Lista de teselaciones euclidianas uniformes

Esta tabla muestra los 11 recubrimientos uniformes convexos (regulares y semirregulares) del plano euclidiano y sus recubrimientos duales.

En el plano existen tres teselaciones regulares y ocho semirregulares . Las teselaciones semirregulares forman nuevas teselaciones a partir de sus duales, cada una compuesta por un tipo de cara irregular.

John Conway denominó a estos duales uniformes teselaciones catalanas , en paralelo a los poliedros sólidos catalanes .

Los recubrimientos uniformes se clasifican según su configuración de vértices , es decir, la secuencia de caras que existen en cada vértice. Por ejemplo, 4.8.8 significa un cuadrado y dos octágonos en un vértice.

Estos 11 mosaicos uniformes tienen 32 colores uniformes diferentes . Un color uniforme permite que polígonos de lados idénticos en un vértice tengan colores diferentes, manteniendo la uniformidad de los vértices y la congruencia de las transformaciones entre ellos. (Nota: Algunas de las imágenes de mosaicos que se muestran a continuación no tienen colores uniformes).

Además de los 11 teselados uniformes convexos, existen 14 teselados no convexos conocidos , que utilizan polígonos estrellados y configuraciones de vértices con orientación inversa. Se conocen otros 28 teselados uniformes que utilizan apeirogones . Si se permiten también los zigzags, existen 23 teselados uniformes más conocidos y 10 familias más que dependen de un parámetro: en 8 casos el parámetro es continuo y en los otros 2 es discreto. No se sabe si el conjunto es completo.

Todas las formas reflexivas pueden crearse mediante construcciones de Wythoff , representadas por símbolos de Wythoff , o diagramas de Coxeter-Dynkin , cada uno operando sobre uno de los tres triángulos de Schwarz (4,4,2), (6,3,2) o (3,3,3), con simetría representada por grupos de Coxeter : [4,4], [6,3] o [3 ^[3] ]. Las formas alternadas , como el snub, también pueden representarse mediante marcas especiales dentro de cada sistema. Solo un teselado uniforme no puede construirse mediante un proceso de Wythoff, pero sí puede crearse mediante una elongación del teselado triangular. También existe una construcción de espejo ortogonal [ ∞ ,2, ∞ ], vista como dos conjuntos de espejos paralelos que forman un dominio fundamental rectangular. Si el dominio es cuadrado, esta simetría puede duplicarse mediante un espejo diagonal en la familia [4,4].

Familias:

• (4,4,2),${\displaystyle {\tilde {BC}}_{2}}$, [4,4] – Simetría del teselado cuadrado regular
  • ${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}^{2}}$, [ ∞ ,2, ∞ ]
• (6,3,2),${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$, [6,3] – Simetría del teselado hexagonal regular y del teselado triangular .
  • (3,3,3),${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$, [3 ^[3] ]

En el libro de 1987, Tilings and patterns , Branko Grünbaum llama a los teselados uniformes en los vértices Arquimedeos , en paralelo a los sólidos Arquimedeos . Sus teselados duales se llaman teselados de Laves en honor al cristalógrafo Fritz Laves . ^{[ 1 ] [ 2 ]} También se les llama teselados de Shubnikov-Laves en honor a Aleksei Shubnikov . ^{[ 3 ]} John Conway llamó a los duales uniformes teselados de Catalan , en paralelo a los poliedros sólidos de Catalan .

Los teselados de Laves tienen vértices en los centros de los polígonos regulares y aristas que conectan los centros de los polígonos regulares que comparten una arista. Las teselas de los teselados de Laves se llaman planígonos . Esto incluye las 3 teselas regulares (triángulo, cuadrado y hexágono) y 8 irregulares. ^{[ 4 ]} Cada vértice tiene aristas espaciadas uniformemente a su alrededor. Los análogos tridimensionales de los planígonos se llaman estereoedros .

Estos recubrimientos duales se clasifican según su configuración de caras , es decir, el número de caras en cada vértice. Por ejemplo, V4.8.8 indica recubrimientos triangulares isósceles con una esquina que contiene cuatro triángulos y dos esquinas que contienen ocho triángulos. Las orientaciones de los planígonos de los vértices (hasta D ₁₂ ) coinciden con los diagramas de vértices de las secciones siguientes.

• Panal uniforme convexo : Las 28 teselaciones tridimensionales uniformes, una construcción paralela a los teselados planos euclidianos uniformes convexos.
• Teselaciones euclidianas mediante polígonos regulares convexos
• Lista de teselaciones
• Umbral de percolación
• Teselaciones uniformes : también se enumeran las teselaciones uniformes no convexas, de forma similar a los poliedros uniformes no convexos.
• Teselaciones uniformes en el plano hiperbólico

• Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim (18 de abril de 2008). «Capítulo 19, Teselaciones arquimedianas , tabla 19.1». Las simetrías de las cosas . AK Peters / CRC Press . ISBN 978-1-56881-220-5Archivado del original el 19 de septiembre de 2010.
• Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS ; Miller, JCP (1954). "Poliedros uniformes". Phil. Trans. 246 A: 401–450 .
• Williams, Robert (1979). Los fundamentos geométricos de la estructura natural: Un libro de referencia sobre diseño . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-23729-X.

• • (Sección 2–3 Empaquetamientos circulares, teselaciones planas y redes , págs.  34–40).
• Asaro, Laura; Hyde, John; Jensen, Melanie; Mann, Casey; Schroeder, Tyler. "Coloraciones uniformes de borde c de los teselados arquimedianos" (PDF) . Universidad de Washington .( Casey Mann en la Universidad de Washington )
• Grünbaum, Branko ; Shepard, Geoffrey (noviembre de 1977). "Teselaciones por polígonos regulares" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 3 de marzo de 2016. Consultado el 5 de julio de 2014 .
• Seymour, Dale; Britton, Jill (1989). Introducción a las teselaciones . Dale Seymour Publications. págs. 50–57, 71-74 . ISBN  978-0866514613.

• Weisstein, Eric W. "Teselación uniforme" . MathWorld .
• Teselaciones uniformes en el plano euclidiano
• Teselaciones del plano
• El mundo de las teselaciones de David Bailey
• k -teselados uniformes
• n -teselados uniformes