Secuencia de divisibilidad

En matemáticas, una sucesión de divisibilidad es una sucesión de números enteros.${\displaystyle (a_{n})}$indexado por enteros positivos n tales que

${\displaystyle {\text{si }}m\mid n{\text{ entonces }}a_{m}\mid a_{n}}$

para todo m y n . Es decir, siempre que un índice sea múltiplo de otro, el término correspondiente también lo será. Este concepto puede generalizarse a secuencias con valores en cualquier anillo donde se defina el concepto de divisibilidad .  

Una secuencia de divisibilidad fuerte es una secuencia de números enteros.${\displaystyle (a_{n})}$de tal manera que para todos los enteros positivos m y n ,  

${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{\gcd(m,n)},}$

donde mcd es la función de máximo común divisor .

Toda secuencia de divisibilidad fuerte es una secuencia de divisibilidad:${\displaystyle \gcd(m,n)=m}$si y solo si${\displaystyle m\mid n}$Por lo tanto, por la propiedad de divisibilidad fuerte,${\displaystyle \gcd(a_{m},a_{n})=a_{m}}$y por lo tanto${\displaystyle a_{m}\mid a_{n}}$.

Cualquier sucesión de Lucas de primer tipo U _n ( P , Q ) es una sucesión de divisibilidad. Además, es una sucesión de divisibilidad fuerte cuando mcd( P , Q ) = 1. Algunos ejemplos específicos son:

• Cualquier secuencia constante${\displaystyle a_{n}=k}$⁠ es una secuencia de divisibilidad fuerte, que es kU _n (1, 0) para n ≥ 1 .
• Cada secuencia de la forma${\displaystyle a_{n}=kn}$⁠ , para algún entero distinto de cero k , es una secuencia de divisibilidad. Es igual a kU _n (2, 1) .
• Los números de Fibonacci F _n forman una secuencia de divisibilidad fuerte, que es U _n (1, −1) .
• Los números de Mersenne${\displaystyle a_{n}=2^{n}-1}$forman una secuencia de divisibilidad fuerte, que es U _n (3, 2) .
• Los números repunitarios R ^{( b )} _n para n = 1, 2, ... en cualquier base b forman una secuencia de divisibilidad fuerte, que es U _n ( b + 1, b ) .
• Cualquier secuencia de la forma${\displaystyle a_{n}=A^{n}-B^{n}}$para números enteros${\displaystyle A>B>0}$es una secuencia de divisibilidad, que es ( A − B ) U _n ( A + B , AB ) . Si${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Si son coprimos, entonces se trata de una secuencia de divisibilidad fuerte.

Las secuencias de divisibilidad elípticas son otra clase de secuencias de divisibilidad.

• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Barrio, Thomas (2003). Secuencias de recurrencia . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3387-2.
• Hall, Marshall (1936). "Secuencias de divisibilidad de tercer orden". Am. J. Math . 58 (3): 577– 584. doi : 10.2307/2370976 . JSTOR 2370976 . 
• Ward, Morgan (1939). "Una nota sobre secuencias de divisibilidad" . Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 334– 336. doi : 10.1090/s0002-9904-1939-06980-2 .
• Hoggatt, Jr., VE; Long, CT (1973). "Propiedades de divisibilidad de los polinomios de Fibonacci generalizados" (PDF) . Fibonacci Quarterly : 113.
• Bézivin, J.-P.; Pethö, A.; van der Porten, AJ (1990). "Una caracterización completa de las secuencias de divisibilidad". Am. J. Math . 112 (6): 985– 1001. doi : 10.2307/2374733 . JSTOR 2374733 . 
• P. Ingram; JH Silverman (2012), "Divisores primitivos en secuencias de divisibilidad elíptica", en Dorian Goldfeld; Jay Jorgenson; Peter Jones; Dinakar Ramakrishnan; Kenneth A. Ribet ; John Tate (eds.), Teoría de números, análisis y geometría. En memoria de Serge Lang , Springer, pp. 243–271 , ISBN  978-1-4614-1259-5