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Ondícula de Haar

La ondícula de Haar En matemáticas, la ondícula de Haar es una secuencia de funciones cuadradas reescaladas que, en conjunto, forman una familia o base de ondículas . El análisi...

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La ondícula de Haar

En matemáticas, la ondícula de Haar es una secuencia de funciones cuadradas reescaladas que, en conjunto, forman una familia o base de ondículas . El análisis de ondículas es similar al análisis de Fourier, ya que permite representar una función objetivo en un intervalo mediante una base ortonormal . La secuencia de Haar se reconoce actualmente como la primera base de ondículas conocida y se utiliza ampliamente como ejemplo didáctico.

La secuencia de Haar fue propuesta en 1909 por Alfréd Haar . [ 1 ] Haar utilizó estas funciones para dar un ejemplo de un sistema ortonormal para el espacio de funciones de cuadrado integrable en el intervalo unitario  [0,  1]. El estudio de las ondículas, e incluso el término "ondícula", no surgió hasta mucho después. Como caso especial de la ondícula de Daubechies , la ondícula de Haar también se conoce como Db1 .

La ondícula de Haar es también la ondícula más simple posible. La desventaja técnica de la ondícula de Haar es que no es continua y, por lo tanto, no es diferenciable . Sin embargo, esta propiedad puede ser una ventaja para el análisis de señales con transiciones bruscas ( señales discretas ), como la monitorización de fallos de herramientas en máquinas. [ 2 ]

La función ondícula madre de la ondícula de Haarψ(t){\displaystyle \psi (t)}puede describirse como

ψ(t)={10≤t<12,−112≤t<1,0de lo contrario.{\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{en otro caso.}}\end{cases}}}

Su función de escalaφ(t){\displaystyle \varphi (t)}puede describirse como

φ(t)={10≤t<1,0de lo contrario.{\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{en otro caso.}}\end{cases}}}

Funciones Haar y sistema Haar.

Para cada par n , k de enteros enZ{\displaystyle \mathbb {Z} }La función de Haar ψ n , k se define en la recta real.R{\displaystyle \mathbb {R} }por la fórmula

ψnorte,k(t)=2norte/2ψ(2nortet−k),t∈R.{\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}tk),\quad t\in \mathbb {R} .}

Esta función está soportada en el intervalo abierto por la derecha I n , k = [ k 2 − n , ( k +1)2 − n ) , es decir , se anula fuera de ese intervalo. Tiene integral 0 y norma 1 en el espacio de Hilbert L 2 (  R{\displaystyle \mathbb {R} }) ,

∫Rψnorte,k(t)dt=0,‖ψnorte,k‖L2(R)2=∫Rψnorte,k(t)2dt=1.{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}

Las funciones de Haar son ortogonales por pares ,

∫Rψnorte1,k1(t)ψnorte2,k2(t)dt=δnorte1norte2δk1k2,{\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}

dóndeδij{\displaystyle \delta _{ij}}representa la delta de Kronecker . He aquí la razón de la ortogonalidad: cuando los dos intervalos de soporteInorte1,k1{\ Displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}yInorte2,k2{\ Displaystyle I_ {n_ {2}, k_ {2}}}si no son iguales, entonces son disjuntos, o bien el menor de los dos soportes, digamosInorte1,k1{\ Displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}, está contenido en la mitad inferior o en la mitad superior del otro intervalo, sobre el cual la funciónψnorte2,k2{\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}permanece constante. En este caso, el producto de estas dos funciones de Haar es un múltiplo de la primera función de Haar, por lo tanto, el producto tiene una integral de  0.

El sistema de Haar en la recta real es el conjunto de funciones

{ψnorte,k(t):norte∈Z,k∈Z}.{\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}

Está completo en L 2 (R{\displaystyle \mathbb {R} }): El sistema de Haar en la línea es una base ortonormal en L 2 (R{\displaystyle \mathbb {R} }).

