Secuencia aleatoria de Fibonacci

En matemáticas , la secuencia aleatoria de Fibonacci es un análogo estocástico de la secuencia de Fibonacci definida por la relación de recurrencia.${\displaystyle f_{n}=f_{n-1}\pm f_{n-2}}$donde los signos + o − se eligen al azar con igual probabilidad.${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, independientemente para diferentes${\displaystyle n}$Según un teorema de Harry Kesten y Hillel Furstenberg , las secuencias recurrentes aleatorias de este tipo crecen a una cierta tasa exponencial , pero es difícil calcular dicha tasa explícitamente. En 1999, Divakar Viswanath demostró que la tasa de crecimiento de la secuencia aleatoria de Fibonacci es igual a 1,1319882487943... (secuencia A078416 en la OEIS ) , una constante matemática que posteriormente se denominó constante de Viswanath. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

Una secuencia aleatoria de Fibonacci es una secuencia aleatoria de números enteros dada por los números${\displaystyle f_{n}}$para números naturales${\displaystyle n}$, dónde${\displaystyle f_{1}=f_{2}=1}$y los términos subsiguientes se eligen aleatoriamente de acuerdo con la relación de recurrencia aleatoria. $${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}f_{n-1}+f_{n-2},&{\text{ con probabilidad }}{\tfrac {1}{2}};\\f_{n-1}-f_{n-2},&{\text{ con probabilidad }}{\tfrac {1}{2}}.\end{cases}}}$$ Una instancia de la secuencia aleatoria de Fibonacci comienza con 1,1 y el valor de cada término subsiguiente se determina mediante un lanzamiento de moneda justo : dados dos elementos consecutivos de la secuencia, el siguiente elemento es su suma o su diferencia con probabilidad 1/2, independientemente de todas las elecciones realizadas previamente. Si en la secuencia aleatoria de Fibonacci se elige el signo más en cada paso, la instancia correspondiente es la secuencia de Fibonacci ( F _n ), $${\displaystyle 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots .}$$ Si los signos se alternan en un patrón de menos-más-más-menos-más-más-..., el resultado es la secuencia $${\displaystyle 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,\ldots .}$$

Sin embargo, tales patrones ocurren con una probabilidad ínfima en un experimento aleatorio. En una ejecución típica, los términos no seguirán un patrón predecible: $${\displaystyle 1,1,2,3,1,-2,-3,-5,-2,-3,\ldots {\text{ para los signos }}+,+,+,-,-,+,-,-,\ldots .}$$

De forma similar al caso determinista, la secuencia aleatoria de Fibonacci puede describirse provechosamente mediante matrices : $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}={\begin{pmatrix}0&1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}{f_{n-2} \choose f_{n-1}},}$$

donde los signos se eligen independientemente para diferentes n con probabilidades iguales para + o −. Por lo tanto $${\displaystyle {f_{n-1} \choose f_{n}}=M_{n}M_{n-1}\ldots M_{3}{f_{1} \choose f_{2}},}$$ donde ( M _k ) es una secuencia de matrices aleatorias independientes e idénticamente distribuidas que toman valores A o B con probabilidad 1/2: $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}.}$$

Johannes Kepler descubrió que, a medida que n aumenta, la razón entre los términos sucesivos de la secuencia de Fibonacci ( Fn ) se aproxima a la proporción áurea _.${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$que es aproximadamente 1,61803. En 1765, Leonhard Euler publicó una fórmula explícita, conocida hoy como la fórmula de Binet , $${\displaystyle F_{n}={{\varphi ^{n}-(-1/\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}$$

Esto demuestra que los números de Fibonacci crecen a una tasa exponencial igual a la proporción áurea φ .

En 1960, Hillel Furstenberg y Harry Kesten demostraron que, para una clase general de productos de matrices aleatorias , la norma crece como λ ⁿ , donde n es el número de factores. Sus resultados se aplican a una amplia clase de procesos generadores de secuencias aleatorias que incluye la secuencia aleatoria de Fibonacci. Como consecuencia, la raíz n -ésima de | f _n | converge a un valor constante casi con seguridad , o con probabilidad uno: $${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|f_{n}|}}\to 1.1319882487943\dots {\text{ cuando }}n\to \infty .}$$

En 1999, Divakar Viswanath halló una expresión explícita para esta constante. Esta utiliza la fórmula de Furstenberg para el exponente de Lyapunov de un producto de matrices aleatorias y la integración sobre una determinada medida fractal en el árbol de Stern-Brocot . Además, Viswanath calculó el valor numérico anterior mediante aritmética de punto flotante , validada mediante un análisis del error de redondeo .

Mark Embree y Nick Trefethen demostraron en 1999 que la secuencia $${\displaystyle f_{n}=\pm f_{n-1}\pm \beta f_{n-2}}$$

decae casi con seguridad si β es menor que un valor crítico β * ≈ 0,70258 , conocido como la constante de Embree-Trefethen, y en caso contrario crece casi con seguridad. También demostraron que la razón asintótica σ ( β ) entre términos consecutivos converge casi con seguridad para cada valor de β . La gráfica de σ ( β ) parece tener una estructura fractal , con un mínimo global cerca de β _min ≈ 0,36747 aproximadamente igual a σ ( β _min ) ≈ 0,89517 . ^{[ 4 ]}

• Weisstein, Eric W. "Secuencia aleatoria de Fibonacci" . MundoMatemático .
• Secuencia OEIS A078416 (Expansión decimal de la constante de Viswanath)
• Números aleatorios de Fibonacci . Vídeo de Numberphile sobre la secuencia aleatoria de Fibonacci.