Coordenadas de acción-ángulo

En mecánica clásica , las variables de acción-ángulo son un conjunto de coordenadas canónicas útiles para caracterizar la naturaleza de los flujos conmutativos en sistemas integrables cuando el conjunto de niveles de energía conservados es compacto y los flujos conmutativos son completos. Las variables de acción-ángulo también son importantes para obtener las frecuencias de movimiento oscilatorio o rotacional sin resolver las ecuaciones de movimiento . Solo existen, proporcionando una caracterización clave de la dinámica, cuando el sistema es completamente integrable , es decir, el número de invariantes conmutativos de Poisson independientes es máximo y la superficie de energía conservada es compacta. Esto suele tener un valor práctico de cálculo cuando la ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable y las constantes de separación pueden resolverse como funciones en el espacio de fases. Las variables de acción-ángulo definen una foliación por toros lagrangianos invariantes porque los flujos inducidos por los invariantes conmutativos de Poisson permanecen dentro de sus conjuntos de niveles conjuntos, mientras que la compacidad del conjunto de niveles de energía implica que son toros. Las variables angulares proporcionan coordenadas en las hojas en las que los flujos de conmutación son lineales.

La conexión entre los sistemas hamiltonianos clásicos y su cuantización en el enfoque de la mecánica ondulatoria de Schrödinger se hace evidente al considerar la ecuación de Hamilton-Jacobi como el término de orden principal en la serie asintótica WKB para la ecuación de Schrödinger. En el caso de sistemas integrables, las condiciones de cuantización de Bohr-Sommerfeld se utilizaron por primera vez, antes del advenimiento de la mecánica cuántica, para calcular el espectro del átomo de hidrógeno. Estas condiciones requieren que existan las variables de acción-ángulo y que sean múltiplos enteros de la constante de Planck reducida.${\displaystyle \hbar }$La intuición de Einstein en la cuantización EBK sobre la dificultad de cuantizar sistemas no integrables se basó en este hecho .

Las coordenadas de acción-ángulo también son útiles en la teoría de perturbaciones de la mecánica hamiltoniana , especialmente para determinar invariantes adiabáticos . Uno de los primeros resultados de la teoría del caos , para la estabilidad dinámica de sistemas dinámicos integrables bajo pequeñas perturbaciones, es el teorema KAM , que establece que los toros invariantes son parcialmente estables.

En la teoría moderna de sistemas integrables , las variables de acción-ángulo se utilizaban en la solución de la red de Toda , la definición de pares de Lax o, más generalmente, la evolución isoespectral de un operador lineal que caracteriza la dinámica integrable, e interpretando los datos espectrales asociados como variables de acción-ángulo en la formulación hamiltoniana.

Los ángulos de acción resultan de una transformación canónica de tipo 2 donde la función generadora es la función característica de Hamilton.${\displaystyle W(\mathbf {q} )}$( no es la función principal de Hamilton)${\displaystyle S}$). Dado que el hamiltoniano original no depende explícitamente del tiempo, el nuevo hamiltoniano${\displaystyle K(\mathbf {w} ,\mathbf {J} )}$es simplemente el antiguo hamiltoniano${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$expresado en términos de las nuevas coordenadas canónicas , que denotamos como${\displaystyle \mathbf {w} }$(los ángulos de acción , que son las coordenadas generalizadas ) y sus nuevos momentos generalizados${\displaystyle \mathbf {J} }$No necesitaremos resolver aquí la función generadora.${\displaystyle W}$en sí mismo; en cambio, lo utilizaremos simplemente como un vehículo para relacionar las coordenadas canónicas nuevas y antiguas .

En lugar de definir los ángulos de acción${\displaystyle \mathbf {w} }$En cambio, definimos directamente sus momentos generalizados, que se asemejan a la acción clásica para cada coordenada generalizada original.

${\displaystyle J_{k}\equiv \oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}}$

donde la trayectoria de integración viene dada implícitamente por la función de energía constante.${\displaystyle E=E(q_{k},p_{k})}$. Dado que el movimiento real no está involucrado en esta integración, estos momentos generalizados${\displaystyle J_{k}}$son constantes del movimiento, lo que implica que el hamiltoniano transformado${\displaystyle K}$no depende de las coordenadas generalizadas conjugadas${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}J_{k}=0={\frac {\partial K}{\partial w_{k}}}}$

donde el${\displaystyle w_{k}}$vienen dadas por la ecuación típica para una transformación canónica de tipo 2.

${\displaystyle w_{k}\equiv {\frac {\partial W}{\partial J_{k}}}}$

Por lo tanto, el nuevo hamiltoniano${\displaystyle K=K(\mathbf {J} )}$depende únicamente de los nuevos momentos generalizados${\displaystyle \mathbf {J} }$.