Propiedades de la ondícula de Haar

La ondícula de Haar tiene varias propiedades notables:

  1. Cualquier función real continua con soporte compacto puede aproximarse uniformemente mediante combinaciones lineales deφ(t),φ(2t),φ(4t),…,φ(2nortet),…{\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots,\varphi (2^{n}t),\dots}y sus funciones desplazadas. Esto se extiende a aquellos espacios de funciones donde cualquier función puede aproximarse mediante funciones continuas.
  2. Cualquier función real continua en [0,  1] puede aproximarse uniformemente en [0,  1] mediante combinaciones lineales de la función constante 1 , ψ(t),ψ(2t),ψ(4t),…,ψ(2nortet),…{\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }y sus funciones desplazadas. [ 3 ]
  3. Ortogonalidad en la forma
    ∫−∞∞2(norte+norte1)/2ψ(2nortet−k)ψ(2norte1t−k1)dt=δnortenorte1δkk1.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}tk)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.}
    Aquí,δij{\displaystyle \delta _{ij}}representa la delta de Kronecker . La función dual de ψ( t ) es ψ( t ) misma.
  4. Las funciones de ondícula/escalado con diferentes escalas n tienen una relación funcional: [ 4 ] ya que
    φ(t)=φ(2t)+φ(2t−1)ψ(t)=φ(2t)−φ(2t−1),{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}}

    De ello se deduce que los coeficientes de escala n pueden calcularse mediante los coeficientes de escala n+1 : Siχw(k,norte)=2norte/2∫−∞∞incógnita(t)φ(2nortet−k)dt{\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}tk)\,dt} yincógnitaw(k,norte)=2norte/2∫−∞∞incógnita(t)ψ(2nortet−k)dt{\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}tk)\,dt} entonces

    χw(k,norte)=2−1/2(χw(2k,norte+1)+χw(2k+1,norte+1)){\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}
    incógnitaw(k,norte)=2−1/2(χw(2k,norte+1)−χw(2k+1,norte+1)).{\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}

En esta sección, la discusión se restringe al intervalo unitario [0,  1] y a las funciones de Haar que tienen soporte en [0,  1]. El sistema de funciones considerado por Haar en 1910, [ 5 ] llamado sistema de Haar en [0,  1] en este artículo, consiste en el subconjunto de ondículas de Haar definidas como

{t∈[0,1]↦ψnorte,k(t):norte,k∈norte∪{0},0≤k<2norte},{\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}

con la adición de la función constante 1 en [0,  1].

En términos de espacio de Hilbert , este sistema de Haar en [0,  1] es un sistema ortonormal completo, es decir , una base ortonormal , para el espacio L 2 ([0,  1]) de funciones de cuadrado integrable en el intervalo unitario.

El sistema de Haar en [0,  1] —con la función constante 1 como primer elemento, seguida de las funciones de Haar ordenadas según el orden lexicográfico de pares ( n , k ) — es además una base de Schauder monótona para el espacio L p ([0, 1]) cuando 1 ≤ p < ∞ . [ 6 ] Esta base es incondicional cuando 1 < p < ∞ . [ 7 ] 

Existe un sistema de Rademacher relacionado que consiste en sumas de funciones de Haar,

rnorte(t)=2−norte/2∑k=02norte−1ψnorte,k(t),t∈[0,1], norte≥0.{\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}

Nótese que | r n ( t )|  = 1 en [0,  1). Este es un sistema ortonormal pero no es completo. [ 8 ] [ 9 ] En el lenguaje de la teoría de la probabilidad , la secuencia de Rademacher es una instancia de una secuencia de variables aleatorias de Bernoulli independientes con media 0. La desigualdad de Khintchine expresa el hecho de que en todos los espacios L p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , la secuencia de Rademacher es equivalente a la base del vector unitario en ℓ 2 . [ 10 ] En particular, el espacio lineal cerrado de la secuencia de Rademacher en L p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , es isomorfo a ℓ 2 .   

