Planigon

Los 14 planígonos de vértice regulares uniformes utilizables también provienen ^{[ 5 ]} del dodecagrama 6-5 (donde cada segmento subtiende${\displaystyle 5\pi /6}$radianes, o 150 grados).

El círculo inscrito de este dodecagrama demuestra que los 14 VRP son cocíclicos , como también lo muestran los empaquetamientos circulares . La relación entre el círculo inscrito y el círculo circunscrito es:

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}}\approx 0.258819}$

y la envoltura convexa es precisamente la de los dodecágonos regulares en el teselado k-uniforme . El triángulo equilátero, el cuadrado, el hexágono regular y el dodecágono regular se muestran arriba con los VRP.

De hecho, cualquier grupo de planígones puede construirse a partir de los bordes de un${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$poligrama , donde${\displaystyle k=\gcd(n_{1},\dots ,n_{m})}$y${\displaystyle n_{i}}$es el número de lados en el RP adyacentes a cada figura de vértice involucrada. Esto se debe a que el radio circunscrito${\displaystyle {\frac {1}{2}}\csc {\frac {\pi }{n_{i}}}}$de cualquier regular${\displaystyle n_{i}}$-gono (desde el vértice hasta el centroide) es igual a la distancia desde el centro del poligrama hasta sus segmentos de línea que se intersecan en el ángulo${\displaystyle 2\pi /n_{i}}$, ya que todos${\displaystyle 2k{\text{-}}(k-1)}$Los poligramas admiten círculos de radios${\displaystyle 1/2}$tangente a todos sus lados.

En Tilings and Patterns , Grünbaum también construyó los teselados de Laves utilizando teselas monoédricas con vértices regulares . Un vértice es regular si todos los ángulos que parten de él son iguales. En otras palabras: ^{[ 1 ]}

1. Todos los vértices son regulares,
2. Todos los planigonos de Laves son congruentes.

De esta forma, todos los teselados de Laves son únicos, excepto el teselado cuadrado (1 grado de libertad), el teselado pentagonal de granero (1 grado de libertad) y el teselado hexagonal (2 grados de libertad):

Cuando se aplica a teselaciones co-uniformes duales de orden superior, todos los planígonos corregulares duales pueden distorsionarse excepto los triángulos ( similitud AAA ), con los ejemplos que se muestran a continuación:

En un teselado de Laves de planígones solo pueden darse once de estas combinaciones de ángulos.

En particular, si tres polígonos se encuentran en un vértice y uno tiene un número impar de lados, los otros dos polígonos deben ser iguales. Si no lo son, tendrían que alternarse alrededor del primer polígono, lo cual es imposible si su número de lados es impar. Debido a esta restricción, estos seis polígonos no pueden aparecer en ningún teselado k-dual-uniforme:

Por otro lado, estos cuatro se pueden utilizar en teselaciones k -duales-uniformes:

Finalmente, suponiendo una longitud de lado unitaria, todos los polígonos regulares y planígones utilizables tienen longitudes de lado y áreas como se muestra a continuación en la tabla:

• Un vértice de grado seis puede ser reemplazado por un hexágono regular central y seis aristas que emanan del mismo;
• Un vértice de grado doce puede ser reemplazado por seis deltoides (un hexágono deltoidal central) y doce aristas que emanan del mismo;
• Un vértice de grado doce puede ser reemplazado por seis pentágonos de El Cairo, un hexágono central y doce aristas que emanan del mismo (al diseccionar el vértice de grado 6 en el centro del ejemplo anterior).

Esto se hace arriba para el dual del teselado 3-4-6-12. El proceso uniforme correspondiente es la disección , y se muestra aquí .

Hay 20 teselaciones formadas por 2 tipos de planígones, el dual de teselaciones 2-uniformes (Krotenheerdt Duals):

Hay 39 teselaciones formadas por 3 tipos de planígones (Krotenheerdt Duals):

Hay 33 teselaciones formadas por 4 tipos de planígones (Krotenheerdt Duals):

Hay 15 teselaciones dobles uniformes de 5 con 5 planígones únicos:

Hay 10 teselaciones dobles 6-uniformes con 6 planígones únicos:

Hay 7 teselaciones dobles uniformes de 7 con 7 planígones únicos:

Los dos últimos mosaicos duales uniformes de 7 vértices tienen los mismos tipos de vértices, aunque no se parezcan en nada.