La dinámica de los ángulos de acción viene dada por las ecuaciones de Hamilton.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}w_{k}={\frac {\partial K}{\partial J_{k}}}\equiv \nu _{k}(\mathbf {J} )}$

El lado derecho es una constante del movimiento (ya que todos los${\displaystyle J}$s son). Por lo tanto, la solución viene dada por

${\displaystyle w_{k}=\nu _ {k}(\mathbf {J} )t+\beta _ {k}}$

dónde${\displaystyle \beta _{k}}$es una constante de integración. En particular, si la coordenada generalizada original sufre una oscilación o rotación de período${\displaystyle T}$, el ángulo de acción correspondiente${\displaystyle w_{k}}$cambios por${\displaystyle \Delta w_{k}=\nu _ {k}(\mathbf {J} )T}$.

Estos${\displaystyle \nu _ {k}(\mathbf {J} )}$son las frecuencias de oscilación/rotación para las coordenadas generalizadas originales${\displaystyle q_{k}}$Para demostrar esto, integramos el cambio neto en el ángulo de acción.${\displaystyle w_{k}}$sobre exactamente una variación completa (es decir, oscilación o rotación) de sus coordenadas generalizadas${\displaystyle q_{k}}$

${\displaystyle \Delta w_{k}\equiv \oint {\frac {\partial w_{k}}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}=\oint {\frac {\partial ^{2}W}{\partial J_{k}\,\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint {\frac {\partial W}{\partial q_{k}}}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} J_{k}}}\oint p_{k}\,\mathrm {d} q_{k}={\frac {\mathrm {d} J_{k}}{\mathrm {d}J_{k}}}=1}$

Establecer las dos expresiones para${\displaystyle \Delta w_{k}}$Igual, obtenemos la ecuación deseada.

${\displaystyle \nu _{k}(\mathbf {J} )={\frac {1}{T}}}$

Los ángulos de acción${\displaystyle \mathbf {w} }$son un conjunto independiente de coordenadas generalizadas . Por lo tanto, en el caso general, cada coordenada generalizada original${\displaystyle q_{k}}$puede expresarse como una serie de Fourier en todos los ángulos de acción

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{1}=-\infty }^{\infty }\sum _{s_{2}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{s_{N}=-\infty }^{\infty }A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}e^{i2\pi s_{1}w_{1}}e^{i2\pi s_{2}w_{2}}\cdots e^{i2\pi s_{N}w_{N}}}$

dónde${\displaystyle A_{s_{1},s_{2},\ldots ,s_{N}}^{k}}$es el coeficiente de la serie de Fourier. Sin embargo, en la mayoría de los casos prácticos, una coordenada generalizada original${\displaystyle q_{k}}$será expresable como una serie de Fourier solo en sus propios ángulos de acción.${\displaystyle w_{k}}$

${\displaystyle q_{k}=\sum _{s_{k}=-\infty }^{\infty }A_{s_{k}}^{k}e^{i2\pi s_{k}w_{k}}}$

El procedimiento general consta de tres pasos:

1. Calcular los nuevos momentos generalizados${\displaystyle J_{k}}$
2. Exprese el hamiltoniano original completamente en términos de estas variables.
3. Toma las derivadas del hamiltoniano con respecto a estos momentos para obtener las frecuencias.${\displaystyle \nu _{k}}$

En algunos casos, las frecuencias de dos coordenadas generalizadas diferentes son idénticas, es decir,${\displaystyle \nu _{k}=\nu _{l}}$para${\displaystyle k\neq l}$En tales casos, el movimiento se denomina degenerado .

Las señales de movimiento degenerado indican que existen cantidades conservadas generales adicionales; por ejemplo, las frecuencias del problema de Kepler son degeneradas, lo que corresponde a la conservación del vector de Laplace-Runge-Lenz .

El movimiento degenerado también indica que las ecuaciones de Hamilton-Jacobi son completamente separables en más de un sistema de coordenadas; por ejemplo, el problema de Kepler es completamente separable tanto en coordenadas esféricas como en coordenadas parabólicas .

• Modelo de Bohr-Sommerfeld
• Sistema integrable
• Método de Einstein-Brillouin-Keller
• Sistema hamiltoniano superintegrable
• Forma única tautológica

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1976), Mecánica (3.ª  ed.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8(tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4(de tapa blanda)
• Goldstein, H. (1980), Mecánica clásica (2.ª  ed.), Addison-Wesley, ISBN 0-201-02918-9
• Sardanashvily, G. (2015), Manual de sistemas hamiltonianos integrables , URSS, ISBN 978-5-396-00687-4
• Previato, Emma (2003), Diccionario de matemáticas aplicadas para ingenieros y científicos , CRC Press , Bibcode : 2003dame.book.....P , ISBN 978-1-58488-053-0