Superelipse

Una superelipse , también conocida como curva de Lamé en honor a Gabriel Lamé , es una curva cerrada que se asemeja a una elipse , conservando las características geométricas del semieje mayor y el semieje menor , y la simetría respecto a ellos, pero definida por una ecuación que permite diversas formas intermedias entre un rectángulo y una elipse.

En un sistema de coordenadas cartesianas bidimensional , una superelipse se define como el conjunto de todos los puntos $(x, y)$ en la curva que satisfacen la ecuación $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$ donde $a$ y $b$ son números positivos denominados semidiámetros o semiejes de la superelipse, y $n$ es un parámetro positivo que define la forma. Cuando $n = 2$ , la superelipse es una elipse ordinaria. Para $n > 2$ , la forma es más rectangular con esquinas redondeadas, y para $0 < n < 2$ , es más puntiaguda. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

En el sistema de coordenadas polares , la ecuación de la superelipse es (el conjunto de todos los puntos $(r, θ)$ en la curva satisfacen la ecuación): $r=\left(\left|{\frac {\cos \theta }{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin \theta }{b}}\right|^{n}\!\right)^{-{\frac {1}{n}}}\!.$

Casos específicos

Esta fórmula define una curva cerrada contenida en el rectángulo $- a \leq x \leq + a$ y $- b \leq y \leq + b$ . Los parámetros $a$ y $b$ son los semidiámetros o semiejes de la curva. La forma general de la curva está determinada por el valor del exponente $n$ , como se muestra en la siguiente tabla:

CSS define una funciónsuperellipse(K) donde $n = 2 K$ , de modo que los casos con $K < 0$ son cóncavos, $K = 0$ define un rombo, $K > 0$ son convexos y $K = 1$ define una elipse.

Si $n < 2$ , la figura también se llama hipoelipse ; si $n > 2$ , hiperelipse . Cuando $n \geq 1$ y $a = b$ , la superelipse es el límite de una bola de $ℝ 2$ en la norma $n$ . Los puntos extremos de la superelipse son $(\pm a, 0)$ y $(0, \pm b)$ , y sus cuatro "esquinas" son $(\pm s a, \pm s b)$ , donde $s = 2 - ⁠ 1 / n ⁠$ (a veces llamada "superness" ^{[ 4 ]} ).

Propiedades matemáticas

Cuando $n$ es un número racional positivo $⁠$ $p$ $/$ $q$ $⁠$ (en su mínima expresión), entonces cada cuadrante de la superelipse es una curva algebraica plana de orden $⁠$ $p$ $/$ $q$ $⁠$ . ^[⁵^] En particular, cuando $a$ $=$ $b$ $= 1$ y $n$ es un entero par, entonces es una curva de Fermat de grado $n$ . En ese caso es no singular, pero en general será singular . Si el numerador no es par, entonces la curva está formada por porciones de la misma curva algebraica en diferentes orientaciones.

La curva viene dada por las ecuaciones paramétricas (donde el parámetro $t$ no tiene una interpretación geométrica elemental). $\left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}$ donde cada $\pm$ puede elegirse por separado de modo que cada valor de $t$ dé cuatro puntos en la curva. Equivalentemente, dejando que $t$ varíe sobre $0 \leq t < 2 π$ , ${\begin{aligned}x\left(t\right)&={\left|\cos t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={\left|\sin t\right|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}$ donde la función signo es $\operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}$ Aquí $t$ no es el ángulo entre el eje horizontal positivo y el rayo desde el origen hasta el punto, ya que la tangente de este ángulo es igual $a$ $y$ $/$ $x$ $,$ mientras que en las expresiones paramétricas ${\frac {y}{x}}={\frac {b}{a}}(\tan t)^{\frac {2}{n}}\neq \tan t.$

Área

El área dentro de la superelipse se puede expresar en términos de la función gamma como ${\text{Área}}=4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\frac {2}{n}}\right)}},$ o en términos de la función beta como ${\text{Área}}={\frac {4ab}{n}}\mathrm {B} \!\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}+1\right).$ Una fórmula alternativa para el área es

{\text{Área}}=2^{1-{\frac {2}{n}}}\varpi _ {n}ab,

dónde ${\textstyle \varpi _ {n}=2\int _ {0}^{1}{\frac {dr}{\sqrt {1-r^{n}}}}}$ es la longitud de arco del bucle principal de la espiral sinusoidal ${\textstyle r^{\frac {n}{2}}=\cos \left({\frac {n}{2}}\theta \right)}$ .

Perímetro

El perímetro de una superelipse general, al igual que el de una elipse , no puede expresarse en términos de funciones elementales . Existen soluciones exactas para el perímetro de una superelipse mediante sumas infinitas ; ^{[ 6 ]} estas pueden truncarse para obtener soluciones aproximadas. La integración numérica es otra opción para obtener estimaciones del perímetro con precisión arbitraria.

