Tensor de Fradkin

El tensor de Fradkin , o tensor de Jauch-Hill-Fradkin , llamado así en honor a Josef-Maria Jauch y Edward Lee Hill ^{[ 1 ]} y David M. Fradkin , ^{[ 2 ]} es una ley de conservación utilizada en el tratamiento del oscilador armónico multidimensional isotrópico en mecánica clásica . Para el tratamiento del oscilador armónico cuántico en mecánica cuántica , se reemplaza por el operador de Fradkin con valores tensoriales .

El tensor de Fradkin proporciona suficientes cantidades conservadas para que las ecuaciones de movimiento del oscilador sean máximamente superintegrables . ^{[ 3 ]} Esto implica que para determinar la trayectoria del sistema, no es necesario resolver ecuaciones diferenciales , solo algebraicas.

De forma similar al vector de Laplace-Runge-Lenz en el problema de Kepler , el tensor de Fradkin surge de una simetría oculta del oscilador armónico.

Supongamos que el hamiltoniano de un oscilador armónico está dado por

${\displaystyle H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\vec {x}}^{2}}$

con

• impulso${\displaystyle {\vec {p}}}$,
• masa${\displaystyle m}$,
• frecuencia angular${\displaystyle \omega }$, y
• desplazamiento${\displaystyle {\vec {x}}}$,

Entonces, el tensor de Fradkin (salvo una normalización arbitraria) se define como

${\displaystyle F_{ij}={\frac {p_{i}p_{j}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{i}x_{j}.}$

En particular,${\displaystyle H}$viene dado por el rastro :${\displaystyle H=\operatorname {Tr} (F)}$. El tensor de Fradkin es, por lo tanto, una matriz simétrica, y para un${\displaystyle n}$oscilador armónico dimensional tiene${\displaystyle {\tfrac {n(n+1)}{2}}-1}$entradas independientes, por ejemplo 5 en 3 dimensiones.

• El tensor de Fradkin es ortogonal al momento angular.${\displaystyle {\vec {L}}={\vec {x}}\times {\vec {p}}}$:

  ${\displaystyle F_{ij}L_{j}=0}$

• Al contraer el tensor de Fradkin con el vector de desplazamiento se obtiene la relación

  ${\displaystyle x_{i}F_{ij}x_{j}=E{\vec {x}}^{2}-{\frac {{\vec {L}}^{2}}{2m}}}$.

• Los 5 componentes independientes del tensor de Fradkin y los 3 componentes del momento angular dan los 8 generadores de${\displaystyle SU(3)}$, el grupo unitario especial tridimensional en 3 dimensiones, con las relaciones

  ${\displaystyle {\begin{aligned}\{L_{i},L_{j}\}&=\varepsilon _{ijk}L_{k}\\\{L_{i},F_{jk}\}&=\varepsilon _{ijn}F_{nk}+\varepsilon _{ikn}F_{jn}\\\{F_{ij},F_{kl}\}&={\frac {\omega ^{2}}{4}}\left(\delta _{ik}\varepsilon _{jln}+\delta _{il}\varepsilon _{jkn}+\delta _{jk}\varepsilon _{iln}+\delta _{jl}\varepsilon _{ikn}\right)L_{n}\,,\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$es el corchete de Poisson ,${\displaystyle \delta }$es el delta de Kronecker y${\displaystyle \varepsilon }$es el símbolo de Levi-Civita .

En mecánica hamiltoniana, la evolución temporal de cualquier función${\displaystyle A}$definido en el espacio de fases viene dado por

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=\{A,H\}=\sum _{k}\left({\frac {\partial A}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial A}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial H}{\partial x_{k}}}\right)+{\frac {\partial A}{\partial t}}}$,

así que para el tensor de Fradkin del oscilador armónico,

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F_{ij}}{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}\omega ^{2}\sum _ {k}{\Big (}(x_{j}\delta _{ik}+x_{i}\delta _{jk})p_{k}-(p_{j}\delta _{ik}+p_{i}\delta _{jk})x_{k}{\Grande )}=0.}$.

El tensor de Fradkin es la cantidad conservada asociada a la transformación.

${\displaystyle x_{i}\to x_{i}'=x_{i}+{\frac {1}{2}}\omega ^{-1}\varepsilon _{jk}\left({\dot {x}}_{j}\delta _{ik}+{\dot {x}}_{k}\delta _{ij}\right)}$

por el teorema de Noether . ^{[ 4 ]}

En mecánica cuántica, la posición y el momento se reemplazan por los operadores de posición y momento , y los corchetes de Poisson por el conmutador . De este modo, el hamiltoniano se convierte en el operador hamiltoniano , el momento angular en el operador de momento angular y el tensor de Fradkin en el operador de Fradkin. Todas las propiedades anteriores se mantienen tras realizar estos reemplazos.