El sistema Faber - Schauder

El sistema de Faber - Schauder [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] es la familia de funciones continuas en [0,  1] que consta de la función constante 1 y de múltiplos de integrales indefinidas de las funciones del sistema de Haar en [0, 1], elegidas para tener norma 1 en la norma máxima . Este sistema comienza con s 0 = 1 , entonces s 1 ( t ) = t es la integral indefinida que se anula en 0 de la función 1 , primer elemento del sistema de Haar en [0, 1]. A continuación, para cada entero n ≥ 0 , las funciones s n , k se definen mediante la fórmula         

snorte,k(t)=21+norte/2∫0tψnorte,k(tú)dtú,t∈[0,1], 0≤k<2norte.{\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}

Estas funciones s n , k son continuas, lineales a trozos y están definidas en el intervalo I n , k , que también define ψ n , k . La función s n , k es igual a 1 en el punto medio x n , k del intervalo I n , k , y lineal en ambas mitades de dicho intervalo. Sus valores se encuentran entre 0 y 1 en todo el intervalo.    

El sistema de Faber - Schauder es una base de Schauder para el espacio C ([0,  1]) de funciones continuas en [0,  1]. [ 6 ] Para cada f en C ([0, 1]), la suma parcial  

Fnorte+1=a0s0+a1s1+∑metro=0norte−1(∑k=02metro−1ametro,ksmetro,k)∈do([0,1]){\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}

de la expansión en serie de f en el sistema de Faber - Schauder es la función lineal continua a trozos que coincide con f en los 2 n + 1 puntos k 2 − n , donde 0 ≤ k ≤ 2 n . A continuación, la fórmula 

Fnorte+2−Fnorte+1=∑k=02norte−1(F(incógnitanorte,k)−Fnorte+1(incógnitanorte,k))snorte,k=∑k=02norte−1anorte,ksnorte,k{\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}

proporciona una forma de calcular la expansión de f paso a paso. Dado que f es uniformemente continua , la sucesión { f n } converge uniformemente a f . De ello se deduce que la expansión en serie de Faber - Schauder de f converge en C ([0,  1]), y la suma de esta serie es igual a f . 

El sistema Franklin

El sistema de Franklin se obtiene del sistema de Faber - Schauder mediante el procedimiento de ortonormalización de Gram - Schmidt . [ 14 ] [ 15 ] Dado que el sistema de Franklin tiene el mismo espacio lineal que el del sistema de Faber - Schauder, este espacio es denso en C ([0,  1]), por lo tanto en L 2 ([0,  1]). El sistema de Franklin es, por consiguiente, una base ortonormal para L 2 ([0,  1]), que consiste en funciones lineales a trozos continuas. P. Franklin demostró en 1928 que este sistema es una base de Schauder para C ([0,  1]). [ 16 ] El sistema de Franklin también es una base de Schauder incondicional para el espacio L p ([0,  1]) cuando 1 < p < ∞ . [ 17 ] El sistema de Franklin proporciona una base de Schauder en el álgebra de disco A ( D ). [ 17 ] Esto fue demostrado en 1974 por Bočkarev, después de que la existencia de una base para el álgebra de discos permaneciera abierta durante más de cuarenta años. [ 18 ]

La construcción de una base de Schauder en A ( D ) de Bočkarev es la siguiente: sea f una función de Lipschitz de valores complejos en [0, π]; entonces f es la suma de una serie de cosenos con coeficientes absolutamente sumables . Sea T ( f ) el elemento de A ( D ) definido por la serie de potencias complejas con los mismos coeficientes,    

{F:incógnita∈[0,π]→∑norte=0∞anorteporque⁡(norteincógnita)}⟶{T(F):z→∑norte=0∞anorteznorte,|z|≤1}.{\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}

La base de Bočkarev para A ( D ) está formada por las imágenes bajo T de las funciones en el sistema de Franklin en [0, π ]. La descripción equivalente de Bočkarev para la aplicación T comienza extendiendo f a una función par de Lipschitz g 1 en [ − π, π], identificada con una función de Lipschitz en el círculo unitario T . A continuación, sea g 2 la función conjugada de g 1 , y definamos T ( f ) como la función en A ( D ) cuyo valor en el borde T de D es igual a g 1 + i g 2 .           

