Polígono equilátero

En geometría , un polígono equilátero es aquel cuyos lados tienen la misma longitud. Excepto en el caso del triángulo , un polígono equilátero no tiene por qué ser equiangular (tener todos sus ángulos iguales), pero si lo es, se trata de un polígono regular . Si el número de lados es al menos cuatro, un polígono equilátero no tiene por qué ser convexo : puede ser cóncavo o incluso autointersecante .

Todos los polígonos regulares y los polígonos transitivos por aristas son equiláteros. Cuando un polígono equilátero no se cruza y es cíclico (sus vértices están en una circunferencia), debe ser regular. Un cuadrilátero equilátero debe ser convexo; este polígono es un rombo (posiblemente un cuadrado ).

Pentágono equilátero convexo

Pentágono equilátero cóncavo

Un pentágono equilátero convexo se puede describir mediante dos ángulos consecutivos que, en conjunto, determinan los demás ángulos. Sin embargo, los pentágonos equiláteros, y los polígonos equiláteros con más de cinco lados, también pueden ser cóncavos, y si se permiten los pentágonos cóncavos, entonces dos ángulos ya no son suficientes para determinar su forma.

Un polígono tangente (aquel que tiene una circunferencia inscrita tangente a todos sus lados) es equilátero si y solo si los ángulos alternos internos son iguales (es decir, los ángulos 1, 3, 5, ... son iguales y los ángulos 2, 4, ... son iguales). Por lo tanto, si el número de lados n es impar, un polígono tangente es equilátero si y solo si es regular. ^{[ 1 ]}

El teorema de Viviani se generaliza a polígonos equiláteros: ^{[ 2 ]} La suma de las distancias perpendiculares desde un punto interior a los lados de un polígono equilátero es independiente de la ubicación del punto interior.

Las diagonales principales de un hexágono dividen cada una al hexágono en cuadriláteros. En cualquier hexágono equilátero convexo con lado común a , existe una diagonal principal d ₁ tal que ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

y una diagonal principal d ₂ tal que

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}}$.

Cuando un polígono equilátero se inscribe en un polígono de Reuleaux , forma un polígono de Reinhardt . Entre todos los polígonos convexos con el mismo número de lados, estos polígonos tienen el mayor perímetro posible para su diámetro , el mayor ancho posible para su diámetro y el mayor ancho posible para su perímetro. ^{[ 4 ]}

• Contenido multimedia relacionado con polígonos equiláteros en Wikimedia Commons.
• Triángulo equilátero con animación interactiva
• Una propiedad de los polígonos equiangulares: ¿De qué se trata? Una discusión sobre el teorema de Viviani en Cut-the-knot .