Sistema hamiltoniano superintegrable

En matemáticas, un sistema hamiltoniano superintegrable es un sistema hamiltoniano en un${\displaystyle 2n}$Variedad simpléctica de -dimensiones para la cual se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Existen${\displaystyle k>n}$integrales independientes${\displaystyle F_{i}}$de movimiento. Sus superficies de nivel (subvariedades invariantes) forman una variedad fibrada.${\displaystyle F:Z\to N=F(Z)}$sobre un subconjunto abierto conexo${\displaystyle N\subset \mathbb {R} ^{k}}$.

(ii) Existen funciones reales suaves${\displaystyle s_{ij}}$en${\displaystyle N}$de tal manera que el corchete de Poisson de las integrales de movimiento se lee ${\displaystyle \{F_{i},F_{j}\}=s_{ij}\circ F}$.

(iii) La función matricial ${\displaystyle s_{ij}}$es de coranillo constante${\displaystyle m=2n-k}$en${\displaystyle N}$.

Si${\displaystyle k=n}$Este es el caso de un sistema hamiltoniano completamente integrable . El teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas hamiltonianos superintegrables generaliza el teorema de Liouville-Arnold sobre coordenadas de acción-ángulo de un sistema hamiltoniano completamente integrable de la siguiente manera.

Sean subvariedades invariantes de un sistema hamiltoniano superintegrable conexas, compactas y mutuamente difeomorfas. Entonces la variedad fibrada${\displaystyle F}$es un haz de fibras en tori${\displaystyle T^{m}}$Existe un vecindario abierto.${\displaystyle U}$ de${\displaystyle F}$que es un fibrado trivial provisto de las coordenadas del fibrado (acción-ángulo generalizadas)${\displaystyle (I_{A},p_{i},q^{i},\phi ^{A})}$, ${\displaystyle A=1,\ldots ,m}$,${\displaystyle i=1,\ldots ,nm}$de tal manera que${\displaystyle (\phi ^{A})}$son coordenadas en${\displaystyle T^{m}}$Estas coordenadas son las coordenadas de Darboux en una variedad simpléctica .${\displaystyle U}$Un hamiltoniano de un sistema superintegrable depende únicamente de las variables de acción.${\displaystyle I_{A}}$que son las funciones de Casimir de la estructura de Poisson coinducida en${\displaystyle F(U)}$.

El teorema de Liouville-Arnold para sistemas completamente integrables y el teorema de Mishchenko-Fomenko para sistemas superintegrables se generalizan al caso de subvariedades invariantes no compactas. Son difeomorfos a un cilindro toroidal.${\displaystyle T^{mr}\times \mathbb {R} ^{r}}$.

• Sistema integrable
• Coordenadas de acción-ángulo
• Mecánicos de Nambu
• Vector de Laplace-Runge-Lenz
• Tensor de Fradkin

• Mishchenko, A., Fomenko, A., Método generalizado de Liouville para la integración de sistemas hamiltonianos, Funct. Anal. Appl. 12 (1978) 113. doi : 10.1007/BF01076254
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• Fasso, F., Sistemas hamiltonianos superintegrables: geometría y perturbaciones, Acta Appl. Math. 87 (2005) 93. doi : 10.1007/s10440-005-1139-8
• Fiorani, E., Sardanashvily, G. , Coordenadas globales de acción-ángulo para sistemas completamente integrables con variedades invariantes no compactas, J. Math. Phys. 48 (2007) 032901; arXiv : math/0610790 .
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• Giachetta, G., Mangiarotti, L., Sardanashvily, G. , Métodos geométricos en mecánica clásica y cuántica (World Scientific, Singapur, 2010) ISBN 978-981-4313-72-8; arXiv : 1303.5363 .