De${\displaystyle n\geq 8}$En adelante, no hay n teselaciones uniformes con n tipos de vértices, ni n duales uniformes con n (semi)planígonos distintos. ^{[ 9 ]}

Para ampliar los planígonos V3 ² .4.12 y V3.4.3.12 utilizando el método trihexagonal truncado, un factor de escala de${\displaystyle 2(3+{\sqrt {3}})}$Debe aplicarse:

Mediante dos teselaciones uniformes de 9 en ^{[ 10 ]} se logra una gran fractalización con un factor de escala de 3 en todos los planígonos. En el caso de s,C,B,H, su propio planígono se encuentra en el centro exacto:

A continuación se muestran los dos teselados 9-uniformes, fractalizaciones de los semirregulares DC y DB , y un ejemplo general en S ² TC :

Teselaciones couniformes duales (rojo) junto con los originales (azul) de teselaciones seleccionadas. ^{[ 7 ] [ 11 ]} Generado por la construcción del punto medio del centroide-arista mediante la detección del vértice del centroide del polígono, redondeando el ángulo de cada co-arista al múltiplo de 15 grados más cercano. Dado que el tamaño unitario de las teselaciones varía de 15 a 18 píxeles y cada polígono regular difiere ligeramente, ^{[ 7 ]} hay cierta superposición o rupturas de aristas duales (un generador de tamaño de 18 píxeles genera incorrectamente co-aristas a partir de cinco teselaciones de tamaño de 15 píxeles, clasificando algunos cuadrados como triángulos).

Otras comparaciones de construcción de borde a borde. Gira cada 3 segundos.

A continuación se muestran los planígonos formados por correspondencia borde con borde a partir de configuraciones de vértices en los respectivos teselados uniformes. ^{[ 7 ]} Todos los bordes de los planígonos son perfectos, es decir, no hay superposiciones ni protuberancias (pero posiblemente estiramientos):

A continuación se muestran expansiones lineales afines de otros teselados uniformes, desde el original al dual y viceversa:

El primer teselado uniforme de 12 elementos contiene todos los planígonos con tres tipos de vértices, y el segundo teselado uniforme de 12 elementos contiene todos los tipos de aristas.

Si${\displaystyle a}$-${\displaystyle b}$alicatado significa${\displaystyle a}$uniforme doble,${\displaystyle b}$Teselado de Catalaves, luego existe un teselado 11-9, ^{[ 7 ]} un teselado 13-10, un teselado 15-11, un teselado 19-12, dos teselados 22-13 y un teselado 24-14. También existe un teselado de losa 13-8 y un teselado no de reloj 14-10. Finalmente, hay teselados 7-5 que utilizan todos los planígones de reloj: ^{[ 10 ]}

Cada teselado uniforme corresponde a un empaquetamiento de círculos, en el que se colocan círculos de diámetro 1 en todos los vértices, correspondientes a los planígones. ^{[ 11 ]} A continuación se muestran los empaquetamientos de círculos de los teselados optimizados y del teselado de todos los bordes:

Presentación de diapositivas con los 94 mosaicos uniformes de 5 caras con 4 planígones distintos. Cambia cada 6 segundos y se repite cada 60 segundos.

Todos los teselados con dodecágonos regulares en ^{[ 7 ]} se muestran a continuación, alternando entre uniforme y co-uniforme dual cada 5 segundos:

A continuación se muestran todos los mosaicos con dodecágonos regulares , alternando entre uniformes y co-uniformes duales cada 5 segundos.

Comparación de 65.000 teselaciones uniformes en teselaciones planas uniformes y sus teselaciones uniformes duales. Las dos filas inferiores coinciden y están a escala:

Comparación de 65 000 teselaciones uniformes en teselaciones planas uniformes y sus teselaciones uniformes duales. Las dos filas inferiores coinciden y están a escala.