Triángulo equilátero

El área de un triángulo equilátero con lado de longitud${\displaystyle a}$es $${\displaystyle T={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}.}$$ La fórmula se puede derivar de la fórmula de un triángulo isósceles mediante el teorema de Pitágoras : la altura${\displaystyle h}$de un triángulo es la raíz cuadrada de la diferencia de los cuadrados de un lado y la mitad de una base . ^{[ 3 ]} Dado que la base y los catetos son iguales, la altura es: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {a^{2}}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}a.}$$ En general, el área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura. La fórmula para el área de un triángulo equilátero se puede obtener sustituyendo la fórmula de la altura. ^{[ 7 ]} Otra forma de demostrar el área de un triángulo equilátero es utilizando la función trigonométrica . El área de un triángulo se formula como la mitad del producto de la base y la altura más el seno de un ángulo. Dado que todos los ángulos de un triángulo equilátero son de 60°, la fórmula es la deseada.

Una versión de la desigualdad isoperimétrica para triángulos establece que el triángulo de mayor área entre todos aquellos con un perímetro dado es equilátero. Es decir, para un perímetro dado${\displaystyle p}$y área${\displaystyle T}$, la igualdad se cumple para el triángulo equilátero: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle p^{2}=12{\sqrt {3}}T.}$$

El radio del círculo circunscrito es:$${\displaystyle R={\frac {a}{\sqrt {3}}},}$$ y el radio del círculo inscrito es la mitad del radio de la circunferencia circunscrita:$${\displaystyle r={\frac {\sqrt {3}}{6}}a.}$$

Un teorema de Euler establece que la distancia${\displaystyle t}$La relación entre el circuncentro y el incentro se formula como${\displaystyle t^{2}=R(R-2r)}$. Como corolario de esto, el triángulo equilátero tiene la menor razón del radio de la circunferencia circunscrita.${\displaystyle R}$al radio interno${\displaystyle r}$de cualquier triángulo. Es decir: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle R\geq 2r.}$$

El teorema de Pompeyo afirma que, si${\displaystyle P}$es un punto arbitrario en el plano de un triángulo equilátero${\displaystyle ABC}$pero no en su circunferencia circunscrita , entonces existe un triángulo con lados de longitudes${\displaystyle PA}$,${\displaystyle PB}$, y${\displaystyle PC}$. Eso es,${\displaystyle PA}$,${\displaystyle PB}$, y${\displaystyle PC}$satisfacen la desigualdad triangular de que la suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que el tercero.${\displaystyle P}$Si un triángulo se encuentra en la circunferencia circunscrita, la suma de los dos lados más pequeños es igual al lado más largo, y el triángulo se ha degenerado en una línea recta. Este caso se conoce como el teorema de Van Schooten . ^{[ 10 ]}

Un problema de empaquetamiento plantea el objetivo de${\displaystyle n}$círculos empaquetados en el triángulo equilátero más pequeño posible . Se conocen soluciones óptimas para el empaquetamiento.${\displaystyle n<13}$círculos en un triángulo equilátero y soluciones conjeturalmente óptimas para${\displaystyle 13\leq n<28}$. ^{[ 11 ]}

El teorema de la trisectriz de Morley establece que, en cualquier triángulo, los tres puntos de intersección de las trisectrices de los ángulos adyacentes forman un triángulo equilátero.

El teorema de Viviani establece que, para cualquier punto interior${\displaystyle P}$en un triángulo equilátero con distancias${\displaystyle d}$,${\displaystyle e}$, y${\displaystyle f}$desde los lados y la altitud${\displaystyle h}$,$${\displaystyle d+e+f=h,}$$independiente de la ubicación de${\displaystyle P}$. ^{[ 12 ]}

Un triángulo equilátero puede tener lados enteros con tres ángulos racionales medidos en grados, ^{[ 13 ]} conocido por ser el único triángulo agudo que es similar a su triángulo órtico (con vértices en los pies de las alturas ), ^{[ 14 ]} y el único triángulo cuya elipse de Steiner es un círculo (específicamente, el círculo inscrito). El triángulo de mayor área de todos los inscritos en un círculo dado es equilátero, y el triángulo de menor área de todos los circunscritos alrededor de un círculo dado también es equilátero. ^{[ 15 ]} Es el único polígono regular aparte del cuadrado que puede inscribirse dentro de cualquier otro polígono regular.

