Figura isogonal

En geometría , un politopo (por ejemplo, un polígono o un poliedro ) o un recubrimiento es isogonal o transitivo en sus vértices si todos ellos son equivalentes bajo las simetrías de la figura. Esto implica que cada vértice está rodeado por caras del mismo tipo, en el mismo orden o en orden inverso, y con los mismos ángulos entre las caras correspondientes.

Técnicamente, se dice que para cualesquiera dos vértices existe una simetría del politopo que mapea el primero isométricamente sobre el segundo. Otras formas de expresarlo son que el grupo de automorfismos del politopo actúa transitivamente sobre sus vértices, o que los vértices se encuentran dentro de una única órbita de simetría .

Todos los vértices de una figura isogonal finita n -dimensional existen en una ( n -1) -esfera . ^{[ 1 ]}

El término isogonal se ha utilizado durante mucho tiempo para referirse a poliedros. El término transitivo por vértices es un sinónimo tomado de ideas modernas como los grupos de simetría y la teoría de grafos .

El pseudorrombicuboctaedro , que no es isogonal , demuestra que afirmar simplemente que "todos los vértices tienen el mismo aspecto" no es tan restrictivo como la definición utilizada aquí, que implica el grupo de isometrías que preservan el poliedro o el teselado.  

Todos los polígonos regulares , apeirogonos y polígonos estrellados regulares son isogonales . El dual de un polígono isogonal es un polígono isotoxal .

Algunos polígonos pares y apeirogones que alternan dos longitudes de lado, por ejemplo un rectángulo , son isogonales .

Todos los 2 n- gonos isogonales planos tienen simetría diedral (D _n , n = 2, 3, ...) con líneas de reflexión que pasan por los puntos medios de los bordes.

Un poliedro isogonal y un teselado bidimensional tienen un único tipo de vértice. Un poliedro isogonal con todas sus caras regulares es también un poliedro uniforme y puede representarse mediante una notación de configuración de vértices que ordena las caras alrededor de cada vértice. Las variaciones geométricamente distorsionadas de los poliedros y teselados uniformes también pueden representarse mediante esta configuración de vértices.

Los poliedros isogonales y los teselados 2D pueden clasificarse además:

• Regular si también es isoédrico (transitivo en caras) e isotoxal (transitivo en aristas); esto implica que cada cara es del mismo tipo de polígono regular .
• Cuasi-regular si también es isotoxal (transitivo en los bordes) pero no isoédrico (transitivo en las caras).
• Semirregular si todas sus caras son polígonos regulares, pero no es isoédrico (transitivo en caras) ni isotoxal (transitivo en aristas). (La definición varía entre autores; por ejemplo, algunos excluyen los sólidos con simetría diedral o los sólidos no convexos).
• Uniforme si cada una de sus caras es un polígono regular, es decir, regular, cuasiregular o semirregular.
• Semiuniforme si sus elementos también son isogonales pero permiten múltiples longitudes de aristas.
• Escaliforme si todos los bordes tienen la misma longitud.
• Noble si además es isoédrico (transitivo de caras).

Estas definiciones pueden extenderse a politopos y teselaciones de dimensiones superiores . Todos los politopos uniformes son isogonales , por ejemplo, los 4-politopos uniformes y los panales uniformes convexos .

El dual de un politopo isogonal es una figura isoédrica , que es transitiva en sus facetas .

Un politopo o teselado puede denominarse k -isogonal si sus vértices forman k clases de transitividad. Un término más restrictivo, k -uniforme , se define como una figura k-isogonal construida únicamente a partir de polígonos regulares . Pueden representarse visualmente con colores mediante diferentes coloraciones uniformes .

• Transitivo de borde (Figura isotoxal)
• Figura isoédrica transitiva de caras

• Peter R. Cromwell, Poliedros , Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-55432-2pág.  369 Transitividad
• Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1987). Azulejos y patrones . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-1193-1.(p.  33 k- mosaicos isogonales, p.  65 k-mosaicos uniformes )

• Weisstein, Eric W. "Grafo transitivo por vértices" . MathWorld .
• Poliedros caleidoscópicos isogonales Vladimir L. Bulatov , Departamento de Física, Universidad Estatal de Oregón, Corvallis, Presentado en Mosaic2000, Simposio Abierto del Milenio sobre las Artes y la Computación Interdisciplinaria, 21-24 de agosto de 2000, Seattle, WA Modelos VRML
• Steven Dutch utiliza el término k-uniforme para enumerar teselaciones k-isogonales.
• Lista de teselaciones n-uniformes
• Weisstein, Eric W. "Teselaciones semiregulares" . MathWorld .(También utiliza el término k-uniforme para k-isogonal)