Defecto angular

En geometría , el defecto angular o simplemente defecto (también llamado déficit o deficiencia ) es la falta de que algunos ángulos sumen la cantidad esperada de 360° o 180°, cuando dichos ángulos en el plano euclidiano sí lo harían. La noción opuesta es el exceso .

Clásicamente, el defecto surge en dos contextos: en el plano euclidiano, la suma de los ángulos alrededor de un punto es 360°, mientras que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°. Sin embargo, en un poliedro convexo , la suma de los ángulos de las caras que convergen en un vértice es menor que 360° (un defecto), mientras que la suma de los ángulos en algunos vértices de un poliedro no convexo puede ser mayor que 360° (un exceso). Además, la suma de los ángulos en un triángulo hiperbólico es menor que 180° (un defecto), mientras que la suma de los ángulos en un triángulo esférico es mayor que 180° (un exceso).

En términos modernos, el defecto en un vértice es una versión discreta de la curvatura de la superficie poliédrica concentrada en ese punto . Un defecto negativo indica que el vértice se asemeja a un punto de silla (curvatura negativa), mientras que un defecto positivo indica que el vértice se asemeja a un máximo o mínimo local (curvatura positiva). El teorema de Gauss-Bonnet proporciona la curvatura total como${\displaystyle 2\pi }$veces la característica de Euler${\displaystyle \chi =2}$, por lo tanto, para un poliedro convexo la suma de los defectos es${\displaystyle 4\pi }$, mientras que un poliedro toroidal tiene${\displaystyle \chi =0}$y cero defectos totales.

En un poliedro , el defecto en un vértice es igual a 2π menos la suma de todos los ángulos que lo componen (incluyendo todas las caras). Si el poliedro es convexo, el defecto de cada vértice siempre es positivo. Si la suma de los ángulos excede una vuelta completa , como ocurre en algunos vértices de muchos poliedros no convexos, el defecto es negativo.

El concepto de defecto se extiende a dimensiones superiores como la cantidad en la que la suma de los ángulos diedros de las celdas en un pico no alcanza a formar un círculo completo.

El defecto de cualquiera de los vértices de un dodecaedro regular (en el que tres pentágonos regulares convergen en cada vértice) es de 36°, o π/5 radianes, o 1/10 de un círculo. Cada uno de los ángulos mide 108°; tres de ellos convergen en cada vértice, por lo que el defecto es 360° − (108° + 108° + 108°) = 36°.

Se puede seguir el mismo procedimiento para los demás sólidos platónicos :

El teorema de Descartes sobre el "defecto total" de un poliedro establece que si el poliedro es homeomorfo a una esfera (es decir, topológicamente equivalente a una esfera, de modo que puede deformarse en una esfera estirándolo sin romperse), el "defecto total", es decir, la suma de los defectos de todos los vértices, es de dos círculos completos (o 720° o 4π radianes ). El poliedro no tiene por qué ser convexo. ^{[ 1 ]}

Una generalización establece que el número de círculos en el defecto total es igual a la característica de Euler del poliedro. Este es un caso particular del teorema de Gauss-Bonnet , que relaciona la integral de la curvatura gaussiana con la característica de Euler. Aquí, la curvatura gaussiana se concentra en los vértices: en las caras y aristas la curvatura es cero (la superficie es localmente isométrica a un plano euclidiano) y la integral de la curvatura en un vértice es igual al defecto en ese punto (por definición).

Esto se puede utilizar para calcular el número V de vértices de un poliedro sumando los ángulos de todas las caras y añadiendo el defecto total (que es${\displaystyle 2\pi }$veces la característica de Euler). Este total tendrá un círculo completo por cada vértice del poliedro.

Un recíproco al teorema de Descartes viene dado por el teorema de Alexandrov sobre poliedros , según el cual un espacio métrico que es localmente euclidiano (por lo tanto, curvatura cero) excepto por un número finito de puntos de defecto angular positivo, sumando a${\displaystyle 4\pi }$, puede realizarse de forma única como la superficie de un poliedro convexo. ^{[ 2 ]}

Resulta tentador pensar que todo poliedro no convexo debe tener algunos vértices cuyo defecto sea negativo, pero esto no tiene por qué ser así si la característica de Euler es positiva (una esfera topológica).

Un contraejemplo lo proporciona un cubo en el que una cara se reemplaza por una pirámide cuadrada : esta pirámide cuadrada alargada es convexa y los defectos en cada vértice son positivos. Ahora consideremos el mismo cubo donde la pirámide cuadrada se introduce en él: este es cóncavo, pero los defectos permanecen iguales, por lo que todos son positivos.

Dos contraejemplos de poliedros que se autointersecan son el pequeño dodecaedro estrellado y el gran dodecaedro estrellado , con doce y veinte puntos convexos respectivamente, todos con defectos positivos.

• Weisstein, Eric W. "Defecto angular" . MathWorld .