Superelipsoide

En matemáticas , un superelipsoide (o superelipsoide ) es un sólido cuyas secciones horizontales son superelipses (curvas de Lamé) con el mismo parámetro de cuadratura , y cuyas secciones verticales a través del centro son superelipses con el parámetro de cuadratura . Es una generalización de un elipsoide, que es un caso especial cuando . ^[2]$estilo de visualización {\displaystyle \epsilon_{2}}$${\displaystyle \epsilon _{1}}$${\displaystyle \epsilon_{1}=\epsilon_{2}=1}$

Los superelipsoides como primitivos de gráficos por computadora fueron popularizados por Alan H. Barr (quien usó el nombre " supercuadrículas " para referirse tanto a los superelipsoides como a los supertoroides ). ^{[2] [3]} En la literatura moderna de visión por computadora y robótica , supercuadrículas y superelipsoides se usan indistintamente, ya que las superelipsoides son la forma más representativa y ampliamente utilizada entre todas las supercuadrículas. ^{[4] [5]}

Los superelipsoides tienen un rico vocabulario de formas, que incluye cuboides, cilindros, elipsoides, octaedros y sus intermedios. ^[6] Se convierte en un primitivo geométrico importante ampliamente utilizado en visión por computadora, ^{[6] [5] [7]} robótica, ^[4] y simulación física. ^[8] La principal ventaja de describir objetos y entornos con superelipsoides es su concisión y expresividad en la forma. ^[6] Además, está disponible una expresión de forma cerrada de la suma de Minkowski entre dos superelipsoides. ^[9] Esto lo convierte en un primitivo geométrico deseable para el agarre de robots, la detección de colisiones y la planificación del movimiento. ^[4]

Pueden surgir un puñado de figuras matemáticas notables como casos especiales de superelipsoides dado el conjunto correcto de valores, que se representan en el gráfico anterior:

• Cilindro
• Esfera
• Sólido de Steinmetz
• Bicono
• Octaedro regular
• Cubo , como caso límite donde los exponentes tienden al infinito

Los superhuevos de Piet Hein también son casos especiales de superelipsoides.

El superelipsoide básico está definido por la función implícita

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(x^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+y^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\epsilon _{2}/\epsilon _{1}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$

Los parámetros y son números reales positivos que controlan la cuadratura de la forma. ${\displaystyle \epsilon _{1}}$$estilo de visualización {\displaystyle \epsilon_{2}}$

La superficie del superelipsoide está definida por la ecuación:

${\displaystyle f(x,y,z)=1}$

Para cualquier punto dado , el punto se encuentra dentro del superelipsoide si , y fuera si . ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

Cualquier " paralelo de latitud " del superelipsoide (una sección horizontal en cualquier z constante entre -1 y +1) es una curva de Lamé con exponente , escalada por , que es ${\displaystyle 2/\epsilon _ {2}}$${\displaystyle a=(1-z^{\frac {2}{\epsilon _{1}}})^{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}=1.}$

Cualquier " meridiano de longitud " (una sección por cualquier plano vertical que pase por el origen) es una curva de Lamé con exponente , estirada horizontalmente por un factor w que depende del plano de sección. Es decir, si y , para un dado , entonces la sección es ${\displaystyle 2/\epsilon _ {1}}$${\displaystyle x=u\cos \theta}$${\displaystyle y=u\sin \theta }$${\estilo de visualización \theta}$

${\displaystyle \left({\frac {u}{w}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}+z^{\frac {2}{\epsilon _{1) }}}=1,}$

dónde

${\displaystyle w=(\cos ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta +\sin ^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\theta )^{-{\frac {\epsilon _{2}}{2}}}.}$

En particular, si es 1, las secciones transversales horizontales son círculos y el estiramiento horizontal de las secciones verticales es 1 para todos los planos. En ese caso, el superelipsoide es un sólido de revolución , obtenido al rotar la curva de Lamé con exponente alrededor del eje vertical. $estilo de visualización {\displaystyle \epsilon_{2}}$${\estilo de visualización w}$${\displaystyle 2/\epsilon _ {1}}$

La forma básica anterior se extiende desde −1 hasta +1 a lo largo de cada eje de coordenadas. El superelipsoide general se obtiene escalando la forma básica a lo largo de cada eje por los factores , , , los semidiámetros del sólido resultante. La función implícita es ^[2]$Estilo de visualización a_{x}$${\displaystyle a_{y}}$$estilo de visualización a_ {z}}$

${\displaystyle F(x,y,z)=\left(\left({\frac {x}{a_{x}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}+\left({\frac {y}{a_{y}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{2}}}\right)^{\frac {\epsilon _{2}}{\epsilon _{1}}}+\left({\frac {z}{a_{z}}}\right)^{\frac {2}{\epsilon _{1}}}}$.

