Polígono equiangular

En geometría euclidiana , un polígono equiángulo es un polígono cuyos ángulos en los vértices son iguales. Si las longitudes de los lados también son iguales (es decir, si también es equilátero ), entonces es un polígono regular . Los polígonos isogonales son polígonos equiángulos que alternan dos longitudes de aristas.

Para mayor claridad, un polígono equiangular plano puede denominarse directo o indirecto . Un polígono equiangular directo tiene todos los ángulos girando en la misma dirección en un plano y puede incluir múltiples giros . Los polígonos equiangulares convexos siempre son directos. Un polígono equiangular indirecto puede incluir ángulos que giran hacia la derecha o hacia la izquierda en cualquier combinación. Un polígono equiangular oblicuo puede ser isogonal , pero no puede considerarse directo ya que no es plano.

Un espirolateral n _θ es un caso especial de un polígono equiangular con un conjunto de n longitudes de aristas enteras que se repiten en secuencia hasta volver al inicio, con ángulos internos en los vértices θ.

Un polígono equiangular se puede construir a partir de un polígono regular o un polígono regular en estrella donde los bordes se extienden como líneas infinitas . Cada borde se puede mover independientemente perpendicularmente a la dirección de la línea. Los vértices representan el punto de intersección entre pares de líneas vecinas. Cada línea movida ajusta su longitud de borde y las longitudes de sus dos bordes vecinos. ^[1] Si los bordes se reducen a longitud cero, el polígono se degenera, o si se reduce a longitudes negativas , esto invertirá los ángulos internos y externos.

En el caso de un polígono equiangular directo de lados pares, con ángulos internos θ°, el movimiento de los bordes alternos puede invertir todos los vértices en ángulos suplementarios de 180-θ°. Los polígonos equiangulares directos de lados impares solo se pueden invertir parcialmente, lo que deja una mezcla de ángulos suplementarios.

Cada polígono equiangular puede ajustarse en proporciones mediante esta construcción y aún así conservar su condición de equiangular.

Para un p -gono equiangular convexo , cada ángulo interno es 180(1-2/ p )°; este es el teorema del polígono equiangular .

Para un polígono estrellado p / q equiangular directo , densidad q , cada ángulo interno es 180(1-2 q / p )°, con 1<2 q < p . Para w = mcd( p , q )>1, esto representa un polígono estrellado ( p / w )/( q / w ) w -enrollado , que es degenerado para el caso regular.

Un ( p _r + p _l )-gono equiangular indirecto cóncavo , con p _r vértices de giro a la derecha y p _l vértices de giro a la izquierda, tendrá ángulos internos de 180(1-2/| p _r - p _l |))°, independientemente de su secuencia. Un ( p _r + p _l )-gono equiangular indirecto en estrella , con p _r vértices de giro a la derecha y p _l vértices de giro a la izquierda y q giros totales , tendrá ángulos internos de 180(1-2 q /| p _r - p _l |))°, independientemente de su secuencia. Un polígono equiangular con el mismo número de giros a la derecha e izquierda tiene cero giros totales y no tiene restricciones en sus ángulos.

A cada p -gono equiangular directo se le puede dar una notación < p > o < p / q >, como los polígonos regulares { p } y los polígonos estrella regulares { p / q }, que contienen p vértices, y las estrellas tienen una densidad q .

Los p -gonos equiangulares convexos < p > tienen ángulos internos de 180(1-2/ p )°, mientras que los polígonos equiangulares estrellados directos, < p / q >, tienen ángulos internos de 180(1-2 q / p )°.

A un p -gono equiángulo indirecto cóncavo se le puede dar la notación < p -2 c >, con c vértices en contragiro. Por ejemplo, <6-2> es un hexágono con ángulos internos de 90° de diferencia, <4>, 1 vértice en contragiro. A un p -gono equilátero indirecto de múltiples vueltas se le puede dar la notación < ^{p -2 c} / _q > con c vértices en contragiro y q vueltas totales . Un polígono equiángulo < p - p > es un p -gono con ángulos internos indefinidos θ, pero se puede expresar explícitamente como < p - p > _θ .

El teorema de Viviani es válido para polígonos equiangulares: ^[2]

La suma de las distancias desde un punto interior a los lados de un polígono equiangular no depende de la ubicación del punto y es invariante de ese polígono.