Cuando se trata de funciones continuas 1-periódicas, o más bien con funciones continuas f en [0,  1] tales que f (0) = f (1) , se elimina la función s 1 ( t ) = t del sistema de Faber – Schauder, para obtener el sistema periódico de Faber – Schauder . El sistema periódico de Franklin se obtiene por ortonormalización del sistema periódico de Faber – -Schauder. [ 19 ] Se puede demostrar el resultado de Bočkarev en A ( D ) demostrando que el sistema periódico de Franklin en [0, 2π] es una base para un espacio de Banach A r isomorfo a A ( D ). [ 19 ] El espacio A r consta de funciones continuas complejas en el círculo unitario T cuya función conjugada también es continua. 

matriz de Haar

La matriz de Haar de 2×2 que está asociada con la ondícula de Haar es

H2=[111−1].{\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}

Utilizando la transformada discreta de ondículas , se puede transformar cualquier secuencia.(a0,a1,…,a2norte,a2norte+1){\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}de longitud par en una secuencia de vectores de dos componentes((a0,a1),(a2,a3),…,(a2norte,a2norte+1)){\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}Si se multiplica cada vector por la derecha con la matrizH2{\displaystyle H_{2}}uno obtiene el resultado((s0,d0),…,(snorte,dnorte)){\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}de una etapa de la transformada rápida de Haar-wavelet. Normalmente se separan las secuencias s y d y se continúa transformando la secuencia s . La secuencia s se suele denominar parte de promedios , mientras que d se conoce como parte de detalles . [ 20 ]

Si se tiene una secuencia de longitud múltiplo de cuatro, se pueden construir bloques de 4 elementos y transformarlos de manera similar con la matriz de Haar de 4×4.

H4=[111111−1−11−100001−1],{\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}

que combina dos etapas de la transformada rápida de ondículas de Haar.

Compárese con una matriz de Walsh , que es una matriz 1/–1 no localizada.

Generalmente, la matriz de Haar de 2N×2N se puede derivar mediante la siguiente ecuación.

H2norte=[Hnorte⊗[1,1]Inorte⊗[1,−1]]{\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}
dóndeInorte=[10…001…0⋮⋮⋱⋮00…1]{\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}y⊗{\displaystyle \otimes }es el producto Kronecker .

El producto Kronecker deA⊗B{\displaystyle A\otimes B}, dóndeA{\displaystyle A}es una matriz m×n yB{\displaystyle B}es una matriz ap×q, se expresa como

A⊗B=[a11B…a1norteB⋮⋱⋮ametro1B…ametronorteB].{\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}

Una matriz de Haar de 8 puntos no normalizadaH8{\displaystyle H_{8}}se muestra a continuación

H8=[111111111111−1−1−1−111−1−10000000011−1−11−1000000001−1000000001−1000000001−1].{\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}

Tenga en cuenta que la matriz anterior es una matriz de Haar no normalizada. La matriz de Haar requerida por la transformada de Haar debe estar normalizada.

A partir de la definición de la matriz de HaarH{\displaystyle H}, se puede observar que, a diferencia de la transformada de Fourier ,H{\displaystyle H}Tiene solo elementos reales (es decir, 1, -1 o 0) y no es simétrico.

