difusión de Arnold

En matemáticas aplicadas , la difusión de Arnold es el fenómeno de inestabilidad de los sistemas hamiltonianos casi integrables . El fenómeno recibe su nombre de Vladimir Arnold, quien fue el primero en publicar un resultado en este campo en 1964. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Más precisamente, la difusión de Arnold se refiere a resultados que afirman la existencia de soluciones para sistemas hamiltonianos casi integrables que presentan un cambio significativo en las variables de acción.

La difusión de Arnold describe la difusión de trayectorias debida al teorema ergódico en una porción del espacio de fases no limitada por ninguna restricción ( es decir, no limitada por toros lagrangianos derivados de constantes de movimiento ) en sistemas hamiltonianos . Ocurre en sistemas con más de N = 2 grados de libertad, ya que los toros invariantes N -dimensionales ya no separan el espacio de fases 2N -1-dimensional. Por lo tanto, una perturbación arbitrariamente pequeña puede provocar que varias trayectorias vaguen de forma pseudoaleatoria por toda la porción del espacio de fases que dejan los toros destruidos.

Para sistemas integrables, se conservan las variables de acción . Según el teorema KAM, si perturbamos ligeramente un sistema integrable, muchas de sus soluciones, aunque no todas, se mantienen cercanas a las del sistema original. En particular, dado que las variables de acción se conservaron inicialmente, el teorema indica que muchas soluciones del sistema perturbado experimentan un cambio mínimo en la acción.

Sin embargo, como se señaló por primera vez en el artículo de Arnold, ^{[ 1 ]} existen sistemas casi integrables para los cuales existen soluciones que exhiben un crecimiento arbitrariamente grande en las variables de acción. Más precisamente, Arnold consideró el ejemplo de un sistema hamiltoniano casi integrable con Hamiltoniano

${\displaystyle H(I,\phi ,p,q,t)={1 \over 2}I^{2}+{1 \over 2}p^{2}+\epsilon (\cos {q}-1)+\mu (\cos {q}-1)(\sin {\phi +\cos t)}}$

Los tres primeros términos de este hamiltoniano describen un sistema rotador-péndulo. Arnold demostró que para este sistema, para cualquier elección de${\displaystyle I_{+}>I_{-}>0}$y para${\displaystyle 0<\mu \ll \epsilon \ll 1}$, existe una solución para el sistema para el cual

${\displaystyle I(0)<I_{-}{\text{ and }}I(T)>I_{+}}$

por algún tiempo${\displaystyle T\gg 0.}$

Su prueba se basa en la existencia de «cadenas de transición» de toros «bigotes», es decir, secuencias de toros con dinámica transitiva tales que la variedad inestable (bigotes) de uno de estos toros interseca transversalmente la variedad estable (bigotes) del siguiente. Arnold conjeturó que «el mecanismo de las "cadenas de transición" que garantiza la inestabilidad en nuestro ejemplo también es aplicable al caso general (por ejemplo, al problema de tres cuerpos)». ^{[ 1 ]}

El teorema KAM y la difusión de Arnold han dado lugar a un compendio de resultados matemáticos rigurosos, con aportaciones de la física. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En el modelo de Arnold, el término de perturbación es de un tipo especial. El caso general del problema de difusión de Arnold se refiere a sistemas hamiltonianos de una de las formas

(1)${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi ,p,q)=H_{0}(I,p,q)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,p,q,t)}$

dónde${\displaystyle (I,\phi ,p,q,t)\in \mathbb {R} ^{m}\times \mathbb {T} ^{m}\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {T} ^{1}}$,${\displaystyle m,n\geq 1}$, y${\displaystyle H_{0}(I,p,q)}$describe un sistema de péndulo rotador, o

(2)${\displaystyle H_{\epsilon }(I,\phi )=H_{0}(I)+\epsilon H_{1}(I,\phi ,t)}$

dónde${\displaystyle (I,\phi ,t)\in \mathbb {R} ^{N}\times \mathbb {T} ^{N}\times \mathbb {T} ^{1}}$,${\displaystyle N\geq 2.}$

Para sistemas como en (1) , el hamiltoniano no perturbado posee familias suaves de toros invariantes que tienen variedades hiperbólicas estables e inestables ; dichos sistemas se denominan a priori inestables . Para el sistema como en (2) , el espacio de fases del hamiltoniano no perturbado está foliado por toros invariantes lagrangianos ; dichos sistemas se denominan a priori estables . ^{[ 5 ]} En cualquier caso, el problema de difusión de Arnold afirma que, para sistemas "genéricos", existe${\displaystyle \rho >0}$de tal manera que para cada${\displaystyle \epsilon >0}$suficientemente pequeñas existen curvas de solución para las cuales

${\displaystyle \|I(T)-I(0)\|\geq \rho }$

por algún tiempo${\displaystyle T\gg 0.}$ Las formulaciones precisas de las posibles condiciones de genericidad en el contexto de sistemas a priori inestables y a priori estables se pueden encontrar en ^{[ 6 ] [ 7 ]} respectivamente. De manera informal, el problema de difusión de Arnold indica que pequeñas perturbaciones pueden acumularse y producir grandes efectos.

Los resultados recientes en el caso a priori inestable incluyen, ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} y en el caso a priori estable. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

En el contexto del problema restringido de tres cuerpos , la difusión de Arnold puede interpretarse en el sentido de que, para todos los valores suficientemente pequeños y distintos de cero de la excentricidad de las órbitas elípticas de los cuerpos masivos, existen soluciones a lo largo de las cuales la energía de la masa despreciable cambia en una cantidad que es independiente de la excentricidad. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

• Teorema KAM
• Estimaciones de Nekhoroshev