Secuencia de divisibilidad elíptica

En matemáticas , una secuencia de divisibilidad elíptica ( SDE ) es una secuencia de enteros que satisface una relación de recurrencia no lineal derivada de polinomios de división en curvas elípticas . Las SDE fueron definidas por primera vez, y sus propiedades aritméticas estudiadas, por Morgan Ward ^{[ 1 ]} en la década de 1940. Recibieron atención esporádica hasta alrededor del año 2000, cuando se consideraron una clase de recurrencias no lineales más fáciles de analizar que la mayoría de estas secuencias. Esta facilidad de análisis se debe principalmente a la estrecha relación entre las SDE y las curvas elípticas. Además del interés intrínseco que tienen en la teoría de números , las SDE también tienen aplicaciones en otras áreas de las matemáticas, como la lógica y la criptografía .

Una secuencia de divisibilidad elíptica (EDS) (no degenerada) es una secuencia de enteros ( W _n ) _{n ≥ 1} definida recursivamente por cuatro valores iniciales W ₁ , W ₂ , W ₃ , W ₄ , con W ₁ W ₂ W ₃ ≠ 0 y con valores subsiguientes determinados por las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{2n+1}W_{1}^{3}&=W_{n+2}W_{n}^{3}-W_{n+1}^{3}W_{n-1},\qquad n\geq 2,\\W_{2n}W_{2}W_{1}^{2}&=W_{n+2}W_{n}W_{n-1}^{2}-W_{n}W_{n-2}W_{n+1}^{2},\qquad n\geq 3,\\\end{aligned}}}$

Se puede demostrar que si W ₁ divide a cada uno de W ₂ , W ₃ , W ₄ y si además W ₂ divide a W ₄ , entonces cada término W _n en la secuencia es un número entero.

Una EDS es una secuencia de divisibilidad en el sentido de que

${\displaystyle m\mid n\Longrightarrow W_{m}\mid W_{n}.}$

En particular, cada término en un EDS es divisible por W ₁ , por lo que los EDS se normalizan frecuentemente para tener W ₁ = 1 dividiendo cada término por el término inicial.

Cualquier conjunto de tres enteros b , c , d con d divisible por b conduce a un EDS normalizado al establecer

${\displaystyle W_{1}=1,\quad W_{2}=b,\quad W_{3}=c,\quad W_{4}=d.}$

No es obvio, pero se puede demostrar, que la condición b | d es suficiente para asegurar que cada término de la secuencia sea un número entero.

Una propiedad fundamental de las secuencias de divisibilidad elíptica es que satisfacen la relación de recurrencia general.

${\displaystyle W_{n+m}W_{nm}W_{r}^{2}=W_{n+r}W_{nr}W_{m}^{2}-W_{m+r}W_{mr}W_{n}^{2}\quad {\text{para todo}}\quad n>m>r.}$

(Esta fórmula se aplica a menudo con r = 1 y W ₁ = 1.)

El discriminante de un EDS normalizado es la cantidad

${\displaystyle \Delta =W_{4}W_{2}^{15}-W_{3}^{3}W_{2}^{12}+3W_{4}^{2}W_{2}^{10}-20W_{4}W_{3}^{3}W_{2}^{7 }+3W_{4}^{3}W_{2}^{5}+16W_{3}^{6}W_{2}^{4}+8W_{4}^{2}W_{3}^{3}W_{2}^{2}+W_{4}^{4}.}$

Un EDS es no singular si su discriminante es distinto de cero.

Un ejemplo sencillo de una EDS es la secuencia de números naturales 1, 2, 3,... . Otro ejemplo interesante es (secuencia A001906 en la OEIS ) 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987,... que consiste en cada segundo término de la secuencia de Fibonacci , comenzando con el segundo término. Sin embargo, ambas secuencias satisfacen una recurrencia lineal y ambas son EDS singulares. Un ejemplo de una EDS no singular es (secuencia A006769 en la OEIS )

${\displaystyle {\begin{aligned}&1,\,1,\,-1,\,1,\,2,\,-1,\,-3,\,-5,\,7,\,-4,\,-23,\,29,\,59,\,129,\\&-314,\,-65,\,1529,\,-3689,\,-8209,\,-16264,\dots .\\\end{aligned}}}$

Se dice que una secuencia ( A _n ) _{n ≥ 1} es periódica si existe un número N ≥ 1 tal que A _n+N = A _n para todo n ≥ 1. Si una EDS no degenerada ( W _n ) _{n ≥ 1} es periódica, entonces uno de sus términos se anula. El menor r ≥ 1 con W _r = 0 se denomina rango de aparición de la EDS. Un teorema profundo de Mazur ^{[ 2 ]} implica que si el rango de aparición de una EDS es finito, entonces satisface r ≤ 10 o r = 12.