Consideremos la matriz de Haar de 8 puntos.H8{\displaystyle H_{8}}como ejemplo. La primera fila deH8{\displaystyle H_{8}}mide el valor promedio y la segunda fila deH8{\displaystyle H_{8}}Mide un componente de baja frecuencia del vector de entrada. Las dos filas siguientes son sensibles a la primera y segunda mitad del vector de entrada, respectivamente, lo que corresponde a componentes de frecuencia moderada. Las cuatro filas restantes son sensibles a la cuarta sección del vector de entrada, lo que corresponde a componentes de alta frecuencia. [ 21 ]

Haar transforma

La transformada de Haar es la más simple de las transformadas wavelet . Esta transformada realiza una multiplicación cruzada de una función por la wavelet de Haar con varios desplazamientos y estiramientos, al igual que la transformada de Fourier realiza una multiplicación cruzada de una función por una onda sinusoidal con dos fases y muchos estiramientos. [ 22 ]

Introducción

La transformada de Haar es una de las funciones de transformación más antiguas, propuesta en 1910 por el matemático húngaro Alfréd Haar . Se ha demostrado su eficacia en aplicaciones como la compresión de señales e imágenes en ingeniería eléctrica e informática, ya que proporciona un método sencillo y computacionalmente eficiente para analizar los aspectos locales de una señal.

La transformada de Haar se deriva de la matriz de Haar. A continuación se muestra un ejemplo de una matriz de transformación de Haar de 4×4.

H4=12[111111−1−12−200002−2]{\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}

La transformada de Haar puede considerarse como un proceso de muestreo en el que las filas de la matriz de transformación actúan como muestras de resolución cada vez más fina.

Compárese con la transformada de Walsh , que también es 1/–1, pero no está localizada.

Propiedad

La transformada de Haar tiene las siguientes propiedades

  1. No se requieren multiplicaciones. Solo se necesitan sumas y, dado que la matriz de Haar contiene muchos elementos con valor cero, el tiempo de cálculo es corto. Es más rápida que la transformada de Walsh , cuya matriz se compone de +1 y −1.
  2. La longitud de entrada y salida son iguales. Sin embargo, la longitud debe ser una potencia de 2, es decirnorte=2k,k∈norte{\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }.
  3. Puede utilizarse para analizar las características localizadas de las señales. Gracias a la propiedad ortogonal de la función de Haar, se pueden analizar los componentes de frecuencia de la señal de entrada.

Transformada de Haar y transformada de Haar inversa

La transformada de Haar y n de una función x n de n entradas es

ynorte=Hnorteincógnitanorte{\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}

La matriz de la transformada de Haar es real y ortogonal. Por lo tanto, la transformada inversa de Haar se puede obtener mediante las siguientes ecuaciones.

H=H∗,H−1=HT, es decir HHT=I{\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}
dóndeI{\displaystyle I}es la matriz identidad . Por ejemplo, cuando n = 4
H4TH4=12[112011−201−1021−10−2]⋅12[111111−1−12−200002−2]=[1000010000100001]{\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}

Por tanto, la transformada de Haar inversa es

incógnitanorte=HTynorte{\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}

Ejemplo

Los coeficientes de la transformada de Haar de una señal de 4 puntosincógnita4=[1,2,3,4]T{\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}se puede encontrar como

y4=H4incógnita4=12[111111−1−12−200002−2][1234]=[5−2−1/2−1/2]{\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}

La señal de entrada puede reconstruirse perfectamente mediante la transformada inversa de Haar.

incógnita4^=H4Ty4=12[112011−201−1021−10−2][5−2−1/2−1/2]=[1234]{\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}