Una aproximación en forma cerrada obtenida mediante regresión simbólica también es una opción que equilibra la parsimonia y la precisión. Consideremos una superelipse centrada en el origen de un plano bidimensional. Ahora, imaginemos que la superelipse (con parámetro de forma $n$ ) se estira de tal manera que el primer cuadrante (donde $x > 0$ , $y > 0$ ) es un arco desde $(1, 0)$ hasta $(0, h)$ , con $h \geq 1.$ Entonces, la longitud del arco de la superelipse dentro de ese único cuadrante se aproxima como la siguiente función de $h$ y $n$ : ^{[ 7 ]}

h + (((((n - 0.88487077) * h + 0.2588574 / h) ^ exp(n / -0.90069205)) + h) + 0.09919785) ^ (-1.4812293 / n)

Esta aproximación de longitud de arco de un solo cuadrante tiene una precisión de ±0,2% para todos los valores de $n$ , y puede utilizarse para estimar de forma eficiente el perímetro total de una superelipse.

Curva del pedal

La curva del pedal es relativamente sencilla de calcular. Específicamente, el pedal de $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,$ se da en coordenadas polares por ^{[ 8 ]}

$\left(a\cos \theta \right)^{\frac {n}{n-1}}+\left(b\sin \theta \right)^{\tfrac {n}{n-1}}=r^{\frac {n}{n-1}}.$

Generalizaciones

La generalización de estas formas puede implicar varios enfoques. Las generalizaciones de la superelipse en dimensiones superiores conservan la estructura matemática fundamental de la superelipse, adaptándola a diferentes contextos y aplicaciones.

Dimensiones superiores

Las generalizaciones de la superelipse en dimensiones superiores conservan la estructura matemática fundamental de la superelipse al tiempo que la adaptan a diferentes contextos y aplicaciones. ^{[ 9 ]}

Un superelipsoide extiende la superelipse a tres dimensiones, creando formas que varían entre elipsoides y sólidos rectangulares con bordes redondeados. El superelipsoide se define como el conjunto de todos los puntos $(x, y, z)$ que satisfacen la ecuación

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{n}\!=1$ donde $a$ , $b$ y $c$ son números positivos denominados semiejes del superelipsoide, y $n$ es un parámetro positivo que define la forma.

Un hiperelipsoide es el análogo $d -dimensional de un$ elipsoide (y por extensión, de un superelipsoide). Se define como el conjunto de todos los puntos $(x 1, x 2, \dots, x d)$ que satisfacen la ecuación

$\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n}\!+\cdots +\left|{\frac {x_{d}}{a_{d}}}\right|^{n}\!=1$ donde $a 1, a 2, \dots, a d$ son números positivos denominados semiejes del hiperelipsoide, y $n$ es un parámetro positivo que define la forma. ^{[ 10 ]}

diferentes exponentes

Utilizando diferentes exponentes para cada término de la ecuación, se permite una mayor flexibilidad en la formación de la forma. ^{[ 11 ]}

Para el caso bidimensional la ecuación es $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1\quad m,n>0$ donde $m$ es igual o diferente de $n$ . Si $m = n$ , es la superelipse de Lamé. Si $m \neq n$ , la curva posee mayor flexibilidad de comportamiento y se ajusta mejor a la descripción de cierta información experimental. ^{[ 10 ]}

Para el caso tridimensional, se pueden usar tres potencias positivas diferentes $m$ , $n$ y $p en la ecuación.$ $\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}\!\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {z}{c}}\right|^{p}\!=1.$ Si $m = n = p$ , se obtiene un superelipsoide. Si dos o los tres exponentes difieren entre sí, se obtiene un sólido que puede ofrecer mayor flexibilidad para representar datos estructurales reales que el superelipsoide. Un superelipsoide tridimensional con $m = n = 2,2$ , $p = 2,4$ y semiejes $a = b = 1$ , $c = 0,5$ representa la estructura del Centro Nacional de Artes Escénicas de China . ^{[ 10 ]}

En el caso general $N$ -dimensional, la ecuación es $\left|{\frac {x_{1}}{a_{1}}}\right|^{n_{1}}\!\!+\left|{\frac {x_{2}}{a_{2}}}\right|^{n_{2}}\!+\cdots +\left|{\frac {x_{N}}{a_{N}}}\right|^{n_{N}}\!=1$ donde, en general, $n 1, n 2, \dots, n N$ pueden diferir entre sí. Es un hiperelipsoide solo si todos $los n i$ son iguales. ^{[ 10 ]}

Formas relacionadas

Las supercuádricas son una familia de figuras geométricas que incluye a los superelipsoides como caso particular. Se utilizan en gráficos por computadora y modelado geométrico para crear figuras complejas y suaves con parámetros fácilmente ajustables. ^{[ 12 ]} Si bien no son una generalización directa de las superelipses, las hiperesferas también comparten el concepto de extender figuras geométricas a dimensiones superiores. Estas figuras relacionadas demuestran la versatilidad y la amplia aplicabilidad de los principios fundamentales que subyacen a las superelipses.

