Transformación diádica

La transformación diádica (también conocida como mapa diádico , mapa de desplazamiento de bits , mapa 2 x  mod  1 , mapa de Bernoulli , mapa de duplicación o mapa de diente de sierra ^{[ 1 ] [ 2 ]} ) es la aplicación (es decir, relación de recurrencia )

${\displaystyle T:[0,1)\to [0,1)^{\infty }}$

${\displaystyle x\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )}$

(dónde${\displaystyle [0,1)^{\infty }}$es el conjunto de secuencias de${\displaystyle [0,1)}$) producido por la regla

${\displaystyle x_{0}=x}$

${\displaystyle {\text{para todos }}n\geq 0,\ x_{n+1}=(2x_{n}){\bmod {1}}}$. ^{[ 3 ]}

De forma equivalente, la transformación diádica también puede definirse como el mapa de función iterado de la función lineal a trozos.

${\displaystyle T(x)={\begin{cases}2x&0\leq x<{\frac {1}{2}}\\2x-1&{\frac {1}{2}}\leq x<1.\end{cases}}}$

El nombre " mapa de desplazamiento de bits" surge porque, si el valor de una iteración se escribe en notación binaria , la siguiente iteración se obtiene desplazando el punto binario un bit a la derecha, y si el bit a la izquierda del nuevo punto binario es un "uno", se reemplaza por un cero.

La transformación diádica proporciona un ejemplo de cómo un mapa simple unidimensional puede dar lugar al caos . Este mapa se generaliza fácilmente a varios otros. Uno importante es la transformación beta , definida como${\displaystyle T_{\beta }(x)=\beta x{\bmod {1}}}$Este mapa ha sido estudiado exhaustivamente por numerosos autores. Fue introducido por Alfréd Rényi en 1957, y Alexander Gelfond proporcionó una medida invariante para él en 1959, y nuevamente, de forma independiente, Bill Parry en 1960. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

El mapa se puede obtener como un homomorfismo en el proceso de Bernoulli . Sea${\displaystyle \Omega =\{H,T\}^{\mathbb {N} }}$sea ​​el conjunto de todas las cadenas semiinfinitas de las letras${\displaystyle H}$y${\displaystyle T}$. Esto puede entenderse como los lanzamientos de una moneda, que resultan en cara o cruz. De manera equivalente, se puede escribir${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$el espacio de todas las cadenas (semi)infinitas de bits binarios. La palabra "infinito" se califica con "semi-", ya que también se puede definir un espacio diferente.${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {Z} }}$que consta de todas las cadenas doblemente infinitas (de doble extremo); esto conducirá al mapa de Baker . La calificación "semi-" se omite más adelante.

Este espacio tiene una operación de desplazamiento natural , dada por

${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots )}$

dónde${\displaystyle (b_{0},b_{1},\dots )}$es una cadena infinita de dígitos binarios. Dada dicha cadena, escribe

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {b_{n}}{2^{n+1}}}.}$

El resultado${\displaystyle x}$es un número real en el intervalo unitario${\displaystyle 0\leq x\leq 1.}$El cambio${\displaystyle T}$induce un homomorfismo , también llamado${\displaystyle T}$, en el intervalo unitario. Dado que${\displaystyle T(b_{0},b_{1},b_{2},\dots )=(b_{1},b_{2},\dots ),}$uno puede ver fácilmente que${\displaystyle T(x)=2x{\bmod {1}}.}$ Para la secuencia doblemente infinita de bits${\displaystyle \Omega =2^{\mathbb {Z} },}$El homomorfismo inducido es el mapa de Baker .

La secuencia diádica es entonces simplemente la secuencia

${\displaystyle (x,T(x),T^{2}(x),T^{3}(x),\dots )}$

Eso es,${\displaystyle x_{n}=T^{n}(x).}$

Una característica distintiva de la dinámica caótica es la pérdida de información durante la simulación. Si partimos de la información de los primeros s bits de la iteración inicial, tras m iteraciones simuladas ( m  < s ) solo nos quedan s − m bits de información. Por lo tanto, perdemos información a un ritmo exponencial de un bit por iteración. Tras s iteraciones, nuestra simulación ha alcanzado el punto fijo cero, independientemente de los valores reales de la iteración; por consiguiente, hemos sufrido una pérdida total de información. Esto ilustra la dependencia sensible de las condiciones iniciales: la correspondencia entre la condición inicial truncada y la condición inicial real se ha desviado exponencialmente. Y dado que nuestra simulación ha alcanzado un punto fijo, para casi todas las condiciones iniciales no describirá la dinámica de forma cualitativamente correcta como caótica.   