Véase también

Notas

  1. ↑ ver pág. 361 en Haar (1910) .
  2. ↑ Lee, B.; Tarng, YS (1999). "Aplicación de la transformada wavelet discreta al monitoreo de fallas de herramientas en fresado frontal utilizando la corriente del motor del husillo". International Journal of Advanced Manufacturing Technology . 15 (4): 238– 243. doi : 10.1007/s001700050062 . S2CID 109908427 . 
  3. ↑ A diferencia de la afirmación anterior, este hecho no es obvio: véase la página 363 en Haar (1910) .
  4. ↑ Vidakovic, Brani (2010). Modelado estadístico mediante ondículas . Serie Wiley en probabilidad y estadística (2.ª ed.). págs. 60, 63. doi : 10.1002/9780470317020 . ISBN   9780470317020.
  5. ↑ pág. 361 en Haar (1910)
  6. 1 2 ver pág. 3 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
  7. ↑ El resultado se debe a RE Paley , Una notable serie de funciones ortogonales (I) , Proc. Matemáticas de Londres. Soc. 34 (1931) págs. 241-264. Véase también pág. 155 en J. Lindenstrauss, L. Tzafriri, (1979), "Espacios clásicos de Banach II, espacios funcionales". Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1.
  8. ↑ "Sistema ortogonal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  9. ↑ Walter, Gilbert G.; Shen, Xiaoping (2001). Wavelets and Other Orthogonal Systems . Boca Raton: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.
  10. ↑ ver, por ejemplo, pág. 66 en J. Lindenstrauss , L. Tzafriri, (1977), "Classical Banach Spaces I, Sequence Spaces", Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4.
  11. ^ Faber, Georg (1910), "Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar", Deutsche Math.-Ver (en alemán) 19 : 104 – 112. ISSN 0012-0456 ; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X ; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553  
  12. ^ Schauder, Juliusz (1928), "Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems", Mathematische Zeitschrift 28 : 317 – 320.
  13. ^ Golubov, BI (2001) [1994], "Sistema Faber-Schauder" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  14. ↑ ver Z. Ciesielski, Propiedades del sistema ortonormal de Franklin . Estudia Matemáticas. 23 1963 141–157.
  15. ↑ Sistema de Franklin. BI Golubov (creador), Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Franklin_system&oldid=16655
  16. ↑ Philip Franklin, Un conjunto de funciones ortogonales continuas , Math. Ann. 100 (1928), 522-529. doi : 10.1007/BF01448860
  17. 1 2 S. V. Bočkarev, Existencia de una base en el espacio de funciones analíticas en el disco y algunas propiedades del sistema de Franklin . Mat. Sb. 95 (1974), 3–18 (en ruso). Traducido en Math. USSR-Sb. 24 (1974), 1–16.
  18. ↑ La pregunta aparece p. 238, §3 en el libro de Banach, Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires , Monografie Matematyczne, vol. 1, Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl 0005.20901  . El álgebra de disco A ( D ) aparece como Ejemplo  10, pág.  12 en el libro de Banach.
  19. 1 2 Véase pág. 161, III.D.20 y pág. 192, III.E.17 en Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Banach spaces for analysts , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 25, Cambridge: Cambridge University Press, pp. xiv+382, ISBN   0-521-35618-0
  20. ↑ Ruch, David K.; Van Fleet, Patrick J. (2009). Wavelet Theory: An Elementary Approach with Applications . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38840-2.
  21. ↑ "haar" . Fourier.eng.hmc.edu. 30 de octubre de 2013. Archivado del original el 21 de agosto de 2012. Consultado el 23 de noviembre de 2013 .
  22. ↑ La transformada de Haar

Referencias

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  • Charles K. Chui, Introducción a las ondículas , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
  • Traducción al inglés del artículo fundamental de Haar:
  • "Sistema Haar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Implementación gratuita del filtrado mediante ondículas Haar y demostración interactiva.
  • Eliminación de ruido mediante ondículas Haar y compresión de señales con pérdidas gratuitas

Haar transforma

  • Kingsbury, Nick. "La transformación de Haar" . Archivado del original el 19 de abril de 2006.
  • Eck, David (31 de enero de 2006). "Applets de demostración de la transformada de Haar" .
  • Ames, Greg (7 de diciembre de 2002). "Compresión de imágenes" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 25 de enero de 2011.
  • Aaron, Anne; Hill, Michael; Srivatsa, Anand. "MOSMAT 500. Un generador de fotomosaicos. 2. Teoría" . Archivado del original el 18 de marzo de 2008.
  • Wang, Ruye (4 de diciembre de 2008). "Haar Transform" . Archivado del original el 21 de agosto de 2012.