Ward demuestra que a cualquier EDS no singular ( W _n ) se le asocia una curva elíptica E / Q y un punto P ε E ( Q ) tal que

${\displaystyle W_{n}=\psi _{n}(P)\qquad {\text{para todo}}~n\geq 1.}$

Aquí ψ _n es el polinomio de división n de E ; las raíces de ψ _n son los puntos no nulos de orden n en E. Hay una fórmula complicada ^{[ 3 ]} para E y P en términos de W ₁ , W ₂ , W ₃ y W ₄ .

Existe una definición alternativa de EDS que utiliza directamente curvas elípticas y produce una secuencia que, salvo signo, casi satisface la recursión de EDS. Esta definición comienza con una curva elíptica E / Q dada por una ecuación de Weierstrass y un punto de no torsión P ε E ( Q ). Se escriben las coordenadas x de los múltiplos de P como

${\displaystyle x(nP)={\frac {A_{n}}{D_{n}^{2}}}\quad {\text{con}}~\gcd(A_{n},D_{n})=1~{\text{y}}~D_{n}\geq 1.}$

Entonces, la secuencia ( D _n ) también se denomina secuencia de divisibilidad elíptica . Es una secuencia de divisibilidad, y existe un entero k tal que la subsecuencia ( ± D _nk ) _{n ≥ 1} (con una elección apropiada de signos) es una EDS en el sentido anterior.

Sea ( W _n ) _{n ≥ 1} una EDS no singular que no es periódica. Entonces la secuencia crece exponencialmente de forma cuadrática en el sentido de que existe una constante positiva h tal que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\log |W_{n}|}{n^{2}}}=h>0.}$

El número h es la altura canónica del punto en la curva elíptica asociada al EDS.

Se conjetura que un EDS no singular contiene solo un número finito de primos ^{[ 4 ]} Sin embargo, todos los términos de un EDS no singular, excepto un número finito, admiten un divisor primo primitivo. ^{[ 5 ]} Por lo tanto, para todos los n , excepto un número finito , existe un primo p tal que p divide a W _n , pero p no divide a W _m para todo m < n . Esta afirmación es análoga al teorema de Zsigmondy .

Una EDS sobre un cuerpo finito F _q , o más generalmente sobre cualquier cuerpo, es una secuencia de elementos de ese cuerpo que satisface la recursión EDS. Una EDS sobre un cuerpo finito es siempre periódica y, por lo tanto, tiene un rango de aparición r . El período de una EDS sobre F _q tiene entonces la forma rt , donde r y t satisfacen

${\displaystyle r\leq \left({\sqrt {q}}+1\right)^{2}\quad {\text{y}}\quad t\mid q-1.}$

Más precisamente, existen elementos A y B en F _q ^* tales que

${\displaystyle W_{ri+j}=W_{j}\cdot A^{ij}\cdot B^{j^{2}}\quad {\text{para todo}}~i\geq 0~{\text{y todo}}~j\geq 1.}$

Los valores de A y B están relacionados con el emparejamiento de Tate del punto en la curva elíptica asociada.

Bjorn Poonen ^{[ 6 ]} ha aplicado EDS a la lógica. Utiliza la existencia de divisores primitivos en EDS en curvas elípticas de rango uno para demostrar la indecidibilidad del décimo problema de Hilbert sobre ciertos anillos de enteros.

Katherine E. Stange ^{[ 7 ]} ha aplicado EDS y sus generalizaciones de rango superior, denominadas redes elípticas, a la criptografía. Muestra cómo se puede utilizar EDS para calcular el valor de los emparejamientos de Weil y Tate en curvas elípticas sobre cuerpos finitos. Estos emparejamientos tienen numerosas aplicaciones en la criptografía basada en emparejamientos .

• G. Everest, A. van der Poorten, I. Shparlinski y T. Ward. Secuencias de recurrencia , volumen 104 de Mathematical Surveys and Monographs . American Mathematical Society , Providence, RI, 2003. ISBN 0-8218-3387-1(El capítulo 10 trata sobre el síndrome de Ehlers-Danlos).
• R. Shipsey. Secuencias de divisibilidad elíptica. Archivado el 9 de junio de 2011 en Wayback Machine . Tesis doctoral, Goldsmiths College ( Universidad de Londres ), 2000.
• K. Stange. Redes elípticas . Tesis doctoral, Universidad de Brown, 2008.
• C. Swart. Secuencias relacionadas con curvas elípticas . Tesis doctoral, Royal Holloway (Universidad de Londres), 2003.

• Página web de Graham Everest sobre el síndrome de Ehlers-Danlos (EDS). Archivada el 11 de abril de 2009 en la Wayback Machine.
• Valores primos de secuencias de divisibilidad elíptica.
• Conferencia sobre propiedades p -ádicas de secuencias de divisibilidad elíptica.