El concepto de ganancia de información es equivalente al de pérdida de información. En la práctica, un proceso del mundo real puede generar una secuencia de valores ( xₙ ₎ a lo largo del tiempo, pero es posible que solo podamos observar estos valores de forma incompleta. Supongamos, por ejemplo, que _x₀ = 0,1001101, pero solo observamos el valor incompleto 0,1001. Nuestra predicción para x₁ es 0,001. Si esperamos a que el proceso del mundo real genere el valor verdadero de _x₁ , _0,001101 , podremos observar el valor incompleto 0,0011, que es más preciso que nuestro valor predicho 0,001. Por lo tanto, hemos obtenido una ganancia de información de un bit.  

La transformación diádica es topológicamente semiconjugada al mapa de tienda de altura unitaria . Recordemos que el mapa de tienda de altura unitaria viene dado por

${\displaystyle x_{n+1}=f_{1}(x_{n})={\begin{cases}x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\leq 1/2\\1-x_{n}&\mathrm {for} ~~x_{n}\geq 1/2\end{cases}}}$

La conjugación se da explícitamente por

${\displaystyle S(x)=\sin \pi x}$

de modo que

${\displaystyle f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S}$

Eso es,${\displaystyle f_{1}(x)=S^{-1}(T(S(x))).}$Esto es estable bajo iteración, ya que

${\displaystyle f_{1}^{n}=f_{1}\circ \cdots \circ f_{1}=S^{-1}\circ T\circ S\circ S^{-1}\circ \cdots \circ T\circ S=S^{-1}\circ T^{n}\circ S}$

También es conjugado al caso caótico r  =  4 del mapa logístico . El caso r  =  4 del mapa logístico es${\ Displaystyle z_ {n + 1} = 4z_ {n} (1-z_ {n})}$; esto está relacionado con el mapa de desplazamiento de bits en la variable x por

${\displaystyle z_{n}=\sin ^{2}(2\pi x_{n}).}$

También existe una semiconjugación entre la transformación diádica (aquí denominada aplicación de duplicación de ángulos) y el polinomio cuadrático . Aquí, la aplicación duplica los ángulos medidos en turnos . Es decir, la aplicación viene dada por

${\displaystyle \theta \mapsto 2\theta {\bmod {2}}\pi .}$

Debido a la naturaleza simple de la dinámica cuando las iteraciones se ven en notación binaria, es fácil categorizar la dinámica en función de la condición inicial:

Si la condición inicial es irracional (como casi todos los puntos del intervalo unitario), entonces la dinámica es no periódica; esto se deduce directamente de la definición de un número irracional como aquel con una expansión binaria no repetitiva. Este es el caso caótico.

Si x ₀ es racional, la imagen de x ₀ contiene un número finito de valores distintos dentro de [0, 1) y la órbita hacia adelante de x ₀ es eventualmente periódica, con un período igual al período de la expansión binaria de x ₀ . Específicamente, si la condición inicial es un número racional con una expansión binaria finita de k bits, entonces después de k iteraciones los iterados alcanzan el punto fijo 0; si la condición inicial es un número racional con un transitorio de k bits ( k  ≥  0) seguido de una secuencia de q bits ( q  >  1) que se repite infinitamente, entonces después de k iteraciones los iterados alcanzan un ciclo de longitud q . Por lo tanto, son posibles ciclos de todas las longitudes. 

Por ejemplo, la órbita hacia adelante de 11/24 es:

${\displaystyle {\frac {11}{24}}\mapsto {\frac {11}{12}}\mapsto {\frac {5}{6}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto {\frac {2}{3}}\mapsto {\frac {1}{3}}\mapsto \cdots ,}$

que ha alcanzado un ciclo de periodo 2. Dentro de cualquier subintervalo de [0, 1), por pequeño que sea, hay, por lo tanto, un número infinito de puntos cuyas órbitas son eventualmente periódicas, y un número infinito de puntos cuyas órbitas nunca son periódicas. Esta dependencia sensible de las condiciones iniciales es una característica de los mapas caóticos .

En lugar de analizar las órbitas de puntos individuales bajo la acción del mapa, resulta igualmente útil explorar cómo este afecta las densidades en el intervalo unitario. Es decir, imaginemos esparcir polvo sobre el intervalo unitario; su densidad es mayor en algunos lugares que en otros. ¿Qué sucede con esta densidad a medida que se repite el proceso?