Un polígono cíclico es equiangular si y solo si los lados alternos son iguales (es decir, los lados 1, 3, 5, ... son iguales y los lados 2, 4, ... son iguales). Por lo tanto, si n es impar, un polígono cíclico es equiangular si y solo si es regular. ^[3]

Para p primo, todo p -gono equiangular de lados enteros es regular. Además, todo p ^k -gono equiangular de lados enteros tiene simetría rotacional de p -fold . ^[4]

Un conjunto ordenado de longitudes de lados da lugar a un n -gono equiangular si y solo si se cumple una de dos condiciones equivalentes para el polinomio: es igual a cero en el valor complejo por el que es divisible ^[5].${\displaystyle (a_{1},\puntos ,a_{n})}$${\displaystyle a_{1}+a_{2}x+\cdots +a_{n-1}x^{n-2}+a_{n}x^{n-1}:}$${\displaystyle e^{2\pi i/n};}$${\displaystyle x^{2}-2x\cos(2\pi /n)+1.}$

Los polígonos equiangulares directos pueden ser regulares, isogonales o de simetría inferior. Los ejemplos de < p / q > se agrupan en secciones por p y se subagrupan por densidad q .

Los triángulos equiángulos deben ser convexos y tener ángulos internos de 60°. Es un triángulo equilátero y un triángulo regular , <3>={3}. El único grado de libertad es la longitud de la arista.

• 
  Regular, {3}, r ₆

Los cuadriláteros equiangulares rectos tienen ángulos internos de 90°. Los únicos cuadriláteros equiangulares son los rectángulos , <4>, y los cuadrados , {4}.

Un cuadrilátero equiangular con lados de longitudes enteras puede ser revestido con cuadrados unitarios . ^[6]

• 
  Regular, {4}, r ₈
• 
  Espirolateral 2 _90° , pág. ₄

Los pentágonos equiangulares directos , <5> y <5/2>, tienen ángulos internos de 108° y 36° respectivamente.

Ángulo interno de 108° desde un pentágono equiangular , <5>

Los pentágonos equiangulares pueden ser regulares , tener simetría bilateral o no tener simetría.

• 
  Regular, r ₁₀
• 
  Simetría bilateral, i ₂
• 
  Sin simetría, un ₁

Ángulos internos de 36° desde un pentagrama equiangular , <5/2>

• 
  Pentagrama regular , r ₁₀
• 
  irregular, d ₂

Los hexágonos equiangulares directos , <6> y <6/2>, tienen ángulos internos de 120° y 60° respectivamente.

Ángulos internos de 120° de un hexágono equiangular , <6>

Un hexágono equiangular con lados de longitudes enteras puede estar revestido con triángulos equiláteros unitarios . ^[6]

• 
  Regular, {6}, r ₁₂
• 
  Espirolateral (1,2) _120° , pág. ₆
• 
  Espirolateral (1…3) _120° , g ₂
• 
  Espirolateral (1,2,2) _120° , i ₄
• 
  Espirolateral (1,2,2,2,1,3) _120° , pág. ₂

Ángulos internos de 60° de un triángulo equiangular de doble vuelta, <6/2>

• 
  Regular, degenerada, r ₆
• 
  Espirolateral (1,3) _60° , pág. ₆
• 
  Espirolateral (1,2) _60° , pág. ₆
• 
  Espirolateral (2,3) _60° , pág. ₆
• 
  Espirolateral (1,2,3,4,3,2) _60° , pág. ₂

Los heptágonos equiangulares directos , <7>, <7/2> y <7/3> tienen ángulos internos de 128 4/7°, 77 1/7° y 25 5/7° respectivamente.

Ángulos internos de 128,57° de un heptágono equiangular , <7>

• 
  Regular, {7}, r ₁₄
• 
  irregular, yo ₂

77,14° ángulos internos de un heptagrama equiangular , <7/2>

• 
  Regular, r ₁₄
• 
  irregular, yo ₂

25,71° ángulos internos de un heptagrama equiangular , <7/3>

• 
  Regular, r ₁₄
• 
  irregular, yo ₂

Los octógonos equiangulares directos , <8>, <8/2> y <8/3>, tienen ángulos internos de 135°, 90° y 45° respectivamente.

Ángulos internos de 135° de un octágono equiangular , <8>

• 
  Regular, r ₁₆
• 
  Espirolateral (1,2) _135° , pág. ₈
• 
  Espirolateral (1…4) _135° , g ₂
• 
  Cuadrado truncado desigual, pág. ₂

Ángulos internos de 90° de un cuadrado equiangular de doble vuelta , <8/2>

• 
  Degenerada regular, r ₈
• 
  Espirolateral (1,2,2,3,3,2,2,1) _90° , d ₂
• 
  Espirolateral (2,1,3,2,2,3,1,2) _90° , d ₂

Ángulos internos de 45° de un octagrama equiangular , <8/3>

• 
  Regular, r ₁₆
• 
  Isogonal, pág. ₈
• 
  Isogonal, pág. ₈
• 
  Espirolateral , (1,2) _45° , pág. ₈
• 
  Isogonal, pág. ₈
• 
  Espirolateral (1…4) _45° , g ₂

Los eneágonos equiangulares directos , <9>, <9/2>, <9/3> y <9/4> tienen ángulos internos de 140°, 100°, 60° y 20° respectivamente.

