Superfórmula

La superfórmula es una generalización de la superelipse y fue propuesta por Johan Gielis en 2003. ^{[ 1 ]} Gielis sugirió que la fórmula puede usarse para describir muchas formas y curvas complejas que se encuentran en la naturaleza. Gielis presentó una solicitud de patente relacionada con la síntesis de patrones generados por la superfórmula, la cual expiró el 10 de mayo de 2020. ^{[ 2 ]}

En coordenadas polares , con${\displaystyle r}$el radio y${\displaystyle \varphi }$El ángulo, la superfórmula es:

$${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {m\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}.}$$ Al elegir diferentes valores para los parámetros${\displaystyle a,b,m,n_{1},n_{2},}$y${\displaystyle n_{3},}$Se pueden generar diferentes formas.

La fórmula se obtuvo generalizando la superelipse, nombre que fue dado y popularizado por Piet Hein , un matemático danés .

En los siguientes ejemplos, los valores que se muestran encima de cada _figura deben ser m , n1 , n2 y _{n3 .}

Un programa GNU Octave para generar estas figuras.

función sf2d ( n, a ) u = [ 0 : .001 : 2 * pi ]; raux = abs ( 1 / a ( 1 ) .* abs ( cos ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) .* abs ( sin ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 4 ); r = abs ( raux ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); x = r .* porque ( u ); y = r .* pecado ( u ); trazar ( x , y ); fin

Es posible extender la fórmula a 3, 4 o n dimensiones mediante el producto esférico de superfórmulas. Por ejemplo, la superficie paramétrica 3D se obtiene multiplicando dos superfórmulas r ₁ y r ₂ . Las coordenadas se definen mediante las relaciones:

$${\displaystyle x=r_{1}(\theta )\cos \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$$$${\displaystyle y=r_{1}(\theta )\sin \theta \cdot r_{2}(\phi )\cos \phi ,}$$$${\displaystyle z=r_{2}(\phi )\sin \phi ,}$$

dónde${\displaystyle \phi }$( latitud ) varía entre −π / 2 y π /2 y θ ( longitud ) entre −π y π .

Superfórmula 3D: a = b = 1; m , n ₁ , n ₂ y n ₃ se muestran en las imágenes.

Un programa de GNU Octave para generar estas figuras:

función sf3d ( n, a ) u = [ - pi : .05 : pi ]; v = [ -pi / 2 : .05 : pi / 2 ] ; nu = longitud ( u ); nv = longitud ( v ); para i = 1 : nu para j = 1 : nv raux1 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) . * u ( i ) / 4 ) ) ) . ^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * u ( i ) / 4 ) ) ) . r1 = abs ( raux1 ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); raux2 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r2 = abs ( raux2 ) .^ ( - 1 / n( 2 )); x ( i , j ) = r1 * cos ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); y ( i , j ) = r1 * sin ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); z ( i , j ) = r2 * sin ( v ( j )); fin del bucle ; fin del bucle ; malla ( x , y , z ); fin de la función ;

La superfórmula se puede generalizar permitiendo distintos parámetros m en los dos términos de la superfórmula. Al reemplazar el primer parámetro${\displaystyle m}$con y y segundo parámetro${\displaystyle m}$con z : ^{[ 3 ]}$${\displaystyle r\left(\varphi \right)=\left(\left|{\frac {\cos \left({\frac {y\varphi }{4}}\right)}{a}}\right|^{n_{2}}+\left|{\frac {\sin \left({\frac {z\varphi }{4}}\right)}{b}}\right|^{n_{3}}\right)^{-{\frac {1}{n_{1}}}}}$$

Esto permite la creación de estructuras anidadas y asimétricas rotacionalmente. En los siguientes ejemplos a, b,${\displaystyle {n_{2}}}$y${\displaystyle {n_{3}}}$son 1:

• Algunos experimentos sobre el ajuste de curvas de Gielis mediante métodos de recocido simulado y optimización global por enjambre de partículas.
• Ajuste por mínimos cuadrados de curvas de Chacón-Gielis mediante el método de optimización por enjambre de partículas.
• Plotter 2D y generador SVG Superformula
• Ejemplo interactivo con JSXGraph
• SuperShaper: Un generador de superformas 3D interactivo, de código abierto y acelerado por OpenCL, con visualización basada en sombreadores (OpenGL3).