Escribir${\displaystyle \rho$ :[0,1]\to \mathbb {R} } como esta densidad, de modo que${\displaystyle x\mapsto \rho (x)}$Para obtener la acción de${\displaystyle T}$En esta densidad, es necesario encontrar todos los puntos${\displaystyle y=T^{-1}(x)}$y escribe ^{[ 7 ]}

${\displaystyle \rho (x)\mapsto \sum _{y=T^{-1}(x)}{\frac {\rho (y)}{|T^{\prime }(y)|}}}$

El denominador en lo anterior es el determinante jacobiano de la transformación, aquí es simplemente la derivada de${\displaystyle T}$y entonces${\displaystyle T^{\prime }(y)=2}$Además, obviamente solo hay dos puntos en la preimagen de${\displaystyle T^{-1}(x)}$, estos son${\displaystyle y=x/2}$y${\displaystyle y=(x+1)/2.}$Al juntarlo todo, uno obtiene

${\displaystyle \rho (x)\mapsto {\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

Por convención, dichos mapas se denotan por${\displaystyle {\mathcal {L}}}$de modo que en este caso, escriba

${\displaystyle \left[{\mathcal {L}}_{T}\rho \right](x)={\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}\rho \!\left({\frac {x+1}{2}}\right)}$

El mapa${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$es un operador lineal , como se puede ver fácilmente que${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(f+g)={\mathcal {L}}_{T}(f)+{\mathcal {L}}_{T}(g)}$y${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}(af)=a{\mathcal {L}}_{T}(f)}$para todas las funciones${\displaystyle f,g}$en el intervalo unitario y todas las constantes${\displaystyle a}$.

Visto como un operador lineal, la pregunta más obvia y apremiante es: ¿cuál es su espectro ? Un autovalor es obvio: si${\displaystyle \rho (x)=1}$a pesar de${\displaystyle x}$entonces uno obviamente tiene${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}\rho =\rho }$Por lo tanto, la densidad uniforme es invariante bajo la transformación. De hecho, este es el mayor valor propio del operador.${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$, es el autovalor de Frobenius-Perron . La densidad uniforme no es, de hecho, otra cosa que la medida invariante de la transformación diádica.

Para explorar el espectro de${\displaystyle {\mathcal {L}}_{T}}$Para ser más precisos, primero hay que limitarse a un espacio adecuado de funciones (en el intervalo unitario) con el que trabajar. Este podría ser el espacio de funciones medibles de Lebesgue , o quizás el espacio de funciones de cuadrado integrable , o incluso simplemente polinomios . Trabajar con cualquiera de estos espacios es sorprendentemente difícil, aunque se puede obtener un espectro. ^{[ 7 ]}

El hamiltoniano del modelo de Ising unidimensional de campo cero de${\displaystyle 2N}$Los espines con condiciones de contorno periódicas se pueden escribir como

${\displaystyle H(\sigma )=g\sum _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}\sigma _{i}\sigma _{i+1}.}$

Alquiler${\displaystyle C}$ser una constante de normalización elegida adecuadamente y${\displaystyle \beta }$Sea la temperatura inversa del sistema, la función de partición para este modelo viene dada por

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{2N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{2N}}Ce^{-\beta g\sigma _{i}\sigma _{i+1}}.}$

Podemos implementar el grupo de renormalización integrando cada segundo espín. Al hacerlo, se encuentra que${\displaystyle Z}$También se puede equiparar con la función de partición para un sistema más pequeño con pero${\displaystyle N}$giros,

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}=\pm 1,\,i\in \mathbb {Z} _{N}\}}\prod _{i\in \mathbb {Z} _{N}}{\mathcal {R}}[C]e^{-{\mathcal {R}}[\beta g]\sigma _{i}\sigma _{i+1}},}$

siempre que reemplacemos${\displaystyle C}$y${\displaystyle \beta g}$con valores renormalizados${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]}$y${\displaystyle {\mathcal {R}}[\beta g]}$satisfaciendo las ecuaciones

${\displaystyle {\mathcal {R}}[C]^{2}=4\cosh(2\beta g)C^{4},}$

${\displaystyle e^{-2{\mathcal {R}}[\beta g]}=\cosh(2\beta g).}$

Supongamos ahora que permitimos${\displaystyle \beta g}$ser complejo y que${\displaystyle \operatorname {Im} [2\beta g]={\frac {\pi }{2}}+\pi n}$para algunos${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$En ese caso podemos introducir un parámetro${\displaystyle t\in [0,1)}$relacionado con${\displaystyle \beta g}$mediante la ecuación

${\displaystyle e^{-2\beta g}=i\tan {\big (}\pi (t-{\frac {1}{2}}){\big )},}$

y la transformación del grupo de renormalización resultante para${\displaystyle t}$será precisamente el mapa diádico: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\mathcal {R}}[t]=2t{\bmod {1}}.}$

• proceso de Bernoulli
• Esquema de Bernoulli
• Modelo de Gilbert-Shannon-Reeds , una distribución aleatoria en permutaciones dada al aplicar el mapa de duplicación a un conjunto de n puntos aleatorios uniformes en el intervalo unitario.