Ángulos internos de 140° de un eneágono equiangular <9>

• 
  Regular, r ₁₈
• 
  Espirolateral (1,1,3) _140° , i ₆

Ángulos internos de 100° de un eneagrama equiangular , <9/2>

• 
  Regular {9/2}, pág. ₉
• 
  Espirolateral (1,1,5) _100° , i ₆
• 
  Espirolateral 3 _100° , g ₃

Ángulos internos de 60° de un triángulo equiangular de triple curvatura , <9/3>

• 
  Regular, degenerada, r ₆
• 
  Irregular, un ₁
• 
  Irregular, un ₁
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 20° de un eneagrama equiangular , <9/4>

• 
  Regular {9/4}, r ₁₈
• 
  Espirolateral 3 _20° , g ₃
• 
  irregular, yo ₂

Los decágonos equiangulares directos , <10>, <10/2>, <10/3>, <10/4>, tienen ángulos internos de 144°, 108°, 72° y 36° respectivamente.

Ángulos internos de 144° de un decágono equiangular <10>

• 
  Regular, r ₂₀
• 
  Espirolateral (1,2) _144° , pág. ₁₀
• 
  Espirolateral (1…5) _144° , g ₂

Ángulos internos de 108° de un pentágono equiangular de doble vuelta <10/2>

• 
  Regular, degenerado
• 
  Espirolateral (1,2) _108° , pág. ₁₀
• 
  Irregular, pág. ₂

Ángulos internos de 72° de un decagramo equiangular <10/3>

• 
  Regular {10/3}, r ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₁₀
• 
  Espirolateral (1,2) _72° , pág. ₁₀
• 
  irregular, yo ₄
• 
  Espirolateral (1…5) _72° , g ₂

Ángulos internos de 36° de un pentagrama equiangular de doble vuelta <10/4>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₀
• 
  Espirolateral (1,2) _36° , pág. ₁₀
• 
  Isogonal, pág. ₁₀
• 
  Isogonal, pág. ₁₀
• 
  Irregular, pág. ₂
• 
  Irregular, pág. ₂
• 
  Irregular, pág. ₂

Los endecágonos equiangulares directos , <11>, <11/2>, <11/3>, <11/4> y <11/5> tienen ángulos internos de 147 3/11°, 114 6/11°, 81 9/11°, 49 1/11° y 16 4/11° respectivamente.

Ángulos internos de 147° desde un endecágono equiangular , <11>

• 
  Regular, {11}, r ₂₂

Ángulos internos de 114° a partir de un endecagramo equiangular , <11/2>

• 
  Regular {11/2}, r ₂₂

Ángulos internos de 81° a partir de un endecagramo equiangular , <11/3>

• 
  Regular {11/3}, r ₂₂

Ángulos internos de 49° a partir de un endecagramo equiangular , <11/4>

• 
  Regular {11/4}, r ₂₂

Ángulos internos de 16° a partir de un endecagramo equiangular , <11/5>

• 
  Regular {11/5}, r ₂₂

Los dodecágonos equiangulares directos , <12>, <12/2>, <12/3>, <12/4> y <12/5> tienen ángulos internos de 150°, 120°, 90°, 60° y 30° respectivamente.

Ángulos internos de 150° de un dodecágono equiangular , <12>

Las soluciones convexas con longitudes de aristas enteras se pueden revestir con bloques de patrones , cuadrados, triángulos equiláteros y rombos de 30° . ^[6]

• 
  Regular, {12}, r ₂₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₂
• 
  Espirolateral (1,2) _150° , pág. ₁₂
• 
  Espirolateral (1…3) _150° , g ₄
• 
  Espirolateral (1…4) _150° , g ₃
• 
  Espirolateral (1…6) _150° , g ₂

Ángulos internos de 120° de un hexágono equiangular de doble vuelta , <12/2>

• 
  Degenerada regular, r ₁₂
• 
  Espirolateral , (1…4) _120° , g ₃
• 
  irregular, d ₂
• 
  irregular, d ₂