Dado un punto${\displaystyle P}$En el interior de un triángulo equilátero, la razón entre la suma de sus distancias a los vértices y la suma de sus distancias a los lados es mayor o igual que 2, cumpliéndose la igualdad cuando${\displaystyle P}$es el centroide. En ningún otro triángulo hay un punto para el cual esta razón sea tan pequeña como 2. ^{[ 16 ]} Esta es la desigualdad de Erdős-Mordell ; una variante más fuerte de ella es la desigualdad de Barrow , que reemplaza las distancias perpendiculares a los lados con las distancias desde${\displaystyle P}$hasta los puntos donde las bisectrices de los ángulos de${\displaystyle \angle APB}$,${\displaystyle \angle BPC}$, y${\displaystyle \angle CPA}$cruzar los lados (${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$, y${\displaystyle C}$siendo los vértices). Existen numerosas otras desigualdades triangulares que mantienen la igualdad si y solo si el triángulo es equilátero.

El teselado de triángulos equiláteros llena el plano.

El triángulo de Sierpiński

Cabe destacar que el triángulo equilátero recubre el plano euclidiano con seis triángulos que convergen en un vértice; el dual de esta teselación es el teselado hexagonal . El teselado hexagonal truncado , el teselado rombitrihexagonal , el teselado trihexagonal , el teselado cuadrado truncado y el teselado hexagonal truncado son todos teselaciones semirregulares construidas con triángulos equiláteros. ^{[ 19 ]} Otros objetos bidimensionales construidos a partir de triángulos equiláteros incluyen el triángulo de Sierpiński (una forma fractal construida a partir de un triángulo equilátero mediante subdivisión recursiva en triángulos equiláteros más pequeños) y el triángulo de Reuleaux (un triángulo curvo de ancho constante , construido a partir de un triángulo equilátero redondeando cada uno de sus lados). ^{[ 10 ]}

Los triángulos equiláteros también pueden formar un poliedro en tres dimensiones. Un poliedro cuyas caras son todas triángulos equiláteros se llama deltaedro . Hay ocho deltaedros estrictamente convexos : tres de los cinco sólidos platónicos ( tetraedro regular , octaedro regular e icosaedro regular ) y cinco de los 92 sólidos de Johnson ( bipirámide triangular , bipirámide pentagonal , disfenoides truncado , prisma triangular triaumentado y bipirámide cuadrada giroelongada ). ^{[ 20 ]} En general, todos los sólidos de Johnson tienen triángulos equiláteros entre sus caras, aunque la mayoría también tienen otros polígonos regulares . ^{[ 21 ]}

Los antiprismas son una familia de poliedros que incorporan una banda de triángulos alternados. Cuando el antiprisma es uniforme , sus bases son regulares y todas las caras triangulares son equiláteras. ^{[ 22 ]}

Como generalización, el triángulo equilátero pertenece a la familia infinita de${\displaystyle n}$-símplexes , con${\displaystyle n=2}$. ^{[ 23 ]}

Los triángulos equiláteros han aparecido con frecuencia en construcciones humanas y en la cultura popular. En arquitectura, un ejemplo se puede ver en la sección transversal del Gateway Arch y en la superficie del huevo de Vegreville . ^{[ 24 ] [ 25 ]} Aparece en la bandera de Nicaragua y en la bandera de Filipinas . ^{[ 26 ] [ 27 ]} Es la forma de varias señales de tráfico , incluida la señal de ceda el paso . ^{[ 28 ]}

El triángulo equilátero aparece en el estudio de la estereoquímica . Se puede describir como la geometría molecular en la que un átomo en el centro conecta otros tres átomos en un plano, conocida como geometría molecular trigonal plana . ^{[ 29 ]}

En el problema de Thomson , en lo que respecta a la configuración de energía mínima de${\displaystyle n}$partículas cargadas en una esfera, y para el problema de Tammes de construir un código esférico que maximice la distancia más pequeña entre los puntos, la mejor solución conocida para${\displaystyle n=3}$coloca los puntos en los vértices de un triángulo equilátero, inscrito en la esfera . Se ha demostrado que esta configuración es óptima para el problema de Tammes, pero se desconoce una solución rigurosa para esta instancia del problema de Thomson. ^{[ 30 ]}