Escalamiento anisotrópico

El escalado anisotrópico implica escalar la forma de manera diferente a lo largo de distintos ejes, lo que proporciona un mayor control sobre la geometría. Este enfoque se puede aplicar a superelipses, superelipsoides y sus análogos de dimensiones superiores para producir una mayor variedad de formas y adaptarse mejor a los requisitos específicos en aplicaciones como gráficos por computadora , diseño estructural y visualización de datos . Por ejemplo, el escalado anisotrópico permite crear formas que pueden modelar objetos del mundo real con mayor precisión ajustando las proporciones a lo largo de cada eje de forma independiente. ^{[ 13 ]}

Historia

La notación cartesiana general de la forma proviene del matemático francés Gabriel Lamé (1795 – 1870), quien generalizó la ecuación para la elipse.

Los contornos exteriores de las letras 'o' y 'O' en la tipografía Melior de Zapf se describen mediante superelipses con $n$ $=$ $⁠$ $log(2)$ $/$ $log(9) - log(7)$ $⁠$ $\approx 2,758$

La tipografía Melior de Hermann Zapf , publicada en 1952, utiliza superelipses para letras como la o . Treinta años después, Donald Knuth incorporaría la capacidad de elegir entre elipses verdaderas y superelipses (ambas aproximadas mediante splines cúbicos ) en su familia tipográfica Computer Modern .

La superelipse fue nombrada por el poeta y científico danés Piet Hein (1905-1996), aunque no fue él quien la descubrió, como a veces se afirma. En 1959, los urbanistas de Estocolmo , Suecia, $anunciaron$ un concurso de diseño para una rotonda en la plaza Sergels Torg . $La$ propuesta ganadora de Piet Hein se basó en una superelipse con $n$ $=$ $2,5$ y $a$ $/$ $b$ $=$ $6/5$ $.$ $[$ ¹⁴^{] Como él} $mismo$ explicó ^:

El ser humano es el animal que traza líneas con las que luego tropieza. En la historia de la civilización, han existido dos tendencias: una hacia las líneas rectas y los patrones rectangulares, y otra hacia las líneas circulares. Ambas tendencias tienen razones, tanto mecánicas como psicológicas. Las cosas hechas con líneas rectas encajan bien y ahorran espacio. Y podemos movernos con facilidad —física o mentalmente— alrededor de las cosas hechas con líneas curvas. Pero estamos encorsetados, obligados a aceptar una u otra, cuando a menudo una forma intermedia sería mejor. Dibujar algo a mano alzada —como la rotonda de retazos que intentaron en Estocolmo— no sirve. No es fijo, no es definido como un círculo o un cuadrado. No se sabe qué es. No es estéticamente satisfactorio. La superelipse resolvió el problema. No es ni redonda ni rectangular, sino intermedia. Sin embargo, es fija, es definida : tiene unidad.

Sergels Torg se completó en 1967. Mientras tanto, Piet Hein pasó a utilizar la superelipse en otros artefactos, como camas, platos, mesas, etc. ^{[ 15 ]} Al rotar una superelipse alrededor del eje más largo, creó el superhuevo , una forma sólida parecida a un huevo que podía mantenerse erguida sobre una superficie plana y que se comercializó como un juguete novedoso .

En 1968, cuando los negociadores en París para la guerra de Vietnam no pudieron ponerse de acuerdo sobre la forma de la mesa de negociación, Balinski, Kieron Underwood y Holt sugirieron una mesa superelíptica en una carta al New York Times . ^{[ 14 ]} La superelipse se utilizó para la forma del Estadio Olímpico Azteca de 1968 , en la Ciudad de México .

La segunda planta del World Trade Center original de Nueva York consistía en un gran balcón en voladizo con forma de superelipse.

Waldo R. Tobler desarrolló una proyección cartográfica , la proyección hiperelíptica de Tobler , publicada en 1973, ^{[ 16 ]} en la que los meridianos son arcos de superelipses.

El logotipo de la empresa de noticias The Local consiste en una superelipse inclinada que coincide con las proporciones de Sergels Torg. En el logotipo de los Pittsburgh Steelers se utilizan tres superelipses conectadas .

En informática, el sistema operativo móvil iOS utiliza una curva superelipse para los iconos de las aplicaciones, reemplazando el estilo de esquinas redondeadas utilizado hasta la versión 6. ^{[ 17 ]}

Véase también

Astroid , la superelipse con n = 2/3 y a = b , es una hipocicloide con cuatro cúspides .
- Curva deltoidea , la hipocicloide de tres cúspides.
Squircle , la superelipse con n = 4 y a = b , se parece a "La rueda de cuatro esquinas".
- Triángulo de Reuleaux , "La rueda de tres esquinas".
Superfórmula , una generalización de la superelipse.
Supercuádricas : superelipsoides y supertoroides , los "parientes" tridimensionales de las superelipses.
Curva superelíptica , ecuación de la forma $Y n = f (X)$ .
Espacios $L$ $p$

Referencias

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Enlaces externos

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Weisstein, Eric W. "Superelipse" . MathWorld .
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Curvas laxas" , Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
"Super Ellipse" en 2dcurves.com
Calculadora y generador de plantillas de superelipses
Caja de herramientas para el ajuste de superelipses en MATLAB
Código C para ajustar superelipses

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