Ángulos internos de 90° de un cuadrado equiangular de triple curvatura , <12/3>

• 
  Regular, degenerada, r ₈
• 
  Espirolateral (1…3) _90° , g ₂
• 
  Espirolateral (2…4) _90° , g ₄
• 
  Espirolateral (1,1,3) _90° , i ₈
• 
  Espirolateral (1,2,2) _90° , i ₈
• 
  Espirolateral (1…6) _90° , g ₂
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 60° de un triángulo equiangular de cuatro vueltas , <12/4>

• 
  Regular, degenerada, r ₆
• 
  Espirolateral (1,3,5,1) _60° , pág. ₆
• 
  Espirolateral (1…4) _60° , g ₃
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 30° de un dodecagrama equiangular , <12/5>

• 
  Regular {12/5}, r ₂₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₂
• 
  Espirolateral (1,2) _30° , pág. ₁₂
• 
  Espirolateral (1…3) _30° , g ₄
• 
  Espirolateral (1…4) _30° , g ₃
• 
  Espirolateral (1…6) _30° , g ₂

Los tetradecágonos equiangulares directos , <14>, <14/2>, <14/3>, <14/4> y <14/5>, <14/6>, tienen ángulos internos de 154 2/7°, 128 4/7°, 102 6/7°, 77 1/7°, 51 3/7° y 25 5/7° respectivamente.

Ángulos internos de 154,28° de un tetradecágono equiangular , <14>

• 
  Regular {14}, r ₂₈
• 
  Isogonal, t{7}, pág. ₁₄

Ángulos internos de 128,57° de un heptágono regular de doble curvatura equiangular , <14/2>

• 
  Degenerada regular, r ₁₄
• 
  Isogonal, t{7/2}, pág. ₁₄
• 
  Espirolateral 2 _128,57°

102,85° ángulos internos de un tetradecagramo equiangular , <14/3>

• 
  Regular {14/3}, r ₂₈
• 
  T isogonal{7/3}, pág. ₁₄

Ángulos internos de 77,14° a partir de un heptagrama equiangular de doble enroscamiento <14/4>

• 
  Degenerada regular, r ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  Espirolateral 2 _77,14°

Ángulos internos de 51,43° de un tetradecagramo equiangular , <14/5>

• 
  Regular {14/5}, r ₂₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄

Ángulos internos de 25,71° a partir de un heptagrama equiangular de doble vuelta , <14/6>

• 
  Degenerada regular, r ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  Isogonal, pág. ₁₄
• 
  irregular, d ₂

Los pentadecágonos equiangulares directos , <15>, <15/2>, <15/3>, <15/4>, <15/5>, <15/6> y <15/7>, tienen ángulos internos de 156°, 132°, 108°, 84°, 60° y 12° respectivamente.

Ángulos internos de 156° de un pentadecágono equiangular, <15>

• 
  Regular, {15}, r ₃₀

Ángulos internos de 132° de un pentadecagrama equiangular , <15/2>

• 
  Regular, {15/2}, r ₃₀

Ángulos internos de 108° desde un pentágono equiangular de triple curvatura, <15/3>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₀
• 
  espirolateral (1…3) _108° , g ₅

Ángulos internos de 84° de un pentadecagrama equiangular, <15/4>

• 
  Regular, {15/4}, r ₃₀

Ángulos internos de 60° de un triángulo equiangular de 5 vueltas , <15/5>

• 
  Regular, degenerada, r ₆
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 36° desde un pentagrama equiangular de triple vuelta , <15/6>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₀
• 
  Irregular, un ₁
• 
  Espirolateral (1…4) _36° , g ₅

Ángulos internos de 12° de un pentadecagrama equiangular, <15/7>

• 
  Regular, {15/7}, r ₃₀

Los hexadecágonos equiangulares directos , <16>, <16/2>, <16/3>, <16/4>, <16/5>, <16/6> y <16/7>, tienen ángulos internos de 157,5°, 135°, 112,5°, 90°, 67,5°, 45° y 22,5° respectivamente.