De manera similar, la superficie del superelipsoide está definida por la ecuación

${\displaystyle F(x,y,z)=1}$

Para cualquier punto dado , el punto se encuentra dentro del superelipsoide si , y fuera si . ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle f(x,y,z)<1}$${\displaystyle f(x,y,z)>1}$

Por lo tanto, la función implícita también se denomina función interior-exterior del superelipsoide. ^[2]

El superelipsoide tiene una representación paramétrica en términos de parámetros de superficie , . ^[3]${\displaystyle \eta \in [-\pi /2,\pi /2)}$${\displaystyle \omega \in [-\pi,\pi)}$

${\displaystyle x(\eta ,\omega )=a_{x}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \cos ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle y(\eta ,\omega )=a_{y}\cos ^{\epsilon _{1}}\eta \sin ^{\epsilon _{2}}\omega }$

${\displaystyle z(\eta ,\omega )=a_{z}\sin ^{\epsilon _{1}}\eta }$

En aplicaciones de visión artificial y robótica, un superelipsoide con una posición general en el espacio euclidiano 3D suele ser de mayor interés. ^{[6] [5]}

Para una transformación euclidiana dada del marco superelipsoide en relación con el marco mundial, la función implícita de una superficie superelipsoide general definida por el marco mundial es ^[6]${\displaystyle g=[\mathbf {R} \in SO(3),\mathbf {t} \in \mathbb {R} ^{3}]\in SE(3)}$

${\displaystyle F\left(g^{-1}\circ (x,y,z)\right)=1}$

¿Dónde está la operación de transformación que asigna el punto en el marco mundial al marco superelipsoide canónico? ${\displaystyle \circ }$${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}}$

El volumen abarcado por la superficie del superellipsoide se puede expresar en términos de las funciones beta , ^[10]${\displaystyle \beta (\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle V(\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z})=2a_{x}a_{y}a_{z}\epsilon _{1}\epsilon _{2}\beta ({\frac {\epsilon _{1}}{2}},\epsilon _{1}+1)\beta ({\frac {\epsilon _{2}}{2}},{\frac {\epsilon _{2}+2}{2}})}$

o equivalentemente con la función Gamma , ya que ${\displaystyle \Gamma (\cdot )}$

${\displaystyle \beta (m,n)={\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}}$

La recuperación de la representación superelipsoide (o supercuadrática) a partir de datos sin procesar (por ejemplo, nube de puntos, malla, imágenes y vóxeles) es una tarea importante en visión por computadora, ^{[11] [7] [6] [5]} robótica ^[4] y simulación física. ^[8]

Los métodos computacionales tradicionales modelan el problema como un problema de mínimos cuadrados. ^[11] El objetivo es encontrar el conjunto óptimo de parámetros del superelipsoide que minimicen una función objetivo. Además de los parámetros de forma, SE(3) es la pose del marco del superelipsoide con respecto a la coordenada del mundo. ${\displaystyle \theta \doteq [\epsilon _{1},\epsilon _{2},a_{x},a_{y},a_{z},g]}$${\displaystyle g\in }$

Hay dos funciones objetivo de uso común. ^[12] La primera se construye directamente a partir de la función implícita ^[11]

${\displaystyle G_{1}(\theta )=a_{x}a_{y}a_{z}\sum _{i=1}^{N}\left(F^{\epsilon _{1}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)-1\right)^{2}}$

La minimización de la función objetivo proporciona un superelipsoide recuperado lo más cercano posible a todos los puntos de entrada . Mientras tanto, el valor escalar es proporcional positivamente al volumen del superelipsoide y, por lo tanto, también tiene el efecto de minimizar el volumen. ${\displaystyle \{(x_{i},y_{i},z_{i})\in \mathbb {R} ^{3},i=1,2,...,N\}}$${\displaystyle a_{x},a_{y},a_{z}}$

La otra función objetivo intenta minimizar la distancia radial entre los puntos y el superelipsoide. Es decir, ^{[13] [12]}

${\displaystyle G_{2}(\theta )=\sum _{i=1}^{N}\left(\left|r_{i}\right|\left|1-F^{-{\frac {\epsilon _{1}}{2}}}\left(g^{-1}\circ (x_{i},y_{i},z_{i})\right)\right|\right)^{2}}$, dónde${\displaystyle r_{i}=\|(x_{i},y_{i},z_{i})\|_{2}}$

Se ha diseñado un método probabilístico llamado EMS para abordar el ruido y los valores atípicos . ^[6] En este método, la recuperación del superelipsoide se reformula como un problema de estimación de máxima verosimilitud y se propone un método de optimización para evitar mínimos locales utilizando similitudes geométricas de los superelipsoides.

El método se amplía aún más mediante el modelado con técnicas bayesianas no paramétricas para recuperar múltiples superelipsoides simultáneamente. ^[14]

• Barr, "Superquadrics and Angle-Preserving Transformations", en IEEE Computer Graphics and Applications , vol. 1, núm. 1, págs. 11–23, enero de 1981, doi: 10.1109/MCG.1981.1673799.
• Aleš Jaklič, Aleš Leonardis, Franc Solina, Segmentación y recuperación de supercuadrículas . Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2000.
• Aleš Jaklič, Franc Solina (2003) Momentos de superelipsoides y su aplicación al registro de imágenes de rango. IEEE TRANSACTIONS ON SYSTEMS, MAN, AND CYBERNETICS, 33 (4). págs. 648–657
• W. Liu, Y. Wu, S. Ruan y GS Chirikjian, "Recuperación supercuadrática robusta y precisa: un enfoque probabilístico", Conferencia IEEE/CVF 2022 sobre visión artificial y reconocimiento de patrones (CVPR) , Nueva Orleans, LA, EE. UU., 2022, págs. 2666–2675, doi: 10.1109/CVPR52688.2022.00270.

• Bibliografía: Representaciones supercuadráticas
• Glifos tensoriales supercuadráticos
• Elipsoides y toroides supercuadráticos, iluminación y temporización OpenGL
• Supercuadráticas de Robert Kragler, The Wolfram Demonstrations Project .
• Algoritmo de recuperación de supercuadrículas en Python y MATLAB