  ² ángulos áureos caben en un círculo.

La fracción de un círculo ocupada por el ángulo áureo es, por lo tanto,

${\displaystyle f\approx 0.381966.\,}$

Por lo tanto, el ángulo áureo g puede aproximarse numéricamente en grados de la siguiente manera:

${\displaystyle g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,}$

o en radianes como  :

${\displaystyle g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,}$

El ángulo áureo juega un papel importante en la teoría de la filotaxis ; por ejemplo, el ángulo áureo es el ángulo que separa las flósculas en un girasol . ^{[ 2 ]} El análisis del patrón muestra que es altamente sensible al ángulo que separa los primordios individuales , y el ángulo de Fibonacci da la parastiquia con la densidad de empaquetamiento óptima. ^{[ 3 ]}

La modelización matemática de un mecanismo físico plausible para el desarrollo de las flores ha mostrado el patrón que surge espontáneamente de la solución de una ecuación diferencial parcial no lineal en un plano . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

• 137 (número)
• 138 (número)
• proporción áurea
• secuencia de Fibonacci

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