Rectángulo

En geometría plana euclidiana , un rectángulo es un polígono convexo rectilíneo o un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos . También se puede definir como: un cuadrilátero equiangular, ya que equiangular significa que todos sus ángulos son iguales (360°/4 = 90°); o un paralelogramo que contiene un ángulo recto. Un rectángulo con cuatro lados de igual longitud es un cuadrado . El término " oblongo " se usa para referirse a un rectángulo no cuadrado . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Un rectángulo con vértices ABCD se denotaría como ABCD . 

La palabra rectángulo proviene del latín rectangulus , que es una combinación de rectus (como adjetivo, correcto, propio) y angulus ( ángulo ).

Un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado (autointersecante) que consta de dos lados opuestos de un rectángulo junto con las dos diagonales ^{[ 4 ]} (por lo tanto, solo dos lados son paralelos). Es un caso especial de un antiparalelogramo , y sus ángulos no son rectos ni todos iguales, aunque los ángulos opuestos son iguales. Otras geometrías, como la esférica , la elíptica y la hiperbólica , tienen los llamados rectángulos con lados opuestos de igual longitud y ángulos iguales que no son rectos.

Los rectángulos intervienen en muchos problemas de teselado , como por ejemplo, teselar un plano con rectángulos o teselar un rectángulo con polígonos .

Un cuadrilátero convexo es un rectángulo si y solo si es alguno de los siguientes: ^{[ 5 ] [ 6 ]}

• un paralelogramo con al menos un ángulo recto
• un paralelogramo con diagonales de igual longitud
• un paralelogramo ABCD donde los triángulos ABD y DCA son congruentes
• un cuadrilátero equiangular
• un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos
• un cuadrilátero donde las dos diagonales tienen la misma longitud y se bisecan mutuamente ^{[ 7 ].}
• un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$. ^{[ 8 ] : fn.1}
• un cuadrilátero convexo con lados sucesivos a , b , c , d cuya área es${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$^{[ 8 ]}

Si un rectángulo tiene longitud${\displaystyle \ell }$y ancho${\displaystyle w}$, entonces: ^{[ 11 ]}

• tiene área${\displaystyle A=\ell w\,}$;
• tiene perímetro${\displaystyle P=2\ell +2w=2(\ell +w)\,}$;
• cada diagonal tiene longitud${\displaystyle d={\sqrt {\ell ^{2}+w^{2}}}}$; y
• cuando${\displaystyle \ell =w\,}$, el rectángulo es un cuadrado . ^{[ 1 ]}

El teorema isoperimétrico para rectángulos establece que entre todos los rectángulos de un perímetro dado , el cuadrado tiene la mayor área .

Los puntos medios de los lados de cualquier cuadrilátero con diagonales perpendiculares forman un rectángulo.

Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo.

El teorema japonés para cuadriláteros cíclicos ^{[ 12 ]} establece que los incentros de los cuatro triángulos determinados por los vértices de un cuadrilátero cíclico tomados de tres en tres forman un rectángulo.

El teorema de la bandera británica establece que con vértices denotados A , B , C y D , para cualquier punto P en el mismo plano de un rectángulo: ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \displaystyle (AP)^{2}+(CP)^{2}=(BP)^{2}+(DP)^{2}.}$

Para cada cuerpo convexo C en el plano, podemos inscribir un rectángulo r en C tal que una copia homotética R de r esté circunscrita a C y la razón de homotecia positiva sea como máximo 2 y${\displaystyle 0.5{\text{ × Área}}(R)\leq {\text{Área}}(C)\leq 2{\text{ × Área}}(r)}$. ^{[ 14 ]}

Existe un rectángulo único con lados${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, dónde${\displaystyle a}$es menor que${\displaystyle b}$, con dos formas de plegarse a lo largo de una línea que pasa por su centro, de manera que el área de superposición se minimiza y cada área produce una forma diferente : un triángulo y un pentágono. La relación única de las longitudes de los lados es ${\displaystyle \displaystyle {\frac {a}{b}}=0.815023701...}$. ^{[ 15 ]}

Un cuadrilátero cruzado (autointersecante) se compone de dos lados opuestos de un cuadrilátero no autointersecante, junto con sus dos diagonales. De manera similar, un rectángulo cruzado es un cuadrilátero cruzado formado por dos lados opuestos de un rectángulo, junto con sus dos diagonales. Presenta la misma disposición de vértices que el rectángulo. Se presenta como dos triángulos idénticos con un vértice común, pero la intersección geométrica no se considera un vértice.

Un cuadrilátero cruzado a veces se compara con una pajarita o una mariposa , y también se le llama "ocho angular". Una estructura rectangular tridimensional de alambre retorcida puede adoptar la forma de una pajarita.

El interior de un rectángulo cruzado puede tener una densidad poligonal de ±1 en cada triángulo, dependiendo de la orientación del bobinado, ya sea en sentido horario o antihorario.

Un rectángulo cruzado puede considerarse equiangular si se permiten giros a la derecha y a la izquierda. Al igual que con cualquier cuadrilátero cruzado , la suma de sus ángulos interiores es 720°, lo que permite que los ángulos internos aparezcan en el exterior y superen los 180°. ^{[ 16 ]}

Un rectángulo y un rectángulo cruzado son cuadriláteros que comparten las siguientes propiedades:

• Los lados opuestos tienen la misma longitud.
• Las dos diagonales tienen la misma longitud.
• Tiene dos líneas de simetría de reflexión y simetría rotacional de orden 2 (que abarcan 180°).

En geometría esférica , un rectángulo esférico es una figura cuyos cuatro lados son arcos de círculo máximo que se intersecan en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud. La superficie de una esfera en la geometría euclidiana del sólido es una superficie no euclidiana en el sentido de la geometría elíptica. La geometría esférica es la forma más simple de geometría elíptica.

En geometría elíptica , un rectángulo elíptico es una figura en el plano elíptico cuyos cuatro lados son arcos elípticos que se unen en ángulos iguales mayores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.

En geometría hiperbólica , un rectángulo hiperbólico es una figura en el plano hiperbólico cuyos cuatro lados son arcos hiperbólicos que se unen en ángulos iguales menores de 90°. Los arcos opuestos tienen la misma longitud.

El rectángulo se utiliza en muchos patrones de teselación periódicos , en la mampostería , por ejemplo, en estos mosaicos:

Un rectángulo cubierto con cuadrados, rectángulos o triángulos se denomina, respectivamente, rectángulo "cuadrado", "rectangular" o "triangulado". El rectángulo cubierto es perfecto ^{[ 17 ] [ 18 ]} si las teselas son similares y su número es finito, y no hay dos teselas del mismo tamaño. Si dos teselas de este tipo son del mismo tamaño, el recubrimiento es imperfecto . En un rectángulo triangular perfecto (o imperfecto), los triángulos deben ser rectángulos . En squaring.net se puede encontrar una base de datos de todos los rectángulos perfectos, cuadrados perfectos y figuras relacionadas conocidos . El número mínimo de cuadrados necesarios para un recubrimiento perfecto de un rectángulo es 9 ^{[ 19 ]} y el número mínimo necesario para un recubrimiento perfecto de un cuadrado es 21, según se determinó en 1978 mediante una búsqueda informática. ^{[ 20 ]}

Un rectángulo tiene lados conmensurables si y solo si se puede cubrir con un número finito de cuadrados desiguales. ^{[ 17 ] [ 21 ]} Lo mismo ocurre si las teselas son triángulos rectángulos isósceles desiguales .

Los recubrimientos de rectángulos con otras teselas que más atención han atraído son aquellos realizados con poliominós no rectangulares congruentes , que permiten todas las rotaciones y reflexiones. También existen recubrimientos realizados con poliabolos congruentes .

Los siguientes puntos de código Unicode representan rectángulos:

 U+25AC ▬ RECTÁNGULO NEGRO U+25AD ▭ RECTÁNGULO BLANCO U+25AE ▮ RECTÁNGULO VERTICAL NEGRO U+25AF ▯ RECTÁNGULO VERTICAL BLANCO

• Cuboides
• Rectángulo áureo
• Hiperrectángulo
• Superelipse (incluye un rectángulo con esquinas redondeadas)

• Weisstein, Eric W. "Rectángulo" . MathWorld .
• Definición y propiedades de un rectángulo con animación interactiva.
• Área de un rectángulo con animación interactiva.