asteroide

En matemáticas , una astroide es un tipo particular de curva de ruleta : una hipocicloide con cuatro cúspides . Específicamente, es el lugar geométrico de un punto en un círculo mientras rueda dentro de un círculo fijo con cuatro veces el radio . ^{[ 1 ]} Por doble generación, también es el lugar geométrico de un punto en un círculo mientras rueda dentro de un círculo fijo con 4/3 veces el radio. También se puede definir como la envolvente de un segmento de recta de longitud fija que se mueve manteniendo un punto final en cada uno de los ejes. Por lo tanto, es la envolvente de la barra móvil en el Trammel de Arquímedes .

Su nombre moderno proviene de la palabra griega para " estrella ". Fue propuesto, originalmente en la forma de "Astrois", por Joseph Johann von Littrow en 1838. ^{[ 2 ] [ 3 ]} La curva recibió varios nombres, entre ellos tetracúspide (todavía en uso), cubocicloide y paraciclo . Su forma es casi idéntica a la evoluta de una elipse.

Si el radio del círculo fijo es a, entonces la ecuación viene dada por ^{[ 4 ].}$${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$ Esto significa que un asteroide también es una superelipse .

Las ecuaciones paramétricas son $${\displaystyle {\begin{aligned}x=a\cos ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\cos \left(t\right)+\cos \left(3t\right)\right),\\[2ex]y=a\sin ^{3}t&={\frac {a}{4}}\left(3\sin \left(t\right)-\sin \left(3t\right)\right).\end{aligned}}}$$

La ecuación del pedal con respecto al origen es $${\displaystyle r^{2}=a^{2}-3p^{2},}$$

La ecuación de Whewell es $${\displaystyle s={3a \over 4}\cos 2\varphi ,}$$ y la ecuación de Cesàro es $${\displaystyle R^{2}+4s^{2}={\frac {9a^{2}}{4}}.}$$

La ecuación polar es ^{[ 5 ]}$${\displaystyle r={\frac {a}{\left(\cos ^{2/3}\theta +\sin ^{2/3}\theta \right)^{3/2}}}.}$$

El astroide es un lugar geométrico real de una curva algebraica plana de género cero. Tiene la ecuación ^{[ 6 ].}$${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0.}$$

Por lo tanto, el asteroide es una curva algebraica real de grado seis.

La ecuación polinómica puede derivarse de la ecuación de Leibniz mediante álgebra elemental: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}.}$$

Cubo con ambos lados: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{6/3}+3x^{4/3}y^{2/3}+3x^{2/3}y^{4/3}+y^{6/3}&=a^{6/3}\\[1.5ex]x^{2}+3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)+y^{2}&=a^{2}\\[1ex]x^{2}+y^{2}-a^{2}&=-3x^{2/3}y^{2/3}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)\end{aligned}}}$$

Cubo de nuevo con ambos lados: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}\left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}}$$

Pero dado que: $${\displaystyle x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\,}$$

Resulta que $${\displaystyle \left(x^{2/3}+y^{2/3}\right)^{3}=a^{2}.}$$

Por lo tanto: $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}=-27x^{2}y^{2}a^{2}}$$ o $${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-a^{2}\right)^{3}+27x^{2}y^{2}a^{2}=0.}$$

Área encerrada ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\frac {3}{8}}\pi a^{2}}$

Longitud de la curva

${\displaystyle 6a}$

Volumen de la superficie de revolución del área encerrada alrededor del eje x .

${\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi a^{3}}$

Área de la superficie de revolución alrededor del eje x

${\displaystyle {\frac {12}{5}}\pi a^{2}}$

Radio del círculo inscrito

${\displaystyle a}$

Radio del círculo inscrito

${\displaystyle a/2}$

El asteroide tiene cuatro singularidades de cúspide en el plano real, los puntos de la estrella. Tiene dos singularidades de cúspide más complejas en el infinito y cuatro puntos dobles complejos, para un total de diez singularidades.

La curva dual al asteroide es la curva cruciforme con ecuación${\estilo de texto x^{2}y^{2}=x^{2}+y^{2}.}$ La evoluta de un asteroide es un asteroide del doble de tamaño.

El asteroide tiene solo una línea tangente en cada dirección orientada, lo que lo convierte en un ejemplo de erizo . ^{[ 8 ]}

• Cardioide : una epicicloide con una cúspide
• Deltoides : una hipocicloide con tres cúspides
• Nefroide : un epicicloide con dos cúspides
• Espirógrafo
• Astroide de Stoner-Wohlfarth : una aplicación de esta curva en magnetismo.

• J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Dover Publications. págs. 4–5 , 34–35 , 173–174 . ISBN  0-486-60288-5.
• Wells D (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry . Nueva York: Penguin Books. págs. 10–11 . ISBN  0-14-011813-6.
• RC Yates (1952). "Astroide". Un manual sobre curvas y sus propiedades . Ann Arbor, MI: JW Edwards. pp.  1 y siguientes.

• "Astroide" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Astroide" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor
• "Astroide" en la Enciclopedia de Formas Matemáticas Extraordinarias
• Artículo en 2dcurves.com
• Diccionario visual de curvas planas especiales, Xah Lee
• Barras de un astroide de Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project .