Matriz Wythoff

En matemáticas, la matriz Wythoff es una matriz infinita de números enteros derivada de la secuencia de Fibonacci y que recibe su nombre del matemático holandés Willem Abraham Wythoff . Cada número entero positivo aparece exactamente una vez en la matriz, y cada secuencia de números enteros definida por la recurrencia de Fibonacci se puede derivar desplazando una fila de la matriz.

La matriz Wythoff fue definida por primera vez por Morrison (1980) utilizando pares Wythoff, las coordenadas de las posiciones ganadoras en el juego de Wythoff . También se puede definir utilizando números de Fibonacci y el teorema de Zeckendorf , o directamente a partir de la proporción áurea y la relación de recurrencia que definen los números de Fibonacci.

La matriz Wythoff tiene los valores

${\displaystyle {\begin{matrix}1&2&3&5&8&13&21&\cdots \\4&7&11&18&29&47&76&\cdots \\6&10&16&26&42&68&110&\cdots \\9&15&24&39&63&102&165&\cdots \\12&20&32&52&84&136&220&\cdots \\14&23&37&60&97&157&254&\cdots \\17&28&45&73&118&191&309&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\fin{matriz}}}$(secuencia A035513 en la OEIS ).

Inspirado por una matriz de Stolarsky similar definida previamente por Stolarsky (1977), Morrison (1980) definió la matriz de Wythoff de la siguiente manera. Sea , la proporción áurea ; entonces, la posición ganadora en el juego de Wythoff está dada por el par de números enteros positivos , donde los números en los lados izquierdo y derecho del par definen dos secuencias de Beatty complementarias que juntas incluyen cada número entero positivo exactamente una vez. Morrison define los dos primeros números en la fila de la matriz como el par de Wythoff dado por la ecuación , y donde los números restantes en cada fila están determinados por la relación de recurrencia de Fibonacci. Es decir, si denota la entrada en la fila y la columna de la matriz, entonces ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$${\estilo de visualización i}$${\displaystyle (\lpiso i\varphi \rpiso ,\lpiso i\varphi ^{2}\rpiso )}$${\estilo de visualización m}$${\displaystyle i=\lfloor m\varphi \rfloor}$$Estilo de visualización A_{m,n}}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización n}$

${\displaystyle A_{m,1}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi \right\rfloor }$,

${\displaystyle A_{m,2}=\left\lfloor \lfloor m\varphi \rfloor \varphi ^{2}\right\rfloor }$, y

${\displaystyle A_{m,n}=A_{m,n-2}+A_{m,n-1}}$para .${\displaystyle n>2}$

La representación Zeckendorf de cualquier número entero positivo es una representación como suma de números de Fibonacci distintos, de los cuales ninguno es consecutivo en la secuencia de Fibonacci. Como describe Kimberling (1995), los números dentro de cada fila de la matriz tienen una representación Zeckendorf que difiere entre sí mediante una operación de desplazamiento, y los números dentro de cada columna tienen representaciones Zeckendorf que utilizan el mismo número de Fibonacci más pequeño. En particular, la entrada de la matriz es el número más pequeño cuya representación Zeckendorf comienza con el número de Fibonacci. $Estilo de visualización A_{m,n}}$${\estilo de visualización m}$${\estilo de visualización (n+1)}$

Cada par de Wythoff aparece exactamente una vez en la matriz Wythoff, como un par consecutivo de números en la misma fila, con un índice impar para el primer número y un índice par para el segundo. Como cada entero positivo aparece exactamente en un par de Wythoff, cada entero positivo aparece exactamente una vez en la matriz (Morrison 1980).

Toda secuencia de números enteros positivos que satisface la recurrencia de Fibonacci aparece desplazada, como máximo, un número finito de posiciones en la matriz de Wythoff. En particular, la propia secuencia de Fibonacci es la primera fila, y la secuencia de números de Lucas aparece desplazada en la segunda fila (Morrison 1980).

• Kimberling, Clark (1995), "La matriz Zeckendorf es igual a la matriz Wythoff" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 33 (1): 3–8.
• Morrison, DR (1980), "Una matriz Stolarsky de pares Wythoff", Una colección de manuscritos relacionados con la secuencia de Fibonacci (PDF) , Santa Clara, California: The Fibonacci Association, págs. 134-136.
• Stolarsky, KB (1977), "Un conjunto de secuencias de Fibonacci generalizadas tales que cada número natural pertenece exactamente a uno" (PDF) , Fibonacci Quarterly , 15 (3): 224.

• Weisstein, Eric W. "Matriz Wythoff". MathWorld .