Densidad (politopo)

Para un polígono estrellado regular { p / q }, la densidad es q . Se puede determinar visualmente contando el número mínimo de cruces de aristas de un rayo desde el centro hasta el infinito.

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  Un polígono de un solo cruce, como este pentágono equilátero , tiene una densidad de 0.
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  El pentágono regular {5} tiene densidad 1.
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  El isotoxal tetradecágono , {(7/2) _α }, tiene una densidad de 2, similar a la del {7/2} regular.
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  El heptagrama {7/3} tiene una densidad de 3.
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  El hexagrama (compuesto) isotoxal 2{(3/2) _α } tiene una densidad de 4.
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  El dodecagrama isotoxal , {(6/5) _α }, tiene una densidad de 5, similar a la del {12/5} regular.

Un poliedro puede considerarse una superficie con curvatura gaussiana concentrada en los vértices y definida por un defecto angular . La densidad de un poliedro es igual a la curvatura total (sumada sobre todos sus vértices) dividida por 4π . ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices, cada uno con 3 cuadrados , dejando un defecto angular de π /2. 8 × π /2 = 4π . Por lo tanto, la densidad del cubo es 1.

La densidad de un poliedro con caras simples y figuras de vértice es la mitad de la característica de Euler , χ . Si su género es g , su densidad es 1− g .

χ = V − E + F = 2 D = 2(1− g ).

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  La densidad del poliedro esférico topológico es uno , como un cubo . v=8, e=12, f=6.
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  La densidad de un poliedro toroidal de género 1 es cero , como esta forma hexagonal: v=24, e=48, f=24.
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  La densidad de un toroide de género 5 es −4 , como este toroide de Stewart : v=72, e=168, f=88.

Arthur Cayley utilizó la densidad como una forma de modificar la fórmula del poliedro de Euler ( V − E + F = 2) para que funcionara con los poliedros estrellados regulares , donde d _v es la densidad de una figura de vértice , d _f de una cara y D del poliedro en su conjunto:

${\displaystyle d_{v}v-e+d_{f}f=2D}$^{[ 3 ]}

Por ejemplo, el gran icosaedro , {3,  5/2}, tiene 20 caras triangulares ( d _f  =  1), 30 aristas y 12 figuras de vértice pentagramáticas ( d _v  =  2), lo que da como resultado

2·12 − 30 + 1·20 = 14 = 2 D .

Esto implica una densidad de 7. La fórmula del poliedro de Euler sin modificar falla para el pequeño dodecaedro estrellado {5/2,  5} y su gran dodecaedro dual {5,  5/2}, para los cuales V − E + F = −6.

Los poliedros estrellados regulares existen en dos pares duales, donde cada figura tiene la misma densidad que su dual: un par (dodecaedro estrellado pequeño-dodecaedro grande) tiene una densidad de 3, mientras que el otro ( dodecaedro estrellado grande -icosaedro grande) tiene una densidad de 7.

Edmund Hess generalizó la fórmula para poliedros estrellados con diferentes tipos de caras, algunas de las cuales pueden plegarse sobre otras. El valor resultante de la densidad corresponde al número de veces que el poliedro esférico asociado cubre la esfera.

${\displaystyle \sum _{i}d_{vi}v_{i}-e+\sum _{i}d_{fi}f_{i}=2D}$

Esto permitió a Coxeter et al. determinar las densidades de la mayoría de los poliedros uniformes , que tienen un tipo de vértice y múltiples tipos de caras. ^{[ 4 ]}

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  La densidad de un prisma octogonal , enrollado dos veces, es 2 , {8/2}×{}, que se muestra aquí con vértices desplazados para mayor claridad. v=16, e=24 f ₁ =8 {4}, f ₂ =2 {8/2} con d _f1 =1, d _f2 =2, d _v =1.
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  La densidad de un prisma pentagramático , {5/2}×{} es 2 . v=10, e=15, f ₁ =5 {4}, f ₂ =2 {5/2}, d _f1 =1, d _f2 =2.

Para los hemipoliedros , algunas de cuyas caras pasan por el centro, la densidad no se puede definir de esta manera. Los poliedros no orientables tampoco tienen densidades bien definidas.