Ángulos internos de 157,5° de un hexadecágono equiangular , <16>

• 
  Regular, {16}, r ₃₂
• 
  Isogonal, t{8}, pág. ₁₆
• 
  Espirolateral (1…4) _157,5° , g ₄

Ángulos internos de 135° a partir de un octógono equiangular de doble vuelta, <16/2>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₆
• 
  Irregular, pág. ₁₆

Ángulos internos de 112,5° de un hexadecagrama equiangular , <16/3>

• 
  Regular, {16/3}, r ₃₂

Ángulos internos de 90° a partir de un cuadrado equiangular de 4 vueltas, <16/4>

• 
  Regular, degenerada, r ₈
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 67,5° de un hexadecagrama equiangular , <16/5>

• 
  Regular, {16/5}, r ₃₂

Ángulos internos de 45° de un octagrama regular de doble enroscamiento equiangular , <16/6>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₆
• 
  espirolateral (1…3) _45° , g ₈

Ángulos internos de 22,5° de un hexadecagrama equiangular , <16/7>

• 
  Regular, {16/7}, r ₃₂
• 
  Isogonal, pág. ₁₆

Los octadecágonos equiangulares directos , <18}, <18/2>, <18/3>, <18/4>, <18/5>, <18/6>, <18/7> y <18/8>, tienen ángulos internos de 160°, 140°, 120°, 100°, 80°, 60°, 40° y 20° respectivamente.

Ángulos internos de 160° de un octadecágono equiangular , <18>

• 
  Regular, {18}, r ₃₆
• 
  Isogonal, t{9}, pág. ₁₈

Ángulos internos de 140° a partir de un eneágono equiangular de doble enroscamiento , <18/2>

• 
  Regular, degenerado
• 
  Espirolateral 2 _140° , pág. ₁₈

Ángulos internos de 120° de un hexágono equiangular de 3 vueltas <18/3>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₈
• 
  irregular, un ₁

Ángulos internos de 100° de un eneagrama de doble vuelta equiangular <18/4>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₈
• 
  Espirolateral 2 _100° , g ₃

Ángulos internos de 80° de un octadecagramo equiangular {18/5}

• 
  Regular, {18/5}, r ₃₆

Ángulos internos de 60° de un triángulo equiangular de 6 vueltas <18/6>

• 
  Regular, degenerada, r ₆
• 
  irregular, un ₁

Ángulos internos de 40° de un octadecagramo equiangular <18/7>

• 
  Regular, {18/7}, r ₃₆
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈

Ángulos internos de 20° de un eneagrama de doble vuelta equiangular <18/8>

• 
  Regular, degenerada, r ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Isogonal, pág. ₁₈
• 
  Espirolateral 2 _20° , pág. ₁₈
• 
  Espirolateral 6 _20° , g ₃

Los icoságonos equiangulares directos , <20>, <20/3>, <20/4>, <20/5>, <20/6>, <20/7> y <20/9>, tienen ángulos internos de 162°, 126°, 108°, 90°, 72°, 54° y 18° respectivamente.

Ángulos internos de 162° de un icoságono equiangular , <20>

• 
  Regular, {20}, r ₄₀
• 
  Espirolateral (1,3) _162° , pág. ₂₀

Ángulos internos de 144° de un decágono equiangular de doble enroscamiento , <20/2>

• 
  Regular, degenerada, r ₂₀
• 
  Espirolateral (1…4) _144° , g ₅

Ángulos internos de 126° a partir de un icosagrama equiangular , <20/3>

• 
  Regular {20/3}, pág. ₄₀
• 
  Espirolateral (1,3) _126° , pág. ₂₀

Ángulos internos de 108° desde un pentágono equiangular de 4 vueltas , <20/4>

• 
  Degenerada regular, r ₁₀
• 
  Espirolateral (1…4) _108° , g ₅
• 
  Irregular, un ₁

Ángulos internos de 90° de un cuadrado equiangular de 5 vueltas , <20/5>

• 
  Degenerada regular, r ₈
• 
  Espirolateral (1…5) _90° , g ₄
• 
  Espirolateral (1,2,3,2,1) _90° , i ₈

Ángulos internos de 72° de un decagramo equiangular de doble enroscamiento , <20/6>

• 
  Degenerada regular, r ₂₀
• 
  Espirolateral (1,2) _72° , pág. ₁₀
• 
  Espirolateral (1…4) _72° , g ₅

Ángulos internos de 54° de un icosagrama equiangular , <20/7>

• 
  Regular {20/7}, r ₄₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀

Ángulos internos de 36° de un pentagrama cuádruple equiangular , <20/8>

• 
  Degenerada regular, r ₁₀
• 
  Espirolateral (1…4) _36° , g ₅
• 
  irregular, un ₁

Ángulos internos de 18° a partir de un icosagrama equiangular , <20/9>

• 
  Regular {20/9}, r ₄₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀
• 
  Isogonal, pág. ₂₀

• Espirolateral

• Williams, R. La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta sobre diseño . Nueva York: Dover Publications , 1979. pág. 32

• Una propiedad de los polígonos equiangulares: ¿de qué se trata? una discusión sobre el teorema de Viviani en Cut-the-knot .
• Weisstein, Eric W. "Polígono equiangular". MathWorld .