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En matemáticas recreativas , un poliábolo (también conocido como politan o politrong ) es una figura formada al pegar triángulos rectángulos isósceles borde con borde, formando una poliforma con el triángulo rectángulo isósceles como forma base. Los poliábolos fueron introducidos por Martin Gardner en su columna de junio de 1967 " Juegos matemáticos " en Scientific American . [1]
Nomenclatura
El nombre polyabolo es una formación inversa del objeto de malabarismo ' diabolo ', aunque la forma formada al unir dos triángulos en un solo vértice no es un polyabolo propiamente dicho. Por falsa analogía, tratando el di- en diabolo como si significara "dos", los polyabolos con de 1 a 10 celdas se llaman respectivamente monabolos, diabolos, triabolos, tetrabolos, pentabolos, hexabolos, heptabolos, octabolos, eneabolos y decabolos. El nombre polytan se deriva del nombre tetratan de Henri Picciotto y alude al antiguo juego chino de tangrams .
Enumeración combinatoria
Hay dos formas en las que un cuadrado de un poliábolo puede estar formado por dos triángulos rectángulos isósceles, pero los poliábolos se consideran equivalentes si tienen los mismos límites. El número de poliábolos no equivalentes compuestos por 1, 2, 3, … triángulos es 1, 3, 4, 14, 30, 107, 318, 1116, 3743, … (secuencia A006074 en la OEIS ).
Los poliábolos que están confinados estrictamente en el plano y no se pueden voltear pueden denominarse unilaterales. El número de poliábolos unilaterales compuestos por 1, 2, 3, … triángulos es 1, 4, 6, 22, 56, 198, 624, 2182, 7448, … (secuencia A151519 en la OEIS ).
En el caso de un poliominó , un poliábolo que no se puede voltear ni rotar se puede denominar fijo. Un poliábolo sin simetrías (rotación o reflexión) corresponde a 8 poliábolos fijos distintos.
Un poliábolo no simplemente conexo es aquel que tiene uno o más agujeros. El valor más pequeño de n para el cual un n -ábolo no es simplemente conexo es 7.
Rectángulos de mosaico con copias de un único poliábolo
En 1968, David A. Klarner definió el orden de un poliominó. De manera similar, el orden de un poliábolo P puede definirse como el número mínimo de copias congruentes de P que pueden ensamblarse (permitiendo la traslación, la rotación y la reflexión) para formar un rectángulo .
Un poliábolo tiene orden 1 si y solo si es un rectángulo. Los poliábolos de orden 2 también son fácilmente reconocibles. Solomon W. Golomb encontró poliábolos, incluido un triábolo, de orden 8. [2] Michael Reid encontró un heptábolo de orden 6. [3] Son posibles órdenes superiores.
Existen teselaciones interesantes del plano euclidiano que involucran poliábolos. Una de ellas es el mosaico de cuadrados tetrakis , una teselación monoédrica que llena todo el plano euclidiano con 45–45–90 triángulos.
Teselación de una figura común con varios poliábolos
El problema de compatibilidad consiste en tomar dos o más poliábolos y encontrar una figura que pueda ser teselada con cada uno de ellos. Este problema ha sido estudiado mucho menos que el problema de compatibilidad para poliominós. Los resultados sistemáticos aparecieron por primera vez en 2004 en el sitio web Math Magic de Erich Friedman. [4]
Referencias
- ^ Gardner, Martin (junio de 1967). "El polihexágono y el poliábolo, piezas de un rompecabezas poligonal". Scientific American . 216 (6): 124– 132. doi :10.1038/scientificamerican0367-124.
- ^ Golomb, Solomon W. (1994). Polyominoes (2.ª ed.) . Princeton University Press. pág. 101. ISBN 0-691-02444-8.
- ^ Goodman, Jacob E. ; O'Rourke, Joseph, eds. (2004). Manual de geometría discreta y computacional (2.ª ed.) . Chapman & Hall/CRC. pág. 349. ISBN 1-58488-301-4.
- ^ Friedman, Erich. "Polipoliformas". Magia matemática .
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Poliabolo". MathWorld .
- Weisstein, Eric W. "Triábolo